Teoria assintótica (estatística) - Asymptotic theory (statistics)

Em estatística : a teoria assintótica , ou teoria de grandes amostras , é uma estrutura para avaliar propriedades de estimadores e testes estatísticos . Dentro dessa estrutura, geralmente é assumido que o tamanho da amostra $n$ pode crescer indefinidamente; as propriedades dos estimadores e testes são então avaliadas sob o limite de $n \to \infty$ . Na prática, uma avaliação de limite é considerada aproximadamente válida também para grandes tamanhos de amostra finitos.

Visão geral

A maioria dos problemas estatísticos começa com um conjunto de dados de tamanho $n$ . A teoria assintótica prossegue assumindo que é possível (em princípio) continuar coletando dados adicionais, de modo que o tamanho da amostra cresce infinitamente, ou seja, $n \to \infty$ . Supondo que muitos resultados podem ser obtidos que não estão disponíveis para amostras de tamanho finito. Um exemplo é a lei fraca dos grandes números . A lei afirma que para uma sequência de variáveis aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica (IID) $X$ $1$ $,$ $X$ $2$ $, ...$ , se um valor for extraído de cada variável aleatória e a média dos primeiros $n$ valores for calculada como $X$ $n$ , então o $X$ $n$ convergem em probabilidade para a média populacional $E [$ $X$ $i$ $]$ como $n$ $\to \infty$ .

Na teoria assintótica, a abordagem padrão é $n \to \infty$ . Para alguns modelos estatísticos , abordagens ligeiramente diferentes de assintóticos podem ser usadas. Por exemplo, com dados em painel , é comumente assumido que uma dimensão nos dados permanece fixa, enquanto a outra dimensão cresce: $T = constante$ e $N \to \infty$ , ou vice-versa.

Além da abordagem padrão para assintóticos, existem outras abordagens alternativas:

Dentro do quadro de normalidade assintótica local , assume-se que o valor do "parâmetro verdadeiro" no modelo varia ligeiramente com $n$ , de modo que o $n-$ ésimo modelo corresponde a $θ$ $n$ $=$ $θ$ $+$ $h$ $/$ $\sqrt$ $n$ . Essa abordagem nos permite estudar a regularidade dos estimadores .
Quando os testes estatísticos são estudados por seu poder de distinguir contra as alternativas que estão próximas da hipótese nula, isso é feito dentro do chamado quadro de "alternativas locais": a hipótese nula é $H 0 : θ = θ 0$ e a alternativa é $H 1 : θ = θ 0 + h / \sqrt n$ . Essa abordagem é especialmente popular para os testes de raiz unitária .
Existem modelos onde a dimensão do espaço de parâmetros $Θ n$ se expande lentamente com $n$ , refletindo o fato de que quanto mais observações houver, mais efeitos estruturais podem ser incorporados ao modelo de forma factível.
Na estimativa da densidade do kernel e na regressão do kernel , um parâmetro adicional é assumido - a largura de banda $h$ . Nesses modelos, geralmente assume-se que $h \to 0$ como $n \to \infty$ . A taxa de convergência deve ser escolhida com cuidado, entretanto, geralmente $h \propto n -1/5$ .

Em muitos casos, resultados altamente precisos para amostras finitas podem ser obtidos por meio de métodos numéricos (ou seja, computadores); mesmo nesses casos, porém, a análise assintótica pode ser útil. Este ponto foi levantado por Small (2010 , §1.4), como segue.

O principal objetivo da análise assintótica é obter uma compreensão qualitativa mais profunda das ferramentas quantitativas . As conclusões de uma análise assintótica freqüentemente complementam as conclusões que podem ser obtidas por métodos numéricos.

Modos de convergência de variáveis aleatórias

Propriedades assintóticas

Estimadores

Consistência

Uma sequência de estimativas é considerada consistente , se convergir em probabilidade para o valor verdadeiro do parâmetro sendo estimado:

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {n} \ {\ xrightarrow {\ overset {} {p}}} \ \ theta _ {0}.}

Ou seja, grosso modo, com uma quantidade infinita de dados, o estimador (a fórmula para gerar as estimativas) quase certamente daria o resultado correto para o parâmetro sendo estimado.

Distribuição assintótica

Se for possível encontrar sequências de constantes não aleatórias ${a n}$ , ${b n}$ (possivelmente dependendo do valor de $θ 0$ ), e uma distribuição não degenerada $G$ tal que

{\ displaystyle b_ {n} ({\ hat {\ theta}} _ {n} -a_ {n}) \ {\ xrightarrow {d}} \ G,}

em seguida, a sequência de estimadores diz-se que a distribuição assintótica L . ${\ displaystyle \ textstyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}$

Na maioria das vezes, os estimadores encontrados na prática são assintoticamente normais , o que significa que sua distribuição assintótica é a distribuição normal , com $a n = θ 0$ , $b n = \sqrt n$ e $G = N (0, V)$ :

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} ({\ hat {\ theta}} _ {n} - \ theta _ {0}) \ {\ xrightarrow {d}} \ {\ mathcal {N}} (0, V).}

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