Número dual-complexo - Dual-complex number

Multiplicação de complexo duplo

${\ displaystyle \ times}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle i}$	${\ displaystyle \ varepsilon j}$	${\ displaystyle \ varepsilon k}$
${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle i}$	${\ displaystyle \ varepsilon j}$	${\ displaystyle \ varepsilon k}$
${\ displaystyle i}$	${\ displaystyle i}$	${\ displaystyle -1}$	${\ displaystyle \ varepsilon k}$	${\ displaystyle - \ varepsilon j}$
${\ displaystyle \ varepsilon j}$	${\ displaystyle \ varepsilon j}$	${\ displaystyle - \ varepsilon k}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$
${\ displaystyle \ varepsilon k}$	${\ displaystyle \ varepsilon k}$	${\ displaystyle \ varepsilon j}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$

Os números complexos duais constituem uma álgebra quadridimensional sobre os números reais . Sua principal aplicação é a representação de movimentos de corpos rígidos no espaço 2D.

Ao contrário da multiplicação de números duais ou de números complexos , a de números complexos duais é não comutativa .

Definição

Neste artigo, o conjunto de números complexos dual é denotado . Um elemento geral de tem a forma em que , , e são números reais; é um número dual que se eleva ao quadrado até zero; e ,, e são os elementos básicos padrão dos quatérnios . ${\ displaystyle \ mathbb {DC}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ mathbb {DC}}$${\ textstyle A + Bi + C \ varejpsilon j + D \ varepsilon k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$

A multiplicação é feita da mesma forma que com os quatérnios, mas com a regra adicional que é nilpotente de índice , ou seja , que em algumas circunstâncias torna comparável a um número infinitesimal . Segue-se que os inversos multiplicativos de números complexos duais são dados por ${\ textstyle \ varepsilon}$${\ displaystyle 2}$${\ textstyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$${\ textstyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle (A + Bi + C \ varejpsilon j + D \ varejpsilon k) ^ {- 1} = {\ frac {A-Bi-C \ varejpsilon jD \ varejpsilon k} {A ^ {2} + B ^ { 2}}}}$

O conjunto forma uma base do espaço vetorial de números complexos dual, onde os escalares são números reais. ${\ displaystyle \ {1, i, \ varepsilon j, \ varepsilon k \}}$

A magnitude de um número complexo duplo é definida como${\ displaystyle q}$

Para aplicações em computação gráfica, o número é comumente representado como a 4- tupla . ${\ displaystyle A + Bi + C \ varejpsilon j + D \ varepsilon k}$ ${\ displaystyle (A, B, C, D)}$

Representação matricial

Um número complexo duplo tem a seguinte representação como uma matriz complexa 2x2: ${\ displaystyle q = A + Bi + C \ varejpsilon j + D \ varepsilon k}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A + Bi & C + Di \\ 0 & A-Bi \ end {pmatrix}}.}$

Também pode ser representado como uma matriz numérica dupla 2x2:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A + C \ epsilon & -B + D \ epsilon \\ B + D \ epsilon & A-C \ epsilon \ end {pmatrix}}.}$

As duas representações de matriz acima estão relacionadas às transformações de Möbius e às transformações de Laguerre, respectivamente.

Terminologia

A álgebra discutida neste artigo às vezes é chamada de números complexos duais . Este pode ser um nome enganoso porque sugere que a álgebra deve assumir a forma de:

1. Os números duplos, mas com entradas de números complexos
2. Os números complexos, mas com entradas de número duplo

Existe uma álgebra que atende a qualquer uma das descrições. E ambas as descrições são equivalentes. (Isso se deve ao fato de que o produto tensorial das álgebras é comutativo até o isomorfismo ). Esta álgebra pode ser denotada como o uso de quociente de anel . A álgebra resultante tem um produto comutativo e não é mais discutida. ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}$

