Quatérnio duplo - Dual quaternion

Em matemática , os quatérnions duais são uma álgebra real de 8 dimensões isomórfica ao produto tensorial dos quatérnions e dos números duais . Assim, eles podem ser construídos da mesma maneira que os quatérnios, exceto usando números duais em vez de números reais como coeficientes. Um quatérnio dual pode ser representado na forma A + ε B , onde A e B são quatérnions ordinários e ε é a unidade dual, que satisfaz ε ² = 0 e comuta com todos os elementos da álgebra. Ao contrário dos quatérnios, os quatérnios duais não formam uma álgebra de divisão .

Em mecânica , os quatérnions duais são aplicados como um sistema numérico para representar transformações rígidas em três dimensões. Como o espaço dos quatérnions duais é 8-dimensional e uma transformação rígida tem seis graus reais de liberdade, três para translações e três para rotações, quatérnions duais obedecendo a duas restrições algébricas são usados ​​nesta aplicação.

Semelhante à maneira como as rotações no espaço 3d podem ser representadas por quatérnions de comprimento unitário, os movimentos rígidos no espaço 3d podem ser representados por quatérnions duais de comprimento unitário. Este fato é usado em cinemática teórica (ver McCarthy) e em aplicações para computação gráfica 3D , robótica e visão computacional .

História

WR Hamilton introduziu quaternions em 1843, e em 1873 WK Clifford obteve uma ampla generalização desses números que ele chamou de biquaternions , que é um exemplo do que agora é chamado de álgebra de Clifford .

Em 1898, Alexander McAulay usou Ω com Ω ² = 0 para gerar a álgebra de quaternion dual. No entanto, sua terminologia de "octonions" não se manteve, visto que as octonions de hoje são outra álgebra.

Na Rússia, Aleksandr Kotelnikov desenvolveu vetores duais e quatérnios duais para uso no estudo da mecânica.

Em 1891, Eduard Study percebeu que essa álgebra associativa era ideal para descrever o grupo de movimentos do espaço tridimensional . Ele desenvolveu a ideia em Geometrie der Dynamen em 1901. BL van der Waerden chamou a estrutura de "biquaternions de estudo", uma das três álgebras de oito dimensões conhecidas como biquaternions .

Fórmulas

Para descrever as operações com quatérnios duais, é útil primeiro considerar os quatérnios .

Um quatérnio é uma combinação linear dos elementos de base 1, i , j e k . A regra de produto de Hamilton para i , j e k é frequentemente escrita como

${\ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1.}$

Calcule i ( ijk ) = - jk = - i , para obter jk = i , e ( ijk ) k = - ij = - k ou ij = k . Agora, como j ( jk ) = ji = - k , vemos que este produto produz ij = - ji , que liga os quatérnios às propriedades dos determinantes.

Uma maneira conveniente de trabalhar com o produto do quatérnio é escrever um quatérnio como a soma de um escalar e um vetor, que é A = a ₀ + A , onde a ₀ é um número real e A = A ₁ i + A ₂ j + A ₃ k é um vetor tridimensional. As operações ponto vetorial e cruzada agora podem ser usadas para definir o produto do quatérnio de A = a ₀ + A e C = c ₀ + C como

${\ displaystyle G = AC = (a_ {0} + \ mathbf {A}) (c_ {0} + \ mathbf {C}) = (a_ {0} c_ {0} - \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C}) + (c_ {0} \ mathbf {A} + a_ {0} \ mathbf {C} + \ mathbf {A} \ times \ mathbf {C}).}$

Um quaternion dual é geralmente descrito como um quaternion com números duais como coeficientes. Um número dual é um par ordenado â = ( a , b ) . Dois números duais somam componentes e multiplicam pela regra - = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Números duais são freqüentemente escritos na forma â = a + ε b , onde ε é a unidade dual que comuta com i , j , k e tem a propriedade ε ² = 0 .

