Convergência da série de Fourier - Convergence of Fourier series

Em matemática , a questão de saber se a série de Fourier de uma função periódica converge para a função dada é pesquisada por um campo conhecido como análise harmônica clássica , um ramo da matemática pura . A convergência não é necessariamente dada no caso geral, e certos critérios devem ser atendidos para que a convergência ocorra.

A determinação da convergência requer a compreensão da convergência pontual , convergência uniforme , convergência absoluta , espaços L ^p , métodos de somabilidade e a média de Cesàro .

Preliminares

Considere f uma função integrável no intervalo [0, 2 π ] . Para tal f, os coeficientes de Fourier são definidos pela fórmula ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n)}$

${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) e ^ {- int} \, \ mathrm {d} t, \ quad n \ in \ mathbb {Z}.}$

É comum descrever a conexão entre f e sua série de Fourier por

${\ displaystyle f \ sim \ sum _ {n} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int}.}$

A notação ~ aqui significa que a soma representa a função em algum sentido. Para investigar isso com mais cuidado, as somas parciais devem ser definidas:

${\ displaystyle S_ {N} (f; t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int}.}$

A questão aqui é: as funções (que são funções da variável t que omitimos na notação) convergem para fe em que sentido? Existem condições em f garantindo este ou aquele tipo de convergência? Este é o principal problema discutido neste artigo. ${\ displaystyle S_ {N} (f)}$

Antes de continuar, o kernel Dirichlet deve ser apresentado. Pegando a fórmula para , inserindo-a na fórmula e fazendo alguma álgebra dá que ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n)}$${\ displaystyle S_ {N}}$

${\ displaystyle S_ {N} (f) = f * D_ {N}}$

onde ∗ representa a convolução periódica e é o kernel de Dirichlet, que possui uma fórmula explícita, ${\ displaystyle D_ {N}}$

${\ displaystyle D_ {n} (t) = {\ frac {\ sin ((n + {\ frac {1} {2}}) t)} {\ sin (t / 2)}}.}$

O kernel Dirichlet não é um kernel positivo e, de fato, sua norma diverge, a saber

${\ displaystyle \ int | D_ {n} (t) | \, \ mathrm {d} t \ to \ infty}$

fato que desempenha um papel crucial na discussão. A norma de D _n em L ¹ ( T ) coincide com a norma do operador de convolução com D _n , atuando no espaço C ( T ) de funções periódicas contínuas, ou com a norma do funcional linear f  → ( S _n f ) (0) em C ( T ). Portanto, esta família de funcionais lineares em C ( T ) é ilimitada, quando n  → ∞.

Magnitude dos coeficientes de Fourier

Em aplicações, geralmente é útil saber o tamanho do coeficiente de Fourier.

Se for uma função absolutamente contínua , ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {K \ over | n |}}$

para uma constante que depende apenas de . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$

Se for uma função de variação limitada , ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {{\ rm {var}} (f) \ over 2 \ pi | n |}.}$

Se ${\ displaystyle f \ in C ^ {p}}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {\ | f ^ {(p)} \ | _ {L_ {1}} \ over | n | ^ {p}} .}$

Se e tem módulo de continuidade , ${\ displaystyle f \ in C ^ {p}}$${\ displaystyle f ^ {(p)}}$${\ displaystyle \ omega _ {p}}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {\ omega (2 \ pi / n) \ over | n | ^ {p}}}$

e, portanto, se está na classe α- Hölder${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {K \ over | n | ^ {\ alpha}}.}$

Convergência pontual

Superposição de funções de base da onda sinusoidal (parte inferior) para formar uma onda dente de serra (parte superior); as funções básicas têm comprimentos de onda λ / k ( k = inteiro) mais curtos do que o comprimento de onda λ da própria serra (exceto para k = 1). Todas as funções básicas têm nós nos nós do dente de serra, mas todas, exceto a fundamental, têm nós adicionais. A oscilação sobre o dente de serra é chamada de fenômeno de Gibbs

Existem muitas condições suficientes conhecidas para a série de Fourier de uma função convergir em um determinado ponto x , por exemplo, se a função é diferenciável em x . Mesmo uma descontinuidade de salto não representa um problema: se a função tem derivadas esquerda e direita em x , então a série de Fourier converge para a média dos limites esquerdo e direito (mas veja o fenômeno de Gibbs ).

