Número duplo - Dual number

Em álgebra , os números duais são um sistema numérico hipercomplexo introduzido pela primeira vez no século XIX. Eles são expressões da forma $a + bε$ , onde $a$ e $b$ são números reais , e $ε$ é um símbolo tomadas para satisfazer . ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$

Números duplos podem ser adicionados componente a componente e multiplicados pela fórmula

{\ displaystyle (a + b \ varejpsilon) (c + d \ varejpsilon) = ac + (ad + bc) \ varejpsilon,}

que decorre da propriedade $ε 2 = 0$ e do fato de que a multiplicação é uma operação bilinear .

Os números duais formam uma álgebra comutativa de dimensão dois sobre os reais, e também um anel local Artinian . Eles são um dos exemplos mais simples de um anel que possui elementos nilpotentes diferentes de zero .

História

Os números duais foram introduzidos em 1873 por William Clifford e foram usados no início do século XX pelo matemático alemão Eduard Study , que os usou para representar o ângulo dual que mede a posição relativa de duas linhas inclinadas no espaço. O estudo definiu um ângulo dual como $ϑ + dε$ , onde $ϑ$ é o ângulo entre as direções de duas linhas no espaço tridimensional $ed$ é a distância entre elas. A generalização $n-$ dimensional, o número de Grassmann , foi introduzida por Hermann Grassmann no final do século XIX.

Definição em álgebra abstrata

Na álgebra abstrata , a álgebra de números duais é muitas vezes definida como o quociente de um anel polinomial sobre os números reais pelo ideal principal gerado pelo quadrado do indeterminado , ou seja ${\ displaystyle (\ mathbb {R})}$

{\ displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle.}

Representação em álgebras

O número dual pode ser representado pela matriz . Isso funciona porque a matriz forma quadratura com a matriz zero, semelhante ao número dual . ${\ displaystyle a + b \ epsilon}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Existem outras maneiras de representar números duais como matrizes. Vamos considerar apenas o caso de matrizes reais. Supondo que o número dual seja representado pela matriz de identidade, então pode ser representado por qualquer matriz da forma ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & -a \ end {pmatrix}}}

onde exceto quando ${\ displaystyle a ^ {2} + bc = 0,}$ ${\ displaystyle a = b = c = 0.}$

Diferenciação

Uma aplicação de números duais é a diferenciação automática . Considere os números duais reais acima. Dado qualquer polinômio real $P (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ... + p n x n$ , é direto estender o domínio deste polinômio dos reais para os números duais. Então temos este resultado:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} varej P (a + b \ varejpsilon) = {} & p_ {0} + p_ {1} (a + b \ varepsilon) + \ cdots + p_ {n} (a + b \psilon ) ^ {n} \\ [5pt] = {} & p_ {0} + p_ {1} a + p_ {2} a ^ {2} + \ cdots + p_ {n} a ^ {n} + p_ {1 } b \ varepsilon + 2p_ {2} ab \ varepsilon + \ cdots + np_ {n} a ^ {n-1} b \ varejpsilon \\ [5pt] = {} & P (a) + bP ^ {\ prime} ( a) \ varepsilon, \ end {alinhado}}}

onde $P'$ é o derivado de $P$ .

De forma mais geral, podemos estender qualquer função real (analítica) aos números duais, observando sua série de Taylor :

{\ displaystyle f (a + b \ varepsilon) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a) b ^ {n} \ varepsilon ^ {n} } {n!}} = f (a) + bf '(a) \ varepsilon,}

uma vez que todos os termos envolvendo $ε 2$ ou maior são trivialmente 0 pela definição de $ε$ .

Calculando as composições dessas funções sobre os números duais e examinando o coeficiente de $ε$ no resultado, descobrimos que calculamos automaticamente a derivada da composição.

Um método semelhante funciona para polinômios de $n$ variáveis, usando a álgebra externa de um espaço vetorial $n-$ dimensional.

Geometria

O "círculo unitário" dos números duais consiste naqueles com $a = \pm 1$ desde que satisfaçam $zz * = 1$ onde $z * = a - bε$ . No entanto, observe que

{\ displaystyle e ^ {b \ varepsilon} = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (b \ varepsilon \ right) ^ {n}} {n!}} \ right) = 1 + b \ varejpsilon,}

portanto, o mapa exponencial aplicado ao eixo $ε$ cobre apenas metade do "círculo".

