Índice de potência Banzhaf - Banzhaf power index

Para outros usos, consulte o índice de potência .
Modelo de computador do índice de energia Banzhaf do Wolfram Demonstrations Project

O índice Banzhaf poder , em homenagem a John F. Banzhaf III (originalmente inventado por Lionel Penrose em 1946 e, por vezes, chamado de índice de Penrose-Banzhaf , também conhecido como o índice Banzhaf-Coleman após James Samuel Coleman ), é um poder índice definido pela probabilidade de alterar o resultado de uma votação em que os direitos de voto não são necessariamente divididos igualmente entre os eleitores ou acionistas .

Para calcular o poder de um eleitor usando o índice de Banzhaf, liste todas as coalizões vencedoras e depois conte os eleitores críticos. Um eleitor crítico é aquele que, se mudasse seu voto de sim para não, faria com que a medida fracassasse. O poder de um eleitor é medido como a fração de todos os votos decisivos que ele poderia dar. Existem alguns algoritmos para calcular o índice de potência, por exemplo, técnicas de programação dinâmica , métodos de enumeração e métodos de Monte Carlo .

Exemplos

Jogo de votação

Jogo de votação simples

Um jogo de votação simples, extraído de Game Theory and Strategy de Philip D. Straffin:

[6; 4, 3, 2, 1]

Os números entre colchetes significam que uma medida requer 6 votos para ser aprovada e o eleitor A pode lançar quatro votos, B três votos, C dois e D um. Os grupos vencedores, com eleitores indecisos sublinhados, são os seguintes:

AB , AC , A BC, AB D, AC D, BCD , ABCD

Há 12 votos decisivos no total, portanto, pelo índice de Banzhaf, o poder é dividido assim:

A = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12

Colégio Eleitoral dos EUA

Considere o Colégio Eleitoral dos Estados Unidos . Cada estado tem mais ou menos energia do que o próximo estado. Há um total de 538 votos eleitorais . A maioria dos votos é 270 votos. O índice de poder de Banzhaf seria uma representação matemática da probabilidade de um único estado conseguir votar. Um estado como a Califórnia , que tem 55 votos eleitorais, teria mais probabilidade de obter votos do que um estado como Montana , que tem 3 votos eleitorais.

Suponha que os Estados Unidos estejam tendo uma eleição presidencial entre um republicano (R) e um democrata (D). Para simplificar, suponha que apenas três estados estejam participando: Califórnia (55 votos eleitorais), Texas (38 votos eleitorais) e Nova York (29 votos eleitorais).

Os possíveis resultados da eleição são:

Califórnia (55) Texas (38) Nova York (29) R votos D votos Estados que poderiam influenciar a votação
R R R 122 0 Nenhum
R R D 93 29 Califórnia (D venceria por 84-38), Texas (D venceria por 67-55)
R D R 84 38 Califórnia (D ganharia por 93–29), Nova York (D ganharia por 67–55)
R D D 55 67 Texas (R venceria por 93-29), Nova York (R venceria por 84-38)
D R R 67 55 Texas (D venceria por 93-29), Nova York (D venceria por 84-38)
D R D 38 84 Califórnia (R venceria por 93-29), Nova York (R venceria por 67-55)
D D R 29 93 Califórnia (R venceria por 84-38), Texas (R venceria por 67-55)
D D D 0 122 Nenhum

O índice de poder de Banzhaf de um estado é a proporção dos resultados possíveis em que esse estado poderia influenciar a eleição. Neste exemplo, todos os três estados têm o mesmo índice: 4/12 ou 1/3.

No entanto, se Nova York for substituída pela Geórgia, com apenas 16 votos eleitorais, a situação muda drasticamente.

Califórnia (55) Texas (38) Geórgia (16) R votos D votos Estados que poderiam influenciar a votação
R R R 109 0 Califórnia (R venceria por 109-0)
R R D 93 16 Califórnia (R venceria por 93-16)
R D R 71 38 Califórnia (R venceria 71-38)
R D D 55 54 Califórnia (R ganharia 55-54)
D R R 54 55 Califórnia (D ganharia 55-54)
D R D 38 71 Califórnia (D ganharia 71-38)
D D R 16 93 Califórnia (D ganharia por 93-16)
D D D 0 109 Califórnia (D ganharia por 109-0)

Neste exemplo, o índice de Banzhaf dá a Califórnia 1 e os outros estados 0, já que só a Califórnia tem mais da metade dos votos.

