Conjunção lógica - Logical conjunction
E | |
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Definição | |
Mesa da verdade | |
Portão lógico | |
Formas normais | |
Disjuntivo | |
Conjuntivo | |
Polinômio de Zhegalkin | |
Treliça do Post | |
0-preservação | sim |
1-preservando | sim |
Monótono | não |
Afim | não |
Em lógica , matemática e linguística , And ( ) é o operador funcional de verdade da conjunção lógica ; o e de um conjunto de operandos é verdadeiro se e somente se todos os seus operandos forem verdadeiros. O conectivo lógico que representa esse operador é geralmente escrito como ou ⋅ .
é verdadeiro se e somente se for verdadeiro e verdadeiro.
Um operando de uma conjunção é um conjunto .
Além da lógica, o termo "conjunção" também se refere a conceitos semelhantes em outros campos:
- Em linguagem natural , a denotação de expressões como Inglês "e".
- Nas linguagens de programação , o curto-circuito e a estrutura de controle .
- Na teoria dos conjuntos , interseção .
- Na teoria da rede , conjunção lógica ( maior limite inferior ).
- Na lógica de predicados , quantificação universal .
Notação
E geralmente é denotado por um operador infixo: em matemática e lógica, é denotado por , & ou × ; em eletrônica, ⋅ ; e em linguagens de programação, , , ou . Em Jan Lukasiewicz 's prefixo notação para a lógica , o operador é K , para Polish koniunkcja .
&
&&
and
Definição
A conjunção lógica é uma operação em dois valores lógicos , normalmente os valores de duas proposições , que produz um valor verdadeiro se e somente se ambos os operandos forem verdadeiros.
A identidade conjuntiva é verdadeira, o que quer dizer que AND-ing uma expressão com true nunca mudará o valor da expressão. De acordo com o conceito de verdade vazia , quando a conjunção é definida como um operador ou função de aridade arbitrária , a conjunção vazia (AND-ing sobre um conjunto vazio de operandos) é freqüentemente definida como tendo o resultado verdadeiro.
Mesa da verdade
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | F |
Definido por outros operadores
Em sistemas onde a conjunção lógica não é primitiva, pode ser definida como
ou
Regras de introdução e eliminação
Como regra de inferência, a introdução da conjunção é uma forma de argumento simples e classicamente válida . A forma argumento tem duas premissas, A e B . Intuitivamente, permite a inferência de sua conjunção.
- A ,
- B .
- Portanto, um e B .
ou em notação de operador lógico :
Aqui está um exemplo de um argumento que se encaixa na introdução do formulário de conjunção :
- Bob gosta de maçãs.
- Bob gosta de laranjas.
- Portanto, Bob gosta de maçãs e Bob gosta de laranjas.
A eliminação da conjunção é outra forma de argumento simples e classicamente válida . Intuitivamente, ele permite a inferência de qualquer conjunção de qualquer um dos elementos dessa conjunção.
- A e B .
- Por conseguinte, um .
...ou alternativamente,
- A e B .
- Portanto, B .
Em notação de operador lógico :
...ou alternativamente,
Negação
Definição
Uma conjunção é provada falsa estabelecendo ou . Em termos de linguagem de objeto, isso lê
Esta fórmula pode ser vista como um caso especial de
quando é uma proposição falsa.
Outras estratégias de prova
Se implica , então , além de provar que a conjunção é falsa:
Em outras palavras, uma conjunção pode realmente ser provada falsa apenas por saber sobre a relação de suas conjunções, e não necessariamente sobre seus valores de verdade.
Esta fórmula pode ser vista como um caso especial de
quando é uma proposição falsa.
Qualquer uma das opções acima são provas construtivamente válidas por contradição.
Propriedades
comutatividade : sim
associatividade : sim
distributividade : com várias operações, especialmente com ou
outros | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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com exclusividade ou : com não implicação material : consigo mesmo: |
idempotência : sim
monotonicidade : sim
preservação da verdade: sim
Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.
(para ser testado) |
preservação de falsidade: sim
Quando todas as entradas são falsas, a saída é falsa.
(para ser testado) |
Espectro de Walsh : (1, -1, -1,1)
Não linearidade : 1 (a função é dobrada )
Se estiver usando valores binários para verdadeiro (1) e falso (0), a conjunção lógica funcionará exatamente como a multiplicação aritmética normal .
Aplicações em engenharia da computação
Na programação de computador de alto nível e na eletrônica digital , a conjunção lógica é comumente representada por um operador infixo, geralmente como uma palavra-chave como " AND
", uma multiplicação algébrica ou o símbolo do e comercial &
(às vezes duplicado como em &&
). Muitas linguagens também fornecem estruturas de controle de curto-circuito correspondentes à conjunção lógica.
A conjunção lógica é frequentemente usada para operações bit a bit, onde 0
corresponde a falso e 1
verdadeiro:
-
0 AND 0
=0
, -
0 AND 1
=0
, -
1 AND 0
=0
, -
1 AND 1
=1
.
A operação também pode ser aplicada a duas palavras binárias vistas como bitstrings de igual comprimento, tomando o AND bit a bit de cada par de bits nas posições correspondentes. Por exemplo:
-
11000110 AND 10100011
=10000010
.
Isso pode ser usado para selecionar parte de uma bitstring usando uma máscara de bits . Por exemplo, = extrai o quinto bit de uma bitstring de 8 bits.
10011101 AND 00001000
00001000
Na rede de computadores , as máscaras de bits são usadas para derivar o endereço de rede de uma sub - rede dentro de uma rede existente de um determinado endereço IP , colocando o endereço IP e a máscara de sub-rede em AND .
A conjunção lógica " AND
" também é usada em operações SQL para formar consultas de banco de dados .
A correspondência Curry-Howard relaciona a conjunção lógica aos tipos de produtos .
Correspondência teórica de conjuntos
A pertinência de um elemento de um conjunto de interseção na teoria dos conjuntos é definida em termos de uma conjunção lógica: x ∈ A ∩ B se e somente se ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). Por meio dessa correspondência, a intersecção teórica dos conjuntos compartilha várias propriedades com a conjunção lógica, como associatividade , comutatividade e idempotência .
Linguagem natural
Tal como acontece com outras noções formalizadas na lógica matemática, a conjunção lógica e está relacionada com, mas não o mesmo que, a conjunção gramatical e nas línguas naturais.
O "e" inglês tem propriedades não capturadas pela conjunção lógica. Por exemplo, "e" às vezes implica que a ordem tenha o sentido de "então". Por exemplo, "Eles se casaram e tiveram um filho" no discurso comum significa que o casamento veio antes do filho.
A palavra "e" também pode significar a divisão de uma coisa em partes, como "A bandeira americana é vermelha, branca e azul." Aqui, não significa que a bandeira seja ao mesmo tempo vermelha, branca e azul, mas sim que tem uma parte de cada cor.
Veja também
- Gráfico E-inversor
- E portão
- E bit a bit
- Álgebra Booleana (lógica)
- Tópicos de álgebra booleana
- Consulta conjuntiva booleana
- Domínio booleano
- Função booleana
- Função com valor booleano
- Eliminação de conjunção
- Leis De Morgan
- Lógica de primeira ordem
- Desigualdades de Fréchet
- Conjunção gramatical
- Disjunção lógica
- Negação lógica
- Gráfico lógico
- Operação
- Notação Peano-Russell
- Cálculo proposicional
Referências
links externos
- "Conjunção" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Wolfram MathWorld: Conjunção
- "Tabela de propriedades e verdade das proposições AND" . Arquivado do original em 6 de maio de 2017.