Critério de Eisenstein - Eisenstein's criterion

Em matemática , o critério de Eisenstein fornece uma condição suficiente para um polinômio com coeficientes inteiros ser irredutível sobre os números racionais - isto é, não ser fatorável no produto de polinômios não constantes com coeficientes racionais.

Este critério não é aplicável a todos os polinômios com coeficientes inteiros que são irredutíveis em relação aos números racionais, mas permite, em certos casos importantes, que a irredutibilidade seja provada com muito pouco esforço. Pode ser aplicado diretamente ou após a transformação do polinômio original.

Este critério é nomeado após Gotthold Eisenstein . No início do século 20, ele também era conhecido como teorema de Schönemann-Eisenstein porque Theodor Schönemann foi o primeiro a publicá-lo.

Critério

Suponha que temos o seguinte polinômio com coeficientes inteiros .

{\ displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

Se houver um número primo $p de$ modo que todas as três condições a seguir se apliquem:

$p$ divide cada $a i$ por $0 \leq i < n$ ,
$p$ se não dividir $um n$ , e
$p 2$ que não dividir $a 0$ ,

então $Q$ é irredutível em relação aos números racionais. Também será irredutível sobre os inteiros, a menos que todos os seus coeficientes tenham um fator não trivial em comum (nesse caso, $Q$ como polinômio inteiro terá algum número primo, necessariamente distinto de $p$ , como fator irredutível). A última possibilidade pode ser evitada tornando-se primeiro $Q$ primitivo , dividindo-o pelo maior divisor comum de seus coeficientes (o conteúdo de $Q$ ). Esta divisão não muda se $Q$ é redutível ou não sobre os números racionais (ver fatoração de conteúdo da parte primitiva para detalhes), e não invalidará as hipóteses do critério para $p$ (pelo contrário, poderia fazer o critério valer para alguns primos , mesmo que não antes da divisão).

Exemplos

O critério de Eisenstein pode ser aplicado diretamente (ou seja, usando o polinômio original) ou após a transformação do polinômio original.

Direto (sem transformação)

Considere o polinômio $Q (x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10$ . Para que o critério de Eisenstein se aplique a um número primo $p,$ ele deve dividir os coeficientes não líderes $15$ e $10$ , o que significa que apenas $p = 5$ poderia funcionar, e de fato funciona, já que $5$ não divide o coeficiente líder $3$ e seu quadrado $25$ não divide o coeficiente constante $10$ . Pode-se, portanto, concluir que $Q$ é irredutível sobre $Q$ (e, por ser primitivo, também sobre $Z$ ). Observe que, como $Q$ é de grau 4, essa conclusão não poderia ter sido estabelecida apenas verificando se $Q$ não tem raízes racionais (o que elimina possíveis fatores de grau 1), uma vez que uma decomposição em dois fatores quadráticos também poderia ser possível.

Indireto (após transformação)

Freqüentemente, o critério de Eisenstein não se aplica a nenhum número primo. No entanto, pode ser que se aplique (para algum número primo) ao polinômio obtido após a substituição (para algum inteiro $a$ ) de $x + a$ para $x$ . O fato de o polinômio após a substituição ser irredutível permite concluir que o polinômio original também o é. Este procedimento é conhecido como aplicação de uma mudança .

Por exemplo, considere $H = x 2 + x + 2$ , em que o coeficiente de 1 $x$ não é divisível por qualquer privilegiada, o critério de Eisenstein não se aplica a $H$ . Mas se substituirmos $x + 3$ por $x$ em $H$ , obteremos o polinômio $x 2 + 7 x + 14$ , que satisfaz o critério de Eisenstein para o número primo $7$ . Como a substituição é um automorfismo do anel $Q [x]$ , o fato de obtermos um polinômio irredutível após a substituição implica que originalmente tínhamos um polinômio irredutível. Neste exemplo particular, teria sido mais simples argumentar que $H$ (sendo mônico de grau 2) só poderia ser redutível se tivesse uma raiz inteira, o que obviamente não tem; entretanto, o princípio geral de tentar substituições a fim de aplicar o critério de Eisenstein é uma maneira útil de ampliar seu escopo.

