Cáustica (matemática) - Caustic (mathematics)

Cáustica reflexiva gerada de um círculo e raios paralelos

Na geometria diferencial , um cáustico é o envelope de raios quer reflectidos ou refractados por um colector . Está relacionado ao conceito de cáusticas em óptica geométrica . A fonte do raio pode ser um ponto (chamado de radiante) ou raios paralelos de um ponto no infinito, caso em que um vetor de direção dos raios deve ser especificado.

De maneira mais geral, especialmente quando aplicada à geometria simplética e à teoria da singularidade , uma cáustica é o conjunto de valores críticos de um mapeamento Lagrangeano ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; onde i  : L ↪ M é uma imersão de Lagrange de uma subvariedade Lagrangeanos G em uma variedade simpléctica M , e π  : M ↠ B é um fibraç~ao Lagrangeanos do colector simpléctica M . A soda cáustica é um subconjunto da Lagrangeanos fibraç~ao 's base espacial B .

Catacaustica

Uma catacaustica é a caixa reflexiva.

Com um radiante, é a evolução da ortotômica do radiante.

O caso de raios de fonte paralela planar: suponha que o vetor de direção seja e a curva de espelho seja parametrizada como . O vetor normal em um ponto é ; a reflexão do vetor de direção é (normal precisa de normalização especial) ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (u (t), v (t))}$${\ displaystyle (-v '(t), u' (t))}$

${\ displaystyle 2 {\ mbox {proj}} _ {n} dd = {\ frac {2n} {\ sqrt {n \ cdot n}}} {\ frac {n \ cdot d} {\ sqrt {n \ cdot n}}} - d = 2n {\ frac {n \ cdot d} {n \ cdot n}} - d = {\ frac {(av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2} , bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2})} {v '^ {2} + u' ^ {2}}}}$

Tendo os componentes do vetor refletido encontrado tratá-lo como uma tangente

${\ displaystyle (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) = (yv) (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) .}$

Usando o formulário de envelope mais simples

${\ displaystyle F (x, y, t) = (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - (yv) (av '^ {2} -2bu'v '-au' ^ {2})}$

${\ displaystyle = x (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - y (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) + b ( uv '^ {2} -uu' ^ {2} -2vu'v ') + a (-vu' ^ {2} + vv '^ {2} + 2uu'v')}$

${\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = 2x (bu'u '' - a (u'v '' + u''v ') - bv'v' ') - 2y (av'v '' -b (u''v '+ u'v' ') - au'u' ')}$

${\ displaystyle + b (u'v '^ {2} + 2uv'v' '- u' ^ {3} -2uu'u '' - 2u'v '^ {2} -2u''vv'-2u 'vv' ') + a (-v'u' ^ {2} -2vu'u '' + v '^ {3} + 2vv'v' '+ 2v'u' ^ {2} + 2v''uu '+ 2v'uu' ')}$

o que pode ser inestético, mas dá um sistema linear em e por isso é elementar obter uma parametrização da catacaustica. A regra de Cramer serviria. ${\ displaystyle F = F_ {t} = 0}$${\ displaystyle (x, y)}$

Exemplo

Seja o vetor de direção (0,1) e o espelho Então ${\ displaystyle (t, t ^ {2}).}$

${\ displaystyle u '= 1}$   ${\ displaystyle u '' = 0}$   ${\ displaystyle v '= 2t}$   ${\ displaystyle v '' = 2}$   ${\ displaystyle a = 0}$   ${\ displaystyle b = 1}$

${\ displaystyle F (x, y, t) = (xt) (1-4t ^ {2}) + 4t (yt ^ {2}) = x (1-4t ^ {2}) + 4ty-t}$

${\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - 8tx + 4y-1}$

e tem solução ; ou seja , a luz que entra em um espelho parabólico paralelo ao seu eixo é refletida através do foco. ${\ displaystyle F = F_ {t} = 0}$${\ displaystyle (0,1 / 4)}$

Veja também

• Locus de corte (variedade Riemanniana)
• Última declaração geométrica de Jacobi
• Nefroides cáusticos

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Caustic" . MathWorld .