O resultado é que um quaternion dual pode ser escrito como um par ordenado de quaternions ( A , B ) . Dois quatérnios duais somam-se componentes e multiplicam-se pela regra,

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {C}} = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC).}$

É conveniente escrever um quatérnio dual como a soma de um escalar dual e um vetor dual, Â = â ₀ + A , onde â ₀ = ( a , b ) e A = ( A , B ) é o vetor dual que define um parafuso . Esta notação nos permite escrever o produto de dois quatérnios duais como

${\ displaystyle {\ hat {G}} = {\ hat {A}} {\ hat {C}} = ({\ hat {a}} _ {0} + {\ mathsf {A}}) ({\ hat {c}} _ {0} + {\ mathsf {C}}) = ({\ hat {a}} _ {0} {\ hat {c}} _ {0} - {\ mathsf {A}} \ cdot {\ mathsf {C}}) + ({\ hat {c}} _ {0} {\ mathsf {A}} + {\ hat {a}} _ {0} {\ mathsf {C}} + {\ mathsf {A}} \ times {\ mathsf {C}}).}$

Adição

A adição de quatérnions duais é definida por componentes para que, dado,

${\ displaystyle {\ hat {A}} = (A, B) = a_ {0} + a_ {1} i + a_ {2} j + a_ {3} k + b_ {0} \ varepsilon + b_ {1 } \ varejpsilon i + b_ {2} \ varejpsilon j + b_ {3} \ varejpsilon k,}$

e

${\ displaystyle {\ hat {C}} = (C, D) = c_ {0} + c_ {1} i + c_ {2} j + c_ {3} k + d_ {0} \ varepsilon + d_ {1 } \ varejpsilon i + d_ {2} \ varejpsilon j + d_ {3} \ varejpsilon k,}$

então

${\ displaystyle {\ hat {A}} + {\ hat {C}} = (A + C, B + D) = (a_ {0} + c_ {0}) + (a_ {1} + c_ {1 }) i + (a_ {2} + c_ {2}) j + (a_ {3} + c_ {3}) k + (b_ {0} + d_ {0}) \ varejpsilon + (b_ {1} + d_ {1 }) \ varepsilon i + (b_ {2} + d_ {2}) \ varepsilon j + (b_ {3} + d_ {3}) \ varejpsilon k,}$

Multiplicação

A multiplicação de dois quatérnions duais segue as regras de multiplicação para as unidades de quatérnio i, j, k e multiplicação comutativa pela unidade dual ε. Em particular, dado

${\ displaystyle {\ hat {A}} = (A, B) = A + \ varejpsilon B,}$

e

${\ displaystyle {\ hat {C}} = (C, D) = C + \ varejpsilon D,}$

então

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {C}} = (A + \ varejpsilon B) (C + \ varejpsilon D) = AC + \ varejpsilon (AD + BC).}$

Observe que não há termo BD , porque a definição de números duais requer que ε ² = 0 .

Isso nos dá a tabela de multiplicação (observe que a ordem de multiplicação é linha vezes coluna):

Tabela de multiplicação para unidades de quatérnio duplo

(Linha x coluna)	1	eu	j	k	ε	ε i	ε j	ε k
1	1	eu	j	k	ε	ε i	ε j	ε k
eu	eu	-1	k	- j	ε i	−ε	ε k	−ε j
j	j	- k	-1	eu	ε j	−ε k	−ε	ε i
k	k	j	- eu	-1	ε k	ε j	−ε i	−ε
ε	ε	ε i	ε j	ε k	0	0	0	0
ε i	ε i	−ε	ε k	−ε j	0	0	0	0
ε j	ε j	−ε k	−ε	ε i	0	0	0	0
ε k	ε k	ε j	−ε i	−ε	0	0	0	0

Conjugado

O conjugado de um quatérnio dual é a extensão do conjugado de um quatérnio, ou seja,

${\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {*} = (A ^ {*}, B ^ {*}) = A ^ {*} + \ varepsilon B ^ {*}. \!}$

Tal como acontece com os quatérnions, o conjugado do produto dos quatérnions duais, Ĝ = ÂĈ , é o produto de seus conjugados na ordem inversa,

${\ displaystyle {\ hat {G}} ^ {*} = ({\ hat {A}} {\ hat {C}}) ^ {*} = {\ hat {C}} ^ {*} {\ hat {A}} ^ {*}.}$

É útil apresentar as funções Sc (∗) e Vec (∗) que selecionam as partes escalares e vetoriais de um quaternion, ou as partes escalares e vetoriais duais de um quaternion dual. Em particular, se  = â ₀ + A , então

${\ displaystyle {\ mbox {Sc}} ({\ hat {A}}) = {\ hat {a}} _ {0}, {\ mbox {Vec}} ({\ hat {A}}) = { \ mathsf {A}}.}$

Isso permite a definição do conjugado de  como

${\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {*} = {\ mbox {Sc}} ({\ hat {A}}) - {\ mbox {Vec}} ({\ hat {A}}).}$

ou,

${\ displaystyle ({\ hat {a}} _ {0} + {\ mathsf {A}}) ^ {*} = {\ hat {a}} _ {0} - {\ mathsf {A}}.}$

O produto de um quaternion duplo com seus rendimentos conjugados

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {*} = ({\ hat {a}} _ {0} + {\ mathsf {A}}) ({\ hat {a} } _ {0} - {\ mathsf {A}}) = {\ hat {a}} _ {0} ^ {2} + {\ mathsf {A}} \ cdot {\ mathsf {A}}.}$

Este é um escalar dual que é a magnitude ao quadrado do quaternion dual.