O Critério de Dirichlet-Dini afirma que: se ƒ é 2 π –periódico, localmente integrável e satisfaz

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | {\ frac {f (x_ {0} + t) + f (x_ {0} -t)} {2}} - \ ell \ right | {\ frac {\ mathrm {d} t} {t}} <\ infty,}$

então (S _n f ) ( x ₀ ) converge para ℓ. Isso implica que para qualquer função f de qualquer classe de Hölder α  > 0, a série de Fourier converge em todos os lugares para f ( x ).

Também se sabe que para qualquer função periódica de variação limitada , a série de Fourier converge para todos os lugares. Veja também teste de Dini . Em geral, os critérios mais comuns para convergência pontual de uma função periódica f são os seguintes:

• Se f satisfaz uma condição de Holder, sua série de Fourier converge uniformemente.
• Se f é de variação limitada, então sua série de Fourier converge para todos os lugares.
• Se f é contínuo e seus coeficientes de Fourier são absolutamente somados, então a série de Fourier converge uniformemente.

Existem funções contínuas cujas séries de Fourier convergem pontualmente, mas não uniformemente; ver Antoni Zygmund, Trigonometric Series , vol. 1, Capítulo 8, Teorema 1.13, p. 300

No entanto, a série de Fourier de uma função contínua não precisa convergir pontualmente. Talvez a prova mais fácil use o não-limite do kernel de Dirichlet em L ¹ ( T ) e o princípio de limite uniforme de Banach-Steinhaus . Como é típico para argumentos de existência que invocam o teorema da categoria de Baire , essa prova não é construtiva. Mostra que a família de funções contínuas cuja série de Fourier converge em um dado x é de primeira categoria de Baire , no espaço de Banach de funções contínuas no círculo.

Portanto, em certo sentido, a convergência pontual é atípica e, para a maioria das funções contínuas, a série de Fourier não converge em um determinado ponto. No entanto, o teorema de Carleson mostra que, para uma dada função contínua, a série de Fourier converge para quase todos os lugares.

Também é possível dar exemplos explícitos de uma função contínua cuja série de Fourier diverge em 0: por exemplo, a função par e 2π-periódica f definida para todo x em [0, π] por

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {p = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ sin \ left [\ left (2 ^ {p ^ { 3}} + 1 \ direita) {\ frac {x} {2}} \ direita].}$

Convergência uniforme

Suponha , e tem módulo de continuidade , então a soma parcial da série de Fourier converge para a função com velocidade ${\ displaystyle f \ in C ^ {p}}$${\ displaystyle f ^ {(p)}}$

${\ displaystyle | f (x) - (S_ {N} f) (x) | \ leq K {\ ln N \ over N ^ {p}} \ omega (2 \ pi / N)}$

para uma constante que não depende de , nem , nem . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N}$

Este teorema, provado pela primeira vez por D Jackson, diz, por exemplo, que se satisfaz a condição - Hölder , então ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle | f (x) - (S_ {N} f) (x) | \ leq K {\ ln N \ over N ^ {\ alpha}}.}$

Se for periódica e absolutamente contínua em , então a série de Fourier converge uniformemente, mas não necessariamente de forma absoluta, para . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Convergência absoluta

Uma função ƒ tem uma série de Fourier absolutamente convergente se

${\ displaystyle \ | f \ | _ {A}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ widehat {f}} (n) | <\ infty.}$

Obviamente, se essa condição for válida, então converge absolutamente para cada t e, por outro lado, é suficiente que convirja absolutamente para cada t , então essa condição é válida. Em outras palavras, para a convergência absoluta, não há questão de onde a soma converge absolutamente - se ela converge absolutamente em um ponto, então o faz em todos os lugares. ${\ displaystyle (S_ {N} f) (t)}$${\ displaystyle (S_ {N} f) (t)}$

A família de todas as funções com séries de Fourier absolutamente convergentes é uma álgebra de Banach (a operação de multiplicação na álgebra é uma simples multiplicação de funções). É chamada de álgebra de Wiener , em homenagem a Norbert Wiener , que provou que se ƒ tem séries de Fourier absolutamente convergentes e nunca é zero, então 1 / ƒ tem séries de Fourier absolutamente convergentes. A prova original do teorema de Wiener foi difícil; uma simplificação usando a teoria das álgebras de Banach foi dada por Israel Gelfand . Finalmente, uma curta prova elementar foi dada por Donald J. Newman em 1975.