Outra possibilidade de transformar um polinômio de modo a satisfazer o critério, que pode ser combinada com a aplicação de um deslocamento, é inverter a ordem de seus coeficientes, desde que seu termo constante seja diferente de zero (sem o qual seria divisível por $x de$ qualquer maneira). Isso ocorre porque tais polinômios são redutíveis em $R [x]$ se e somente se eles são redutíveis em $R [x, x -1]$ (para qualquer domínio integral $R$ ), e nesse anel a substituição de $x -1$ por $x$ reverte a ordem dos coeficientes (de uma maneira simétrica em relação ao coeficiente constante, mas um deslocamento subsequente no expoente equivale à multiplicação por uma unidade). Como um exemplo, $2 x 5 - 4 x 2 - 3$ satisfaz o critério para $p = 2$ após a reversão de seus coeficientes, e (sendo primitivo) é, portanto, irredutível em $Z [x]$ .

Polinômios ciclotômicos

Uma classe importante de polinômios cuja irredutibilidade pode ser estabelecida usando o critério de Eisenstein é a dos polinômios ciclotômicos para números primos $p$ . Tal polinômio é obtido dividindo o polinômio $x p - 1$ pelo fator linear $x - 1$ , correspondendo à sua raiz óbvia $1$ (que é sua única raiz racional se $p > 2$ ):

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {p} -1} {x-1}} = x ^ {p-1} + x ^ {p-2} + \ cdots + x + 1.}

Aqui, como no exemplo anterior de $H$ , os coeficientes $1$ impedem que o critério de Eisenstein se aplique diretamente. No entanto, o polinômio irá satisfazer o critério para $p$ após a substituição de $x + 1$ por $x$ : isso dá

{\ displaystyle {\ frac {(x + 1) ^ {p} -1} {x}} = x ^ {p-1} + {\ binom {p} {p-1}} x ^ {p-2 } + \ cdots + {\ binom {p} {2}} x + {\ binom {p} {1}},}

todos cujos coeficientes não líderes são divisíveis por $p$ por propriedades de coeficientes binomiais , e cujo coeficiente constante é igual a $p$ e, portanto, não divisível por $p 2$ . Uma forma alternativa de chegar a esta conclusão é usar a identidade $(a + b) p = a p + b p$ que é válida na característica $p$ (e que é baseada nas mesmas propriedades dos coeficientes binomiais, e dá origem ao Frobenius endomorfismo ), para calcular o módulo de redução $p$ do quociente de polinômios:

{\ displaystyle {\ frac {(x + 1) ^ {p} -1} {x}} \ equiv {\ frac {x ^ {p} + 1 ^ {p} -1} {x}} = {\ frac {x ^ {p}} {x}} = x ^ {p-1} {\ pmod {p}},}

o que significa que os coeficientes não líderes do quociente são todos divisíveis por $p$ ; a verificação restante de que o termo constante do quociente é $p$ pode ser feita substituindo $1$ (em vez de $x + 1$ ) por $x$ na forma expandida $x p -1 + ... + x + 1$ .

História

Theodor Schönemann foi o primeiro a publicar uma versão do critério, em 1846 no Diário de Crelle , que lê em tradução

Que $(x - a) n + pF (x)$ será irredutível ao módulo $p 2$ quando $F (x)$ ao módulo $p$ não contém um fator $x - a$ .

Esta formulação já incorpora uma mudança para $um$ no lugar de $0$ ; a condição em $F (x)$ significa que $F (a)$ não é divisível por $p$ , e então $pF (a)$ é divisível por $p,$ mas não por $p 2$ . Como afirmado, não é inteiramente correto por não fazer suposições sobre o grau do polinômio $F (x)$ , de modo que o polinômio considerado não precisa ser do grau $n$ que sua expressão sugere; o exemplo $x 2 + p (x 3 + 1) \equiv (x 2 + p) (px + 1) mod p 2$ , mostra que a conclusão não é válida sem tal hipótese. Supondo que o grau de $F (x)$ não exceda $n$ , o critério é correto, no entanto, e um pouco mais forte do que a formulação dada acima, uma vez que se $(x - a) n + pF (x)$ é irredutível módulo $p 2$ , certamente não pode decompor em $Z [x]$ em fatores não constantes.