Conjugado de número duplo

Um segundo tipo de conjugado de um quaternion dual é dado tomando o conjugado de número dual, dado por

${\ displaystyle {\ overline {\ hat {A}}} = (A, -B) = A- \ varejpsilon B. \!}$

O quaternion e os conjugados de número duplo podem ser combinados em uma terceira forma de conjugado dada por

${\ displaystyle {\ overline {{\ hat {A}} ^ {*}}} = (A ^ {*}, - B ^ {*}) = A ^ {*} - \ varepsilon B ^ {*}. \!}$

No contexto de quatérnions duais, o termo "conjugado" pode ser usado para significar o conjugado de quatérnio, o conjugado de número duplo ou ambos.

Norma

A norma de um quatérnio dual | Â | é calculado usando o conjugado para calcular | Â | = √ Â Â ^* . Este é um número dual denominado magnitude do quaternion dual. Quatérnios duplos com | Â | = 1 são quatérnions duais unitários .

Quatérnions duplos de magnitude 1 são usados ​​para representar deslocamentos euclidianos espaciais. Observe que o requisito de   ^* = 1 introduz duas restrições algébricas nas componentes de  , ou seja,

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {*} = (A, B) (A ^ {*}, B ^ {*}) = (AA ^ {*}, AB ^ {*} + BA ^ {*}) = (1,0).}$

Inverso

Se p + ε q é um quaternion dual, ep não é zero, então o quaternion dual inverso é dado por

p ⁻¹ (1 - ε q p ⁻¹ ).

Assim, os elementos do subespaço {ε q: q ∈ H} não têm inversos. Este subespaço é chamado de ideal na teoria dos anéis. Acontece que é o ideal máximo único do anel de números duais.

O grupo de unidades do anel numérico dual consiste então em números que não são o ideal. Os números duais formam um anel local, pois existe um ideal máximo único. O grupo de unidades é um grupo de Lie e pode ser estudado usando o mapeamento exponencial . Quatérnios duais têm sido usados ​​para exibir transformações no grupo euclidiano . Um elemento típico pode ser escrito como uma transformação de parafuso .

Quatérnions duais e deslocamentos espaciais

Um benefício da formulação de quatérnio dual da composição de dois deslocamentos espaciais D _B  = ([ R _B ], b ) e D _A  = ([ R _A ], a ) é que o quaternion dual resultante produz diretamente o eixo do parafuso e o dual ângulo de deslocamento do composto D _C  =  D _B D _a .

Em geral, o quatérnio duplo associado a um deslocamento espacial D  = ([ A ],  d ) é construído a partir de seu eixo de parafuso S  = ( S ,  V ) e o ângulo duplo ( φ ,  d ) onde φ é a rotação em torno de e d a deslizar ao longo desse eixo, o que define o deslocamento  D . O quaternion dual associado é dado por,

${\ displaystyle {\ hat {S}} = \ cos {\ frac {\ hat {\ phi}} {2}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ phi}} {2}} {\ mathsf { S}}.}$

Deixe que a composição do deslocamento D _B com D _Uma ser o deslocamento D _C  =  D _B D _A . O eixo do parafuso e o ângulo duplo de D _C são obtidos a partir do produto dos quatérnions duais de D _A e D _B , dado por

${\ displaystyle {\ hat {A}} = \ cos ({\ hat {\ alpha}} / 2) + \ sin ({\ hat {\ alpha}} / 2) {\ mathsf {A}} \ quad { \ text {e}} \ quad {\ hat {B}} = \ cos ({\ hat {\ beta}} / 2) + \ sin ({\ hat {\ beta}} / 2) {\ mathsf {B }}.}$

Ou seja, o deslocamento composto D _C = D _B D _A tem o quaternion dual associado dado por

