teste de Dini - Dini test

Em matemática , os Dini e testes Dini-Lipschitz são ensaios altamente precisos que podem ser utilizados para provar que a série de Fourier de uma função converge num dado ponto. Estes testes são nomeados após Ulisse Dini e Rudolf Lipschitz .

Definição

Deixe f ser uma função no [0,2 π ], deixou t haver algum ponto e deixar δ ser um número positivo. Nós definimos o módulo de locais de continuidade no ponto de t por

${\ Displaystyle \ left \ right \ omega _ {f} (\ delta; t).. = \ Max _ {| \ epsilon | \ leq \ delta} | f (t) -f (t + \ epsilon) |}$

Note-se que se considera aqui f para ser uma função periódica, por exemplo, se T = 0 e ε é negativo, então definimos f ( ε ) = f (2π + ε ) .

O módulo mundial de continuidade (ou, simplesmente, o módulo de continuidade ) é definida pela

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = \ max _ {t} \ omega _ {f} (\ delta; t)}$

Com estas definições podemos afirmar os principais resultados:

Teorema (teste de Dini): assumir uma função de f satisfaz a um ponto t que

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1} {\ delta}} \ omega _ {f} (\ delta; t) \, \ mathrm {d} \ delta <\ infty. }$

Então, a série de Fourier de f converge em t a f ( t ) .

Por exemplo, o teorema prende com ω _f = log ^-2 ( 1 / δ ) mas não segurar com log ^-1 ( 1 / δ ) .

Teorema (o teste Dini-Lipschitz): Assuma uma função f satisfaz

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = O \ left (\ log {\ frac {1} {\ delta}} \ right) ^ {-. 1}}$

Então, a série de Fourier de f converge uniformemente para f .

Em particular, qualquer função de uma classe Hölder satisfaz o teste Dini-Lipschitz.

Precisão

Ambos os testes são a melhor de sua espécie. Para o teste de Dini-Lipschitz, é possível construir uma função f com o seu módulo de continuidade que satisfaça o ensaio com S em vez de S , isto é,

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = O \ left (\ log {\ frac {1} {\ delta}} \ right) ^ {-. 1}}$

e a série de Fourier de f diverge. Para o teste de Dini, a declaração de precisão é ligeiramente mais longo: ele diz que para qualquer função Ω tal que

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1} {\ delta}} \ Omega (\ delta) \, \ mathrm {d} \ delta = \ infty}$

existe uma função f tal que

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (\ delta; 0) <\ Omega (\ delta)}$

e a série de Fourier de f diverge a 0.

Veja também

• Convergência das séries de Fourier
• continuidade Dini
• critério Dini

Referências