Seja $z = a + bε$ . Se $a \neq 0$ e $m =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} b/uma$ , então $z = a (1 + mε)$ é a decomposição polar do número dual $z$ , e a inclinação $m$ é sua parte angular. O conceito de rotação no plano de número dual é equivalente a um mapeamento de cisalhamento vertical, uma vez que $(1 + pε) (1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

Em espaço e tempo absolutos, a transformação galileana

{\ displaystyle \ left (t ', x' \ right) = (t, x) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ ,,}

isso é

{\ displaystyle t '= t, \ quad x' = vt + x,}

relaciona o sistema de coordenadas em repouso a um referencial móvel de velocidade $v$ . Com números duais $t + xε$ representando eventos ao longo de uma dimensão de espaço e tempo, a mesma transformação é efetuada com a multiplicação por $1 + vε$ .

Ciclos

Dados dois números duais $p$ e $q$ , eles determinam o conjunto de $z$ de tal modo que a diferença em pistas ( "ângulo Galileu") entre as linhas de $z$ para $p$ e $q$ é constante. Este conjunto é um ciclo no plano numérico dual; uma vez que a equação que define a diferença nas inclinações das retas como uma constante é uma equação quadrática na parte real de $z$ , um ciclo é uma parábola . A "rotação cíclica" do plano numérico dual ocorre como um movimento de sua linha projetiva . Segundo Isaak Yaglom , o ciclo $Z = {z : y = αx 2}$ é invariante sob a composição do cisalhamento

{\ displaystyle x_ {1} = x, \ quad y_ {1} = vx + y}

com a tradução

{\ displaystyle x '= x_ {1} = {\ frac {v} {2a}}, \ quad y' = y_ {1} + {\ frac {v ^ {2}} {4a}}.}

Divisão

A divisão de números duais é definida quando a parte real do denominador é diferente de zero. O processo de divisão é análogo à divisão complexa em que o denominador é multiplicado por seu conjugado para cancelar as partes não reais.

Portanto, para dividir uma equação da forma

{\ displaystyle {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}}}

multiplicamos o topo e o fundo pelo conjugado do denominador:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {a + b \ varejpsilon} {c + d \ varejpsilon}} & = {\ frac {(a + b \ varejpsilon) (cd \ varejpsilon)} {(c + d \ varejpsilon) (cd \ varejpsilon)}} \\ [5pt] & = {\ frac {ac-ad \ varejpsilon + bc \ varejpsilon -bd \ varejpsilon ^ {2}} {c ^ {2} + cd \psilon -cd \ varejpsilon -d ^ {2} \ varepsilon ^ {2}}} \\ [5pt] & = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + bc \ varejpsilon -0} {c ^ {2} -0} } \\ [5pt] & = {\ frac {ac + \ varepsilon (bc-ad)} {c ^ {2}}} \\ [5pt] & = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {bc-ad} {c ^ {2}}} \ varepsilon \ end {alinhado}}}

que é definido quando $c$ é diferente de zero .

Se, por outro lado, $c$ é zero enquanto $d$ não é, então a equação

{\ displaystyle {a + b \ varejpsilon = (x + y \ varejpsilon) d \ varejpsilon} = {xd \ varejpsilon +0}}

não tem solução se $a$ for diferente de zero
é resolvido de outra forma por qualquer número dual da forma $b / d + yε$ .

Isso significa que a parte não real do "quociente" é arbitrária e, portanto, a divisão não é definida para números duais puramente não reais. Na verdade, eles são (trivialmente) divisores zero e claramente formam um ideal da álgebra associativa (e, portanto, o anel ) dos números duais.

Aplicações em mecânica

Os números duplos encontram aplicações em mecânica , principalmente para síntese cinemática. Por exemplo, os números duplos tornam possível transformar as equações de entrada / saída de uma ligação esférica de quatro barras, que inclui apenas juntas rotóides, em um mecanismo espacial de quatro barras (rotóide, rotóide, rotóide, cilíndrico). Os ângulos dualizados são feitos de uma parte primitiva, os ângulos, e uma parte dual, que tem unidades de comprimento. Veja a teoria do parafuso para mais informações.

Generalizações

Esta construção pode ser realizada de forma mais geral: para um anel comutativo $R$ pode-se definir os números duais sobre $R$ como o quociente do anel polinomial $R [X]$ pelo ideal $(X 2)$ : a imagem de $X$ então tem um quadrado igual a zero e corresponde ao elemento $ε$ de cima.