${\ displaystyle {\ hat {C}} = \ cos {\ frac {\ hat {\ gamma}} {2}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ gamma}} {2}} {\ mathsf { C}} = \ left (\ cos {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} {\ mathsf {B}} \ direita) \ left (\ cos {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {A}} \ right) .}$

Expanda este produto para obter

${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ hat {\ gamma}} {2}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ gamma}} {2}} {\ mathsf {C}} = \ left (\ cos {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} \ cos {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} - \ sin {\ frac {\ hat {\ beta}} {2} } \ sin {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {B}} \ cdot {\ mathsf {A}} \ right) + \ left (\ sin {\ frac {\ hat { \ beta}} {2}} \ cos {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {B}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} \ cos {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} {\ mathsf {A}} + \ sin {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} \ sin {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {B}} \ times {\ mathsf {A}} \ right).}$

Divida ambos os lados desta equação pela identidade

${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ hat {\ gamma}} {2}} = \ cos {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} \ cos {\ frac {\ hat {\ alpha} } {2}} - \ sin {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} \ sin {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {B}} \ cdot { \ mathsf {A}}}$

obter

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ hat {\ gamma}} {2}} {\ mathsf {C}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} { \ mathsf {B}} + \ tan {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {A}} + \ tan {\ frac {\ hat {\ beta}} {2}} \ tan {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {B}} \ times {\ mathsf {A}}} {1- \ tan {\ frac {\ hat {\ beta}} { 2}} \ tan {\ frac {\ hat {\ alpha}} {2}} {\ mathsf {B}} \ cdot {\ mathsf {A}}}}.}$

Esta é a fórmula de Rodrigues para o eixo do parafuso de um deslocamento composto definido em termos dos eixos do parafuso dos dois deslocamentos. Ele derivou essa fórmula em 1840.

Os três eixos de parafuso A, B e C formam um triângulo espacial e os ângulos duais nesses vértices entre as normais comuns que formam os lados desse triângulo estão diretamente relacionados aos ângulos duais dos três deslocamentos espaciais.

Forma de matriz de multiplicação de quatérnio dual

A representação de matriz do produto de quatérnio é conveniente para programar cálculos de quatérnio usando álgebra de matrizes, o que também é verdadeiro para operações de quatérnio duplo.

O produto do quatérnio AC é uma transformação linear pelo operador A dos componentes do quatérnio C, portanto existe uma representação matricial de A operando no vetor formado a partir dos componentes de C.

Monte os componentes do quaternion C = c ₀ + C na matriz C = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ ) . Observe que os componentes da parte vetorial do quatérnio são listados primeiro e o escalar é listado por último. Esta é uma escolha arbitrária, mas uma vez selecionada esta convenção, devemos cumpri-la.

O produto de quatérnio AC agora pode ser representado como o produto de matriz

${\ displaystyle AC = [A ^ {+}] C = {\ begin {bmatrix} a_ {0} & A_ {3} & - A_ {2} & A_ {1} \\ - A_ {3} & a_ {0} & A_ {1} & A_ {2} \\ A_ {2} & - A_ {1} & a_ {0} & A_ {3} \\ - A_ {1} & - A_ {2} & - A_ {3} & a_ {0} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} C_ {1} \\ C_ {2} \\ C_ {3} \\ c_ {0} \ end {Bmatrix}}.}$

O produto AC também pode ser visto como uma operação de C nos componentes de A, caso em que temos

${\ displaystyle AC = [C ^ {-}] A = {\ begin {bmatrix} c_ {0} & C_ {3} & - C_ {2} & C_ {1} \\ - C_ {3} & c_ {0} & C_ {1} & C_ {2} \\ C_ {2} & - C_ {1} & c_ {0} & C_ {3} \\ - C_ {1} & - C_ {2} & - C_ {3} & c_ {0} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} A_ {1} \\ A_ {2} \\ A_ {3} \\ a_ {0} \ end {Bmatrix}}.}$

O produto de quatérnio dual  = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC) pode ser formulado como uma operação de matriz como segue. Monte os componentes de Ĉ na matriz de oito dimensões Ĉ = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ , D ₁ , D ₂ , D ₃ , d ₀ ), então é dado pelo produto da matriz 8x8

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {C}} = [{\ hat {A}} ^ {+}] {\ hat {C}} = {\ begin {bmatrix} A ^ {+} & 0 \\ B ^ {+} & A ^ {+} \ end {bmatriz}} {\ begin {Bmatriz} C \\ D \ end {Bmatriz}}.}$