Posteriormente, Eisenstein publicou uma versão um tanto diferente em 1850, também no Crelle's Journal. Esta versão lê em tradução

Quando em um polinômio $F (x)$ em $x$ de grau arbitrário, o coeficiente do termo mais alto é $1$ , e todos os coeficientes seguintes são números inteiros (reais, complexos), nos quais um certo número primo $m$ (real resp. Complexo) se divide, e quando, além disso, o último coeficiente é igual a $εm$ , onde $ε$ denota um número não divisível por $m$ : então é impossível trazer $F (x)$ para a forma

${\ displaystyle \ left (x ^ {\ mu} + a_ {1} x ^ {\ mu -1} + \ cdots + a _ {\ mu} \ right) \ left (x ^ {\ nu} + b_ {1 } x ^ {\ nu -1} + \ cdots + b _ {\ nu} \ right)}$

onde $μ, ν \geq 1$ , $μ + ν = graus (F (x))$ , e todos $um$ e $b$ são inteiro números (resp verdadeiro complexos.); a equação $F (x) = 0$ é, portanto, irredutível.

Aqui, "números reais inteiros" são inteiros comuns e "números complexos inteiros" são inteiros gaussianos ; deve-se interpretar da mesma forma "números primos reais e complexos". A aplicação para a qual Eisenstein desenvolveu seu critério foi estabelecer a irredutibilidade de certos polinômios com coeficientes nos inteiros gaussianos que surgem no estudo da divisão da lemniscata em pedaços de igual comprimento de arco.

Notavelmente Schönemann e Eisenstein, uma vez tendo formulado seus respectivos critérios de irredutibilidade, os aplicam imediatamente para dar uma prova elementar da irredutibilidade dos polinômios ciclotômicos para números primos, um resultado que Gauss obteve em suas Disquisitiones Arithmeticae com uma prova muito mais complicada . Na verdade, Eisenstein acrescenta em uma nota de rodapé que a única prova para essa irredutibilidade conhecida por ele, além da de Gauss, é aquela dada por Kronecker em 1845. Isso mostra que ele desconhecia as duas diferentes provas desta afirmação que Schönemann tinha dada em seu artigo de 1846, onde a segunda prova foi baseada no critério acima mencionado. Isso é ainda mais surpreendente dado o fato de que, duas páginas adiante, Eisenstein na verdade se refere (por um assunto diferente) à primeira parte do artigo de Schönemann. Em uma nota ("Notiz") que apareceu no próximo número do Journal, Schönemann aponta isso para Eisenstein, e indica que o método deste último não é essencialmente diferente daquele que ele usou na segunda prova.

Prova básica

Para provar a validade do critério, suponha que $Q$ satisfaça o critério para o número primo $p$ , mas que seja redutível em $Q [x]$ , do qual desejamos obter uma contradição. Do lema de Gauss segue que $Q$ é redutível em $Z [x]$ também, e de fato pode ser escrito como o produto $Q = GH$ de dois polinômios não constantes $G, H$ (no caso de $Q$ não ser primitivo, aplica-se o lema para o polinômio primitivo $Q / c$ (onde o inteiro $c$ é o conteúdo de $Q$ ) para obter uma decomposição para ele, e multiplica $c$ em um dos fatores para obter uma decomposição para $Q$ ). Agora reduza $Q = GH$ módulo $p$ para obter uma decomposição em $(Z / p Z) [x]$ . Mas por hipótese essa redução para $Q$ deixa seu termo principal, da forma $ax n$ para uma constante diferente de zero $a \in Z / p Z$ , como o único termo diferente de zero. Mas então, necessariamente, as reduções do módulo $p$ de $G$ e $H$ também fazem todos os termos não líderes desaparecerem (e não podem fazer seus termos líderes desaparecerem), uma vez que nenhuma outra decomposição de $ax n$ é possível em $(Z / p Z) [x]$ , que é um domínio de fatoração único . Em particular, os termos constantes de $G$ e $H$ desaparecem na redução, então eles são divisíveis por $p$ , mas então o termo constante de $Q$ , que é seu produto, é divisível por $p 2$ , ao contrário da hipótese, e há uma contradição .