Módulo arbitrário de elementos de zero quadrado

Existe uma construção mais geral dos números duais. Dado um anel comutativo e um módulo , existe um anel denominado anel de números duais que possui as seguintes estruturas: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R [M]}$

É o -módulo com a multiplicação definida por por e ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ oplus M}$ ${\ displaystyle (r, i) \ cdot (r ', i') = (rr ', ri' + r'i)}$ ${\ displaystyle r, r '\ in R}$ ${\ displaystyle i, i '\ in I.}$

A álgebra de números duais é o caso especial onde e ${\ displaystyle M = R}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = (0,1).}$

Superespaço

Os números duplos encontram aplicações na física , onde constituem um dos exemplos não triviais mais simples de um superespaço . Equivalentemente, eles são supernúmeros com apenas um gerador; os supernúmeros generalizam o conceito para $n$ geradores distintos $ε$ , cada um anti-comutação, possivelmente levando $n$ ao infinito. O superespaço generaliza ligeiramente os supernúmeros, permitindo múltiplas dimensões de deslocamento.

A motivação para a introdução de números duais na física segue o princípio de exclusão de Pauli para férmions. A direção ao longo de $ε$ é denominada direção "fermiônica", e o componente real é denominado direção "bosônica". A direção fermiônica ganha este nome pelo fato de que os férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli: sob a troca de coordenadas, a função de onda da mecânica quântica muda de sinal e, portanto, desaparece se duas coordenadas forem colocadas juntas; esta ideia física é capturada pela relação algébrica $ε 2 = 0$ .

Linha Projetiva

A ideia de uma linha projetiva sobre números duais foi avançada por Grünwald e Corrado Segre .

Assim como a esfera de Riemann precisa de um pólo norte no infinito para fechar a linha projetiva complexa , uma linha no infinito consegue fechar o plano dos números duais para um cilindro .

Suponha que $D$ seja o anel de números duais $x + yε$ e $U$ seja o subconjunto com $x \neq 0$ . Em seguida, $L$ é o grupo de unidades de $D$ . Seja $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U ou b \in U}$ . A relação é definida em B como se segue: $(a, b) ~ (c, d)$ quando existe uma $u$ em $L$ de tal modo que $u = c$ e $ub = d$ . Essa relação é de fato uma relação de equivalência . Os pontos da reta projetiva sobre $D$ são classes de equivalência em $B$ nesta relação: $P (D) = B / ~$ . Eles são representados com coordenadas projetivas $[a, b]$ .

Considere a incorporação $D \to P (D)$ por $z \to [z, 1]$ . Então os pontos $[1, n]$ , para $n 2 = 0$ , estão em $P (D),$ mas não são a imagem de nenhum ponto sob a incorporação. $P (D)$ é mapeado em um cilindro por projeção : Pegue uma tangente do cilindro ao plano do número duplo na linha ${yε : y \in ℝ}$ , $ε 2 = 0$ . Agora pegue a linha oposta no cilindro para fazer o eixo de um lápis de planos. Os planos que cruzam o plano de número dual e o cilindro fornecem uma correspondência de pontos entre essas superfícies. O plano paralelo ao plano de número dual corresponde aos pontos $[1, n]$ , $n 2 = 0$ na linha projetiva sobre números duais.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Bencivenga, Ulderico (1946). "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo" [Sobre a representação geométrica de álgebras duplas com módulo]. Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli . 3 (em italiano). 2 (7). MR 0021123 .
Clifford, William Kingdon (1873). "Esboço Preliminar de Bi-quaternions". Proceedings of the London Mathematical Society . 4 : 381–395.
Harkin, Anthony A .; Harkin, Joseph B. (abril de 2004). "Geometria de Números Complexos Generalizados" (PDF) . Revista Matemática . 77 (2): 118–129. doi : 10.1080 / 0025570X.2004.11953236 . S2CID 7837108 .
Miller, William; Boehning, Rochelle (1968). "Números Gaussianos, Parabólicos e Hiperbólicos". O professor de matemática . 61 (4): 377–382.
Study, Eduard (1903). Geometrie der Dynamen . p. 196De Cornell Historical Mathematical Monographs na Cornell University .
Yaglom, IM (1968). Números complexos em geometria . Traduzido do russo por Eric JF Primrose. Nova York e Londres: Academic Press . p. 12 -18.
Brand, Louis (1947). Análise vetorial e tensorial . Nova York: John Wiley & Sons.
Fischer, Ian S. (1999). Métodos de números duplos em cinemática, estática e dinâmica . Boca Raton: CRC Press.
Bertram, W. (2008). Geometria diferencial, grupos de Lie e espaços simétricos sobre campos de base geral e anéis . Memórias da AMS. 192 . Providence, Rhode Island: Amer. Matemática. Soc.
" " Espaço tangente superior " . math.stackexchange.com .

Languages

In other projects