Como vimos para quatérnions, o produto ÂĈ pode ser visto como a operação de Ĉ no vetor de coordenadas Â, o que significa que ÂĈ também pode ser formulado como,

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {C}} = [{\ hat {C}} ^ {-}] {\ hat {A}} = {\ begin {bmatrix} C ^ {-} & 0 \\ D ^ {-} & C ^ {-} \ end {bmatriz}} {\ begin {Bmatriz} A \\ B \ end {Bmatriz}}.}$

Mais sobre deslocamentos espaciais

O quaternion dual de um deslocamento D = ([A], d ) pode ser construído a partir do quaternion S = cos (φ / 2) + sin (φ / 2) S que define a rotação [A] e o quaternion vetorial construído a partir de o vetor de tradução d , dado por D = d ₁ i + d ₂ j + d ₃ k. Usando esta notação, o quatérnio dual para o deslocamento D = ([A], d ) é dado por

${\ displaystyle {\ hat {S}} = S + \ varepsilon {\ frac {1} {2}} DS.}$

Deixe as coordenadas de Plücker de uma linha na direção x através de um ponto p em um corpo em movimento e suas coordenadas no quadro fixo que está na direção X através do ponto P sejam dadas por,

${\ displaystyle {\ hat {x}} = \ mathbf {x} + \ varepsilon \ mathbf {p} \ times \ mathbf {x} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ hat {X}} = \ mathbf {X} + \ varepsilon \ mathbf {P} \ times \ mathbf {X}.}$

Então, o quatérnio duplo do deslocamento deste corpo transforma as coordenadas de Plücker no quadro móvel em coordenadas de Plücker no quadro fixo pela fórmula

${\ displaystyle {\ hat {X}} = {\ hat {S}} {\ hat {x}} {\ overline {{\ hat {S}} ^ {*}}}.}$

Usando a forma de matriz do produto de quatérnio dual, isso se torna,

${\ displaystyle {\ hat {X}} = [{\ hat {S}} ^ {+}] [{\ hat {S}} ^ {-}] ^ {*} {\ hat {x}}.}$

Este cálculo é facilmente gerenciado usando operações de matriz.

Quatérnions duplos e transformações homogêneas 4 × 4

Pode ser útil, especialmente no movimento de corpo rígido, representar quatérnios duais unitários como matrizes homogêneas . Como dado acima, um quatérnio duplo pode ser escrito como: onde r e d são ambos quatérnions. A r Quatérnion é conhecido como a parte real ou de rotação e o Quatérnion é conhecida como a parte dupla ou deslocamento. ${\ displaystyle {\ hat {q}} = r + d \ varepsilon r}$${\ displaystyle d}$

A parte de rotação pode ser dada por

${\ displaystyle r = r_ {w} + r_ {x} i + r_ {y} j + r_ {z} k = \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) + \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ left ({\ vec {a}} \ cdot (i, j, k) \ right)}$

onde é o ângulo de rotação em torno da direção dada pelo vetor unitário . A parte de deslocamento pode ser escrita como ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

${\ displaystyle d = 0 + {\ frac {\ Delta x} {2}} i + {\ frac {\ Delta y} {2}} j + {\ frac {\ Delta z} {2}} k}$.

O equivalente de quatérnio duplo de um vetor 3D é

${\ displaystyle {\ hat {v}}: = 1+ \ varepsilon (v_ {x} i + v_ {y} j + v_ {z} k)}$

e sua transformação por é dada por ${\ displaystyle {\ hat {q}}}$

${\ displaystyle {\ hat {v}} '= {\ hat {q}} \ cdot {\ hat {v}} \ cdot {\ overline {{\ hat {q}} ^ {*}}}}$.

Esses quatérnions duais (ou, na verdade, suas transformações em vetores 3D) podem ser representados pela matriz de transformação homogênea

${\ displaystyle T = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \\\ Delta x &&& \\\ Delta y && R & \\\ Delta z &&& \\\ end {pmatrix}}}$

onde a matriz ortogonal 3 × 3 é dada por

${\ displaystyle R = {\ begin {pmatrix} r_ {w} ^ {2} + r_ {x} ^ {2} -r_ {y} ^ {2} -r_ {z} ^ {2} & 2r_ {x} r_ {y} -2r_ {w} r_ {z} & 2r_ {x} r_ {z} + 2r_ {w} r_ {y} \\ 2r_ {x} r_ {y} + 2r_ {w} r_ {z} & r_ {w} ^ {2} -r_ {x} ^ {2} + r_ {y} ^ {2} -r_ {z} ^ {2} & 2r_ {y} r_ {z} -2r_ {w} r_ {x } \\ 2r_ {x} r_ {z} -2r_ {w} r_ {y} & 2r_ {y} r_ {z} + 2r_ {w} r_ {x} & r_ {w} ^ {2} -r_ {x} ^ {2} -r_ {y} ^ {2} + r_ {z} ^ {2} \\\ end {pmatriz}}.}$