Se pertence a uma classe α-Hölder para α> 1/2, então ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {A} \ leq c _ {\ alpha} \ | f \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}}, \ qquad \ | f \ | _ {K }: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | n || {\ widehat {f}} (n) | ^ {2} \ leq c _ {\ alpha} \ | f \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}} ^ {2}}$

para a constante na condição de Hölder , uma constante dependente apenas de ; é a norma da álgebra de Kerin. Observe que 1/2 aqui é essencial - existem funções 1/2-Hölder, que não pertencem à álgebra de Wiener. Além disso, este teorema não pode melhorar o limite mais conhecido sobre o tamanho do coeficiente de Fourier de uma função α-Hölder - que é apenas e, portanto, não soma. ${\ displaystyle \ | f \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ | f \ | _ {K}}$${\ displaystyle O (1 / n ^ {\ alpha})}$

Se ƒ é de variação limitada e pertence a uma classe α-Hölder para algum α> 0, ele pertence à álgebra de Wiener.

Convergência de norma

O caso mais simples é o de L ² , que é uma transcrição direta dos resultados gerais do espaço de Hilbert . De acordo com o teorema de Riesz-Fischer , se ƒ é integrável ao quadrado, então

${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f (x) -S_ {N} (f) (x) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} x = 0}$

ou seja ,  converge para ƒ na norma de L ² . É fácil perceber que o inverso também é verdadeiro: se o limite acima for zero, ƒ deve estar em L ² . Portanto, esta é uma condição se e somente se . ${\ displaystyle S_ {N} f}$

Se 2 nos expoentes acima for substituído por algum p , a questão se torna muito mais difícil. Acontece que a convergência ainda é válida se 1 < p  <∞. Em outras palavras, para ƒ em L ^p ,  converge para ƒ na norma L ^p . A prova original usa propriedades de funções holomórficas e espaços de Hardy , e outra prova, devido a Salomon Bochner, se baseia no teorema de interpolação de Riesz-Thorin . Para p  = 1 e infinito, o resultado não é verdadeiro. A construção de um exemplo de divergência em L ¹ foi feita pela primeira vez por Andrey Kolmogorov (veja abaixo). Para o infinito, o resultado é um corolário do princípio de limite uniforme . ${\ displaystyle S_ {N} (f)}$

Se o operador de soma parcial S _N for substituído por um kernel de somabilidade adequado (por exemplo, a soma de Fejér obtida por convolução com o kernel de Fejér ), técnicas analíticas funcionais básicas podem ser aplicadas para mostrar que a convergência de norma é válida para 1 ≤  p  <∞.

Convergência em quase todos os lugares

O problema de a série Fourier de qualquer função contínua convergir para quase todos os lugares foi colocado por Nikolai Lusin na década de 1920. Foi resolvido positivamente em 1966 por Lennart Carleson . Seu resultado, agora conhecido como teorema de Carleson , diz que a expansão de Fourier de qualquer função em L ² converge para quase todos os lugares. Mais tarde, Richard Hunt generalizou isso para L ^p para qualquer p  > 1.

Ao contrário, Andrey Kolmogorov , ainda estudante aos 19 anos, em seu primeiro trabalho científico, construiu um exemplo de uma função em L ¹ cuja série de Fourier diverge em quase todos os lugares (posteriormente aprimorada para divergir em todos os lugares).

Jean-Pierre Kahane e Itzhak Katznelson provaram que, para qualquer dado conjunto E de medida de zero, existe uma função contínua ƒ de tal modo que a série de Fourier de ƒ falhar a convergir em qualquer ponto de E .

Somabilidade

A sequência 0,1,0,1,0,1, ... (as somas parciais das séries de Grandi ) converge para ½? Isso não parece uma generalização muito irracional da noção de convergência. Portanto, dizemos que qualquer sequência é Cesàro somada a algum a se ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = a.}$

Não é difícil ver que, se uma sequência converge para algum a, então também Cesàro pode somar a ela.