Jogo de cartel

Cinco empresas (A, B, C, D, E) assinam um acordo para a criação de um monopólio . O tamanho do mercado é X = 54 milhões de unidades por ano (por exemplo, barris de petróleo) para um monopólio. A capacidade máxima de produção dessas empresas é A = 44, B = 32, C = 20, D = 8 e E = 4 milhões de unidades por ano. Portanto, há um conjunto de coalizões capaz de fornecer as 54 milhões de unidades necessárias para o monopólio, e um conjunto de coalizões incapaz de fornecer esse número. Em cada uma das coalizões suficientes, pode-se ter membros necessários (para que a coalizão forneça a produção necessária) e membros desnecessários (sublinhados na tabela abaixo). Mesmo quando um desses membros desnecessários sai da coalizão suficiente, essa coalizão é capaz de fornecer a produção necessária. No entanto, quando um membro necessário sai, a coalizão suficiente torna-se insuficiente. O lucro do monopólio a ser distribuído entre os membros da coalizão é de 100 milhões de dólares por ano.

Coalizões suficientes ABCDE , ABCD , ABCE , A BDE , A CDE , A BC , AB D , AB E , AC D , AC E , BC DE , BCD, BCE, ADE, AB e AC
Coalizões insuficientes CDE, BDE, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE, A, B, C, D e E

O índice Penrose-Banzhaf pode ser aplicado ao cálculo do valor de Shapley , que fornece uma base para uma distribuição do lucro para cada jogador no jogo em proporção ao número de coalizões suficientes nas quais aquele jogador é necessário. O jogador A é necessário para 10 das 16 coalizões suficientes, B é necessário para 6, C também para 6, D para 2 e E para 2. Portanto, A é necessário em 38,5% do total de casos (26 = 10 + 6 + 6 + 2 + 2, então 10/26 = 0,385), B em 23,1%, C em 23,1%, D em 7,7% e E em 7,7% (esses são os índices de Banzhaf para cada empresa). A distribuição dos 100 milhões de lucros do monopólio sob o critério do valor de Shapley deve seguir essas proporções.

História

O que é conhecido hoje como índice de potência Banzhaf foi originalmente introduzido por Lionel Penrose em 1946 e foi amplamente esquecido. Foi reinventado por John F. Banzhaf III em 1965, mas teve que ser reinventado mais uma vez por James Samuel Coleman em 1971 antes de se tornar parte da literatura convencional.

Banzhaf queria provar objetivamente que o sistema de votação do conselho do condado de Nassau era injusto. Conforme apresentado na Teoria e Estratégia dos Jogos , os votos foram alocados da seguinte forma:

  • Hempstead # 1: 9
  • Hempstead # 2: 9
  • North Hempstead: 7
  • Oyster Bay: 3
  • Glen Cove: 1
  • Long Beach: 1

Isso dá 30 votos no total, e uma maioria simples de 16 votos era necessária para que uma medida fosse aprovada.

Na notação de Banzhaf, [Hempstead # 1, Hempstead # 2, North Hempstead, Oyster Bay, Glen Cove, Long Beach] são AF em [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]

Existem 32 coligações vencedoras e 48 votos decisivos:

AB AC BC ABC AB D AB E AB F AC D AC E AC F BC D BC E BC F ABCD ABCE ABCF AB DE AB DF AB EF AC DE AC DF AC EF BC DE BC DF BC EF ABCDE ABCDF AB DEF AC DEF BC DEF ABCDEF

O índice Banzhaf fornece estes valores:

  • Hempstead # 1 = 16/48
  • Hempstead # 2 = 16/48
  • North Hempstead = 16/48
  • Oyster Bay = 0/48
  • Glen Cove = 0/48
  • Long Beach = 0/48

Banzhaf argumentou que um arranjo de votação que dá 0% do poder a 16% da população é injusto.

Hoje, o índice de poder de Banzhaf é uma forma aceita de medir o poder de voto, junto com o índice de poder alternativo de Shapley-Shubik . Ambas as medidas foram aplicadas à análise das votações no Conselho da União Europeia .

No entanto, a análise de Banzhaf foi criticada por tratar os votos como um cara ou coroa, e um modelo empírico de votação, em vez de um modelo de votação aleatório, como o usado por Banzhaf, traz resultados diferentes.

Veja também

Notas

Referências

Notas de rodapé

Bibliografia

  • Banzhaf, John F. (1965). "A votação ponderada não funciona: uma análise matemática". Revisão da Lei de Rutgers . 19 (2): 317–343. ISSN   0036-0465 .
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