Forma diferencial complexa - Complex differential form

Em matemática , uma forma diferencial complexa é uma forma diferencial em uma variedade (geralmente uma variedade complexa ) que pode ter coeficientes complexos .

As formas complexas têm amplas aplicações em geometria diferencial . Em variedades complexas, eles são fundamentais e servem como base para grande parte da geometria algébrica , geometria de Kähler e teoria de Hodge . Sobre variedades não complexas, eles também desempenham um papel no estudo de estruturas quase complexas , a teoria dos espinores e estruturas CR .

Normalmente, as formas complexas são consideradas devido a alguma decomposição desejável que as formas admitem. Em uma variedade complexa, por exemplo, qualquer forma k complexa pode ser decomposta exclusivamente em uma soma das chamadas formas ( p , q ) : grosso modo, cunhas de p diferenciais das coordenadas holomórficas com q diferenciais de seus conjugados complexos. O conjunto de formas ( p , q ) torna-se o objeto primitivo de estudo e determina uma estrutura geométrica mais fina na variedade do que as formas k . Estruturas ainda mais sutis existem, por exemplo, nos casos em que a teoria de Hodge se aplica.

Formas diferenciais em uma variedade complexa

Suponha que M é uma variedade complexa de dimensão complexa n . Então, há um sistema de coordenadas local que consiste em n funções de valor complexo z ¹ , ..., z ^{n de} modo que as transições de coordenadas de um patch para outro são funções holomórficas dessas variáveis. O espaço de formas complexas carrega uma estrutura rica, dependendo fundamentalmente do fato de que essas funções de transição são holomórficas, ao invés de apenas suaves .

Formulários únicos

Começamos com o caso de formulários únicos. Primeiro decomponha as coordenadas complexas em suas partes reais e imaginárias: z ^j = x ^j + iy ^j para cada j . De locação

${\ displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, \ quad d {\ bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} -idy ^ {j},}$

vê-se que qualquer forma diferencial com coeficientes complexos pode ser escrita exclusivamente como uma soma

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (f_ {j} dz ^ {j} + g_ {j} d {\ bar {z}} ^ {j} \ right).}$

Seja Ω ^1,0 o espaço das formas diferenciais complexas contendo apenas 'se Ω ^0,1 o espaço das formas contendo apenas ' s. Pode-se mostrar, pelas equações de Cauchy-Riemann , que os espaços Ω ^1,0 e Ω ^0,1 são estáveis ​​sob mudanças de coordenadas holomórficas. Em outras palavras, se alguém fizer uma escolha diferente w _i do sistema de coordenadas holomórfico, então os elementos de Ω ^{1,0 se} transformam tensorialmente , assim como os elementos de Ω ^0,1 . Assim, os espaços Ω ^0,1 e Ω ^1,0 determinam fibrados vetoriais complexos na variedade complexa. ${\ displaystyle dz}$${\ displaystyle d {\ bar {z}}}$

Formulários de graduação superior

O produto de cunha de formas diferenciais complexas é definido da mesma maneira que com formas reais. Sejam p e q um par de inteiros não negativos ≤ n . O espaço Ω ^{p, q} das formas ( p , q ) é definido tomando combinações lineares dos produtos em cunha de p elementos de Ω ^1,0 e q elementos de Ω ^0,1 . Simbolicamente,

${\ displaystyle \ Omega ^ {p, q} = \ underbrace {\ Omega ^ {1,0} \ wedge \ dotsb \ wedge \ Omega ^ {1,0}} _ {p {\ text {times}}} \ wedge \ underbrace {\ Omega ^ {0,1} \ wedge \ dotsb \ wedge \ Omega ^ {0,1}} _ {q {\ text {times}}}}$

onde há fatores p de Ω ^1,0 e fatores q de Ω ^0,1 . Assim como com os dois espaços de formas 1, eles são estáveis ​​sob mudanças holomórficas de coordenadas e, portanto, determinam os feixes de vetores.