Para discutir a somabilidade das séries de Fourier, devemos substituí-la por uma noção apropriada. Portanto, definimos ${\ displaystyle S_ {N}}$

${\ displaystyle K_ {N} (f; t) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} S_ {n} (f; t), \ quad N \ geq 1,}$

e pergunte: converge para f ? não está mais associado ao kernel de Dirichlet, mas ao kernel de Fejér , a saber ${\ displaystyle K_ {N} (f)}$${\ displaystyle K_ {N}}$

${\ displaystyle K_ {N} (f) = f * F_ {N} \,}$

onde está o kernel de Fejér, ${\ displaystyle F_ {N}}$

${\ displaystyle F_ {N} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} D_ {n}.}$

A principal diferença é que o kernel de Fejér é um kernel positivo. O teorema de Fejér afirma que a seqüência de somas parciais acima converge uniformemente para ƒ . Isso implica propriedades de convergência muito melhores

• Se ƒ é contínua em t, então a série de Fourier de ƒ é somatória em t com ƒ ( t ). Se ƒ for contínua, sua série de Fourier é uniformemente somatória (isto é, converge uniformemente para ƒ ).${\ displaystyle K_ {N} f}$
• Para qualquer ƒ integrável , converge para ƒ na norma.${\ displaystyle K_ {N} f}$${\ displaystyle L ^ {1}}$
• Não há fenômeno de Gibbs.

Os resultados sobre somabilidade também podem implicar resultados sobre convergência regular. Por exemplo, aprendemos que se ƒ for contínuo em t , então a série de Fourier de ƒ não pode convergir para um valor diferente de ƒ ( t ). Ele pode convergir para ƒ ( t ) ou divergir. Isso ocorre porque, se converge para algum valor x , também é somatório a ele, portanto, da primeira propriedade de somabilidade acima, x  = ƒ ( t ). ${\ displaystyle S_ {N} (f; t)}$

Ordem de crescimento

A ordem de crescimento do kernel de Dirichlet é logarítmica, ou seja

${\ displaystyle \ int | D_ {N} (t) | \, \ mathrm {d} t = {\ frac {4} {\ pi ^ {2}}} \ log N + O (1).}$

Veja a notação Big O para a notação O (1). O valor real é difícil de calcular (ver Zygmund 8.3) e quase inútil. O fato de que para alguma constante c temos ${\ displaystyle 4 / \ pi ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int | D_ {N} (t) | \, \ mathrm {d} t> c \ log N + O (1)}$

fica bem claro quando se examina o gráfico do kernel de Dirichlet. A integral sobre o n- ésimo pico é maior do que c / n e, portanto, a estimativa para a soma harmônica fornece a estimativa logarítmica.

Esta estimativa envolve versões quantitativas de alguns dos resultados anteriores. Para qualquer função contínua f e qualquer t tem

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ log N}} = 0.}$

No entanto, para qualquer ordem de crescimento ω ( n ) menor que log, isso não é mais válido e é possível encontrar uma função contínua f tal que para algum t ,

${\ displaystyle \ varlimsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ omega (N)}} = \ infty.}$

O problema equivalente para divergências em todos os lugares está aberto. Sergei Konyagin conseguiu construir uma função integrável de tal forma que para cada um tem

${\ displaystyle \ varlimsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ sqrt {\ log N}}} = \ infty.}$

Não se sabe se este exemplo é o melhor possível. O único limite conhecido da outra direção é log n .

Múltiplas dimensões

Ao examinar o problema equivalente em mais de uma dimensão, é necessário especificar a ordem precisa da soma usada. Por exemplo, em duas dimensões, pode-se definir

${\ displaystyle S_ {N} (f; t_ {1}, t_ {2}) = \ sum _ {| n_ {1} | \ leq N, | n_ {2} | \ leq N} {\ widehat {f }} (n_ {1}, n_ {2}) e ​​^ {i (n_ {1} t_ {1} + n_ {2} t_ {2})}}$

que são conhecidos como "somas parciais quadradas". Substituindo a soma acima por

${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} \ leq N ^ {2}}}$

conduzem a "somas parciais circulares". A diferença entre essas duas definições é bastante notável. Por exemplo, a norma do kernel de Dirichlet correspondente para somas parciais quadradas é da ordem de, enquanto para somas parciais circulares é da ordem de . ${\ displaystyle \ log ^ {2} N}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Muitos dos resultados verdadeiros para uma dimensão estão errados ou são desconhecidos em várias dimensões. Em particular, o equivalente do teorema de Carleson ainda está aberto para somas parciais circulares. Quase em toda parte, a convergência de "somas parciais quadradas" (bem como somas parciais poligonais mais gerais) em dimensões múltiplas foi estabelecida por volta de 1970 por Charles Fefferman .

