Variância condicional - Conditional variance

Em teoria de probabilidade e estatística , uma variância condicional é a variância de uma variável aleatória dado o (s) valor (es) de uma ou mais outras variáveis. Particularmente em econometria , a variância condicional também é conhecida como função scedastic ou função skedastic . As variâncias condicionais são partes importantes dos modelos de heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH).

Definição

A variância condicional de uma variável aleatória Y dada outra variável aleatória X é

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X) = \ operatorname {E} {\ Big (} {\ big (} Y- \ operatorname {E} (Y \ mid X) {\ big)} ^ {2 } \ mid X {\ Big)}.}$

A variância condicional nos diz o quanto variância é deixado se usarmos a "prever" Y . Aqui, como sempre, representa a expectativa condicional de Y, dado que X , que podemos lembrar, é uma variável aleatória em si (uma função de X , determinada até a probabilidade um). Como resultado, ela mesma é uma variável aleatória (e é uma função de X ). ${\ displaystyle \ operatorname {E} (Y \ mid X)}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (Y \ mid X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X)}$

Explicação, relação com os mínimos quadrados

Lembre-se de que a variância é o desvio quadrático esperado entre uma variável aleatória (digamos, Y ) e seu valor esperado. O valor esperado pode ser considerado uma previsão razoável dos resultados do experimento aleatório (em particular, o valor esperado é a melhor previsão constante quando as previsões são avaliadas pelo erro de previsão quadrático esperado). Assim, uma interpretação da variância é que ela dá o menor erro de predição quadrático esperado possível. Se tivermos o conhecimento de outra variável aleatória ( X ) que podemos usar para prever Y , podemos potencialmente usar esse conhecimento para reduzir o erro quadrático esperado. Acontece que a melhor previsão de Y dado X é a expectativa condicional. Em particular, para qualquer mensurável, ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {E} [(Yf (X)) ^ {2}] & = \ operatorname {E} [(Y- \ operatorname {E} (Y | X) \, \ , + \, \, \ operatorname {E} (Y | X) -f (X)) ^ {2}] \\ & = \ operatorname {E} [\ operatorname {E} \ {(Y- \ operatorname { E} (Y | X) \, \, + \, \, \ operatorname {E} (Y | X) -f (X)) ^ {2} | X \}] \\ & = \ operatorname {E} [\ operatorname {Var} (Y | X)] + \ operatorname {E} [(\ operatorname {E} (Y | X) -f (X)) ^ {2}] \,. \ end {alinhado}} }$

Ao selecionar , o segundo termo não negativo torna-se zero, mostrando a reivindicação. Aqui, a segunda igualdade usou a lei da expectativa total . Vemos também que a variância condicional esperado de Y dado X mostra-se como o erro irredutível de prever Y dado apenas o conhecimento de X . ${\ displaystyle f (X) = \ operatorname {E} (Y | X)}$

Casos especiais, variações

Condicionamento em variáveis ​​aleatórias discretas

Quando X assume muitos valores contáveis com probabilidade positiva, ou seja, é uma variável aleatória discreta , podemos introduzir a variância condicional de Y dado que X = x para qualquer x de S da seguinte maneira: ${\ displaystyle S = \ {x_ {1}, x_ {1}, \ dots \}}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x) = \ operatorname {E} ((Y- \ operatorname {E} (Y \ mid X = x)) ^ {2} \ mid X = x), }$

onde lembre-se que é a expectativa condicional de Z dado que X = x , que é bem definido para . Uma notação alternativa para é ${\ displaystyle \ operatorname {E} (Z \ mid X = x)}$${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} _ {Y \ mid X} (Y | x).}$

Observe que aqui define uma constante para possíveis valores de x e, em particular, não é uma variável aleatória. ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$

A conexão desta definição com é a seguinte: Seja S como acima e defina a função como . Então, quase com certeza . ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X)}$${\ displaystyle v: S \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle v (x) = \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$${\ displaystyle v (X) = \ operatorname {Var} (Y | X)}$

Definição usando distribuições condicionais

A "expectativa condicional de Y dado X = x " também pode ser definida de forma mais geral usando a distribuição condicional de Y dado X (isso existe neste caso, pois tanto aqui X quanto Y têm valores reais).

Em particular, deixando ser a distribuição condicional (regular) de Y dado X , ou seja, (a intenção é que quase certamente sobre o suporte de X ), podemos definir ${\ displaystyle P_ {Y | X}}$ ${\ displaystyle P_ {Y | X}}$${\ displaystyle P_ {Y | X}: {\ mathcal {B}} \ times \ mathbb {R} \ to [0,1]}$${\ displaystyle P_ {Y | X} (U, x) = P (Y \ in U | X = x)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x) = \ int (y- \ int y'P_ {Y | X} (dy '| x)) ^ {2} P_ {Y | X} (dy | x).}$

Isso pode, é claro, ser especializado para quando Y é ele próprio discreto (substituindo as integrais por somas), e também quando a densidade condicional de Y dada X = x com relação a alguma distribuição subjacente existe.

Componentes de variância

A lei da variância total diz

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y) = \ operatorname {E} (\ operatorname {Var} (Y \ mid X)) + \ operatorname {Var} (\ operatorname {E} (Y \ mid X)). }$

Em palavras: a variância dos Y é a soma da variância condicional esperado Y dado X e a variância da esperança condicional de Y dado X . As primeiras capturas duração da variação deixado após "usando X para prever Y ", enquanto que a segunda duração captura a variação devida à média da previsão de Y , devido à aleatoriedade de X .

Veja também

• Modelo misto
• Modelo de efeitos aleatórios

Referências

Leitura adicional

• Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Inferência estatística (segunda edição). Wadsworth. pp. 151–52. ISBN   0-534-24312-6 .

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