Representando movimentos de corpo rígido

Deixar

ser um número complexo dual de comprimento unitário, ou seja, devemos ter

O plano euclidiano pode ser representado pelo conjunto . ${\ textstyle \ Pi = \ {i + x \ varejpsilon j + y \ varejpsilon k \ mid x \ in \ mathbb {R}, y \ in \ mathbb {R} \}}$

Um elemento on representa o ponto no plano euclidiano com coordenada cartesiana . ${\ displaystyle v = i + x \ varejpsilon j + y \ varepsilon k}$${\ displaystyle \ Pi}$ ${\ displaystyle (x, y)}$

${\ displaystyle q}$pode ser feita para agir em pelo${\ displaystyle v}$

que mapeia para algum outro ponto . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ Pi}$

Temos as seguintes (múltiplas) formas polares para : ${\ displaystyle q}$

1. Quando , o elemento pode ser escrito como${\ displaystyle B \ neq 0}$${\ displaystyle q}$
   $${\ displaystyle \ cos (\ theta / 2) + \ sin (\ theta / 2) (i + x \ varejpsilon j + y \ varejpsilon k),}$$

   
   o que denota uma rotação do ângulo em torno do ponto .${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle (x, y)}$
2. Quando , o elemento pode ser escrito como${\ displaystyle B = 0}$${\ displaystyle q}$
   $${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & 1 + i (x \ varejpsilon j + y \ varejpsilon k) \\ = {} & 1-y \ varejpsilon j + x \ varejpsilon k, \ end {alinhado}}}$$

   
   que denota uma tradução por vetor ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}$

Construção geométrica

Uma construção baseada em princípios dos números complexos duais pode ser encontrada observando-se primeiro que eles são um subconjunto dos quatérnions duais .

Existem duas interpretações geométricas dos quatérnions duais , ambas as quais podem ser usadas para derivar a ação dos números complexos duais no plano:

• Como forma de representar os movimentos do corpo rígido no espaço 3D . Os números complexos duais podem então ser vistos como representando um subconjunto desses movimentos de corpo rígido. Isso requer alguma familiaridade com a maneira como os quatérnios duais agem no espaço euclidiano. Não descreveremos essa abordagem aqui, pois ela é feita de forma adequada em outro lugar .
• Os quaternions duais podem ser entendidos como um "espessamento infinitesimal" dos quaternions. Lembre-se de que os quatérnions podem ser usados ​​para representar rotações espaciais 3D , enquanto os números duais podem ser usados ​​para representar " infinitesimais ". A combinação desses recursos permite que as rotações sejam variadas infinitesimalmente. Vamos denotar um plano infinitesimal situado na esfera unitária, igual a . Observe que é um subconjunto da esfera, apesar de ser plana (isso se deve ao comportamento de infinitesimais de número dual).${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ {i + x \ varejpsilon j + y \ varejpsilon k \ mid x \ in \ mathbb {R}, y \ in \ mathbb {R} \}}$${\ displaystyle \ Pi}$

Observe então que, como um subconjunto dos quatérnios duais, os números complexos duais giram o plano de volta sobre si mesmo. O efeito que isso tem depende do valor de in :${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle v \ in \ Pi}$${\ displaystyle q = A + Bi + C \ varejpsilon j + D \ varepsilon k}$${\ displaystyle qvq ^ {- 1}}$

1. Quando , o eixo de rotação aponta para algum ponto em , de modo que os pontos em experimentam uma rotação ao redor .${\ displaystyle B \ neq 0}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle p}$
2. Quando , o eixo de rotação aponta para longe do plano, com o ângulo de rotação sendo infinitesimal. Nesse caso, os pontos sobre experimentam uma tradução.${\ displaystyle B = 0}$${\ displaystyle \ Pi}$

Veja também

• Estudo Eduard
• Quatérnions
• Números duplos
• Quatérnions duais
• Álgebra de Clifford
• Isometria de plano euclidiano
• Transformação afim
• Plano projetivo
• Coordenadas homogêneas
• SLERP
• Álgebra geométrica conforme

Referências