Comparabilidade - Comparability

Em matemática , dois elementos de x e y de um conjunto de P são referidos como sendo comparável com respeito a uma relação binária ≤ se, pelo menos, um de x ≤ y ou y ≤ x é verdadeiro. Eles são chamados de incomparáveis se não forem comparáveis.

Definição rigorosa

Uma relação binária em um conjunto é, por definição, qualquer subconjunto de Dado é escrito se e somente se , nesse caso, é dito ser relacionado a por Um elemento é dito ser comparável , ou comparável ( em relação a ), a um elemento se ou Freqüentemente, um símbolo indicando comparação, como (ou e muitos outros) é usado em vez de , nesse caso, é escrito no lugar de que é o motivo pelo qual o termo "comparável" é usado. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P \ times P.}$${\ displaystyle x, y \ in P,}$ ${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle (x, y) \ in R,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle x \ in P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle y \ in P}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx.}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \, \ leq \ ,,}$ ${\ displaystyle \,>, \,}$ ${\ displaystyle \ geq,}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle xRy,}$

A comparabilidade com respeito a induz uma relação binária canônica em ; especificamente, a relação de comparabilidade induzida por é definida como sendo o conjunto de todos os pares de modo que seja comparável a ; ou seja, de tal forma que pelo menos um de e é verdadeiro. Da mesma forma, a relação de incomparabilidade em induzida por é definida como o conjunto de todos os pares tais que são incomparáveis ​​a isto é, tais que nem nem são verdadeiros. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (x, y) \ in P \ times P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (x, y) \ in P \ times P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y;}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx}$

Se o símbolo for usado no lugar de, então a comparabilidade com respeito a é algumas vezes denotada pelo símbolo e a incomparabilidade pelo símbolo . Assim, para quaisquer dois elementos e de um conjunto parcialmente ordenado, exatamente um de e é verdadeiro. ${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}}}$${\ displaystyle {\ cancel {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}}} \!}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}} \ y}$${\ displaystyle x {\ cancel {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}}} y}$

Exemplo

Um conjunto totalmente ordenado é um conjunto parcialmente ordenado no qual quaisquer dois elementos são comparáveis. O teorema da extensão de Szpilrajn afirma que toda ordem parcial está contida em uma ordem total. Intuitivamente, o teorema diz que qualquer método de comparação de elementos que deixe alguns pares incomparáveis ​​pode ser estendido de tal forma que cada par se torne comparável.

Propriedades

Ambas as relações de comparabilidade e incomparabilidade são simétricas , isto é, é comparável a se e somente se é comparável a e da mesma forma para incomparabilidade. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x,}$

Gráficos de comparabilidade

O gráfico de comparabilidade de um conjunto parcialmente ordenado tem como vértices os elementos de e tem como arestas exatamente aqueles pares de elementos para os quais . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ {x, y \}}$${\ displaystyle x \ {\ overset {<} {\ underset {>} {=}}} \ y}$

Classificação

Ao classificar objetos matemáticos (por exemplo, espaços topológicos ), dois critérios são considerados comparáveis ​​quando os objetos que obedecem a um critério constituem um subconjunto dos objetos que obedecem ao outro, ou seja, quando são comparáveis ​​sob a ordem parcial ⊂. Por exemplo, os critérios T ₁ e T ₂ são comparáveis, enquanto os critérios T ₁ e sobriedade não são.

Veja também

• Ordenação estrita fraca , uma ordenação parcial em que a incomparabilidade é uma relação transitiva

Referências

"PlanetMath: pedido parcial" . Página visitada em 6 de abril de 2010 .