Notas

Referências

Livros didáticos

• Dunham Jackson The theory of Approximation , AMS Colloquium Publication Volume XI, New York 1930.
• Nina K. Bary, um tratado sobre séries trigonométricas , Vols. I, II. Tradução autorizada por Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
• Antoni Zygmund, Trigonometric series , Vol. I, II. Terceira edição. Com prefácio de Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN  0-521-89053-5
• Yitzhak Katznelson, uma introdução à análise harmônica , terceira edição. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN  0-521-54359-2
• Karl R. Stromberg, Introdução à análise clássica , Wadsworth International Group, 1981. ISBN  0-534-98012-0

O livro de Katznelson é o que usa a terminologia e o estilo mais modernos dos três. As datas de publicação originais são: Zygmund em 1935, Bari em 1961 e Katznelson em 1968. O livro de Zygmund foi amplamente expandido em sua segunda publicação em 1959, no entanto.

Artigos referidos no texto

• Paul du Bois-Reymond , "Ueber die Fourierschen Reihen", Nachr. Kön. Ges. Wiss. Göttingen 21 (1873), 571–582.

Esta é a primeira prova de que a série de Fourier de uma função contínua pode divergir. Em alemão

• Andrey Kolmogorov , "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324-328.
• Andrey Kolmogorov, "Une série de Fourier – Lebesgue divergente partout", CR Acad. Sci. Paris 183 (1926), 1327–1328

O primeiro é a construção de uma função integrável cuja série de Fourier diverge em quase todos os lugares. O segundo é um fortalecimento da divergência em todos os lugares. Em francês.

• Lennart Carleson , "Sobre a convergência e o crescimento das somas parciais das séries de Fourier", Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Richard A. Hunt , "On the convergence of Fourier series", Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues (Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967), 235-255. Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, Ill.
• Charles Louis Fefferman , "Pointwise convergence of Fourier series", Ann. da matemática. 98 (1973), 551–571.
• Michael Lacey e Christoph Thiele , "Uma prova de limitação do operador Carleson", Math. Res. Lett. 7: 4 (2000), 361–370.
• Ole G. Jørsboe e Leif Mejlbro, O teorema de Carleson-Hunt na série de Fourier . Lecture Notes in Mathematics 911, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN  3-540-11198-0

Este é o artigo original de Carleson, onde ele prova que a expansão de Fourier de qualquer função contínua converge para quase todos os lugares; o papel de Hunt onde o generaliza aos espaços; duas tentativas de simplificar a prova; e um livro que dá uma exposição independente dele.${\ displaystyle L ^ {p}}$

• Dunham Jackson , Fourier Series and Orthogonal Polynomials , 1963
• DJ Newman, "Uma prova simples do teorema 1 / f de Wiener", Proc. Amer. Matemática. Soc. 48 (1975), 264–265.
• Jean-Pierre Kahane e Yitzhak Katznelson , "Sur les ensembles de divergence des trigonométriques", Studia Math. 26 (1966), 305–306

Neste artigo, os autores mostram que para qualquer conjunto de medida zero existe uma função contínua no círculo cuja série de Fourier diverge naquele conjunto. Em francês.

• Sergei Vladimirovich Konyagin , "Sobre a divergência das séries trigonométricas de Fourier em todos os lugares", CR Acad. Sci. Paris 329 (1999), 693–697.
• Jean-Pierre Kahane, Algumas séries aleatórias de funções , segunda edição. Cambridge University Press, 1993. ISBN  0-521-45602-9

O artigo de Konyagin prova o resultado da divergência discutido acima. Uma prova mais simples que fornece apenas log log  n pode ser encontrada no livro de Kahane.${\ displaystyle {\ sqrt {\ log n}}}$