Se E ^k é o espaço de todas as formas diferenciais complexas de grau total k , então cada elemento de E ^k pode ser expresso de uma maneira única como uma combinação linear de elementos entre os espaços Ω ^{p, q} com p + q = k . Mais sucintamente, há uma decomposição de soma direta

${\ displaystyle E ^ {k} = \ Omega ^ {k, 0} \ oplus \ Omega ^ {k-1,1} \ oplus \ dotsb \ oplus \ Omega ^ {1, k-1} \ oplus \ Omega ^ {0, k} = \ bigoplus _ {p + q = k} \ Omega ^ {p, q}.}$

Como essa decomposição de soma direta é estável sob mudanças de coordenadas holomórficas, ela também determina uma decomposição de pacote vetorial.

Em particular, para cada k e cada p e q com p + q = k , há uma projeção canônica de feixes vetoriais

${\ displaystyle \ pi ^ {p, q}: E ^ {k} \ rightarrow \ Omega ^ {p, q}.}$

Os operadores Dolbeault

A derivada externa usual define um mapeamento de seções via ${\ displaystyle d: \ Omega ^ {r} \ to \ Omega ^ {r + 1}}$

${\ displaystyle d (\ Omega ^ {p, q}) \ subseteq \ bigoplus _ {r + s = p + q + 1} \ Omega ^ {r, s}}$

A derivada externa em si mesma não reflete a estrutura complexa mais rígida da variedade.

Usando d e as projeções definidas na subseção anterior, é possível definir os operadores Dolbeault :

${\ displaystyle \ partial = \ pi ^ {p + 1, q} \ circ d: \ Omega ^ {p, q} \ rightarrow \ Omega ^ {p + 1, q}, \ quad {\ bar {\ partial} } = \ pi ^ {p, q + 1} \ circ d: \ Omega ^ {p, q} \ rightarrow \ Omega ^ {p, q + 1}}$

Para descrever esses operadores em coordenadas locais, vamos

${\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {| I | = p, | J | = q} \ f_ {IJ} \, dz ^ {I} \ wedge d {\ bar {z}} ^ {J} \ in \ Omega ^ {p, q}}$

onde I e J são multi-índices . Então

${\ displaystyle \ partial \ alpha = \ sum _ {| I |, | J |} \ sum _ {\ ell} {\ frac {\ partial f_ {IJ}} {\ partial z ^ {\ ell}}} \ , dz ^ {\ ell} \ wedge dz ^ {I} \ wedge d {\ bar {z}} ^ {J}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} \ alpha = \ sum _ {| I |, | J |} \ sum _ {\ ell} {\ frac {\ partial f_ {IJ}} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ ell}}} d {\ bar {z}} ^ {\ ell} \ wedge dz ^ {I} \ wedge d {\ bar {z}} ^ {J}.}$

As seguintes propriedades são consideradas válidas:

${\ displaystyle d = \ partial + {\ bar {\ partial}}}$

${\ displaystyle \ parcial ^ {2} = {\ bar {\ parcial}} ^ {2} = \ parcial {\ bar {\ parcial}} + {\ bar {\ parcial}} \ parcial = 0.}$

Esses operadores e suas propriedades formam a base para a cohomologia de Dolbeault e muitos aspectos da teoria de Hodge .

Formas holomórficas

Para cada p , uma forma p holomórfica é uma seção holomórfica do pacote Ω ^{p, 0} . Em coordenadas locais, então, uma forma p holomórfica pode ser escrita na forma

${\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {| I | = p} f_ {I} \, dz ^ {I}}$

onde são funções holomórficas. Equivalentemente, e devido à independência do conjugado complexo , a forma ( p , 0) α é holomórfica se e somente se ${\ displaystyle f_ {I}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} \ alpha = 0.}$

O maço de holomorfas p -forms é muitas vezes escrito Ω ^p , embora às vezes isso pode levar a confusão tantos autores tendem a adotar uma notação alternativa.

Veja também

• Complexo Dolbeault
• Sequência espectral de Frölicher
• Diferencial de primeiro tipo

Referências

• P. Griffiths ; J. Harris (1994). Princípios de geometria algébrica . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 23-25. ISBN 0-471-05059-8.
• Wells, RO (1973). Análise diferencial em variedades complexas . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Teoria Hodge e Complexo Geometria Algébrica I . Cambridge University Press. ISBN 0521718015.