Para o vetor 3D

${\ displaystyle v = {\ begin {pmatrix} 1 \\ v_ {x} \\ v_ {y} \\ v_ {z} \\\ end {pmatrix}}}$

a transformação por T é dada por

${\ displaystyle {\ vec {v}} '= T \ cdot {\ vec {v}}}$

Conexão com álgebras de Clifford

Além de ser o produto tensorial de duas álgebras de Clifford, os quaternions e os números duais , os quaternions duais têm duas outras formulações em termos de álgebras de Clifford.

Primeiro, quaternions duplas são isomorfos a álgebra de Clifford gerado por 3 elementos anticomutantes , , com e . Se definirmos e , então as relações que definem os quatérnios duais são implícitas por eles e vice-versa. Em segundo lugar, os quatérnions duais são isomórficos à parte par da álgebra de Clifford gerada por 4 elementos anticomutantes com ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle e ^ {2} = 0}$${\ displaystyle k = ij}$${\ displaystyle \ varepsilon = ek}$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, e_ {4}}$

${\ displaystyle e_ {1} ^ {2} = e_ {2} ^ {2} = e_ {3} ^ {2} = - 1, \, \, e_ {4} ^ {2} = 0.}$

Para obter detalhes, consulte Clifford algebras: dual quaternions .

Epônimos

Uma vez que tanto Eduard Study quanto William Kingdon Clifford usaram e escreveram sobre quatérnios duais, às vezes os autores se referem a quatérnions duais como "biquaternions de estudo" ou "biquaternions de Clifford". O último epônimo também foi usado para se referir aos biquaternions divididos . Leia o artigo de Joe Rooney com link abaixo para ver um defensor da afirmação de WK Clifford. Uma vez que as afirmações de Clifford e Study estão em conflito, é conveniente usar a designação atual de quatérnio duplo para evitar conflito.

Veja também

• Teoria do parafuso
• Movimento racional
• Quaternions e rotação espacial
• Conversão entre quatérnions e ângulos de Euler
• Olinde Rodrigues
• Número complexo duplo

Referências

Notas

Origens

Leitura adicional

• Ian Fischer (1998). Métodos de números duplos em cinemática, estática e dinâmica . CRC Press. ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri & R. Stefanelli (2007) Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual Numbers, publicado em Multibody System Dynamics 18 (3): 323–349.
• E. Pennestri e PP Valentini, Quaternions duais como uma ferramenta para a análise do movimento do corpo rígido: um tutorial com uma aplicação à biomecânica , ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , vol. 57, pp. 187–205, 2010
• E. Pennestri e PP Valentini, Linear Dual Algebra Algorithms and their Application to Kinematics , Multibody Dynamics , outubro de 2008, pp. 207–229, doi : 10.1007 / 978-1-4020-8829-2_11
• DP Chevallier (1996) "Sobre o princípio de transferência na cinemática: suas várias formas e limitações", Mecanismo e Teoria da Máquina 31 (1): 57-76.
• MA Gungor (2009) "Dual Lorentzian spherical move and dual Euler-Savary formulas", European Journal of Mechanics A Solids 28 (4): 820–6.
• LFC Figueredo e BV Adorno e JY Ishihara e GA Borges (2013) "Robust kinematic control of manipulator robots using dual quaternion representation", "{2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation", doi : 10.1109 / ICRA.2013.6630836

links externos

• Wilhelm Blaschke (1958) DH Delphenich tradutor, "Applications of dual quaternions to kinematics"
• Wilhelm Blaschke (1960) DH Delphenich tradutor, Quaternions and Kinematics de Neo-classical-physics.info.
• Dual Quaternions, um guia para iniciantes de quatérnios duais Ben Kenwright
• Quatérnios duplos: da mecânica clássica à computação gráfica e além de Ben Kenwright
• Modelagem e Controle Cinemático de Robôs Baseados na Álgebra de Quaternion Dual Bruno Vilhena Adorno