Uma segunda prova do critério de Eisenstein também começa com a suposição de que o polinômio $Q (x)$ é redutível. Mostra-se que essa suposição acarreta uma contradição.

A suposição de que

{\ displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

é redutível significa que existem polinômios

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} G (x) & = c_ {r} x ^ {r} + c_ {r-1} x ^ {r-1} x ^ {r-1} + \ cdots + c_ {0} && r \ geq 1 \\ H (x) & = d_ {s} x ^ {s} + d_ {s-1} x ^ {s-1} + \ cdots + d_ {0} && s \ geq 1 \ end {alinhado}}}

De tal modo que

{\ displaystyle Q (x) = G (x) \ cdot H (x), \ qquad n = r + s.}

O coeficiente $a 0$ do polinômio $Q (x)$ pode ser dividido pelo primo $p,$ mas não por $p 2$ . Como $a 0 = c 0 d 0$ , é possível dividir $c 0$ ou $d 0$ por $p$ , mas não ambos. Pode-se proceder sem perda de generalidade

com um coeficiente $c 0$ que pode ser dividido por $p$ e

com um coeficiente $d 0$ que não pode ser dividido por $p$ .

Pela suposição, não divide . Como $a$ $n$ $=$ $c$ $r$ $d$ $s$ , nem $c$ $r$ nem $d$ $s$ podem ser divididos por $p$ . Assim, se é o -ésimo coeficiente do polinômio redutível , então (possivelmente com no caso ) ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {r}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle d_ {t} = 0}$ ${\ displaystyle t> s}$

{\ displaystyle a_ {r} = c_ {r} d_ {0} + c_ {r-1} d_ {1} + \ cdots + c_ {0} d_ {r}}

em que não pode ser dividido por , porque nem nem pode ser dividido por . ${\ displaystyle c_ {r} d_ {0}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle d_ {0}}$ ${\ displaystyle c_ {r}}$ ${\ displaystyle p}$

Vamos provar que são todos divisíveis por $p$ . Como também é divisível por $p$ (pela hipótese do critério), isso implica que ${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, \ ldots, c_ {r-1}}$ ${\ displaystyle a_ {r}}$

{\ displaystyle c_ {r} d_ {0} = a_ {r} - \ left (c_ {r-1} d_ {1} + \ cdots + c_ {0} d_ {r} \ right)}

é divisível por $p$ , uma contradição que prova o critério.

É possível dividir por , porque pode ser dividido por . ${\ displaystyle c_ {0} d_ {r}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ ${\ displaystyle p}$

Pela suposição inicial, é possível dividir o coeficiente $a 1$ do polinômio $Q (x)$ por $p$ . Desde a

{\ displaystyle a_ {1} = c_ {0} d_ {1} + c_ {1} d_ {0}}

e como $d 0$ não é um múltiplo de $p$ , deve ser possível dividir $c 1$ por $p$ . Analogamente, por indução, é um múltiplo de para todos , que finaliza a prova. ${\ displaystyle c_ {i}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle i <r}$

Explicação avançada

Aplicando a teoria do polígono de Newton para o campo de números $p$ -adicos , para um polinômio de Eisenstein, devemos tomar o envelope convexo inferior dos pontos

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (n - 1, v n -1), (n, 0)

,

onde $v i$ é a valoração $p$ -adica de $a i$ (ou seja, a maior potência de $p$ dividindo-o). Agora, os dados que recebemos sobre $v i$ para $0 < i < n$ , ou seja, que eles são pelo menos um, são exatamente o que precisamos para concluir que o envelope convexo inferior é exatamente o segmento de linha única de $(0, 1)$ a $(n, 0)$ , sendo a inclinação $-1 / n$ .

Isso nos diz que cada raiz de $Q$ tem valoração $p$ -adica $1 / ne,$ portanto, que $Q$ é irredutível sobre o campo $p$ -adico (uma vez que, por exemplo, nenhum produto de qualquer subconjunto próprio das raízes tem valoração inteira); e, a fortiori, sobre o campo do número racional.

Este argumento é muito mais complicado do que o argumento direto pela redução mod $p$ . No entanto, permite ver, em termos da teoria algébrica dos números , com que frequência o critério de Eisenstein pode ser aplicado, após alguma mudança de variável; e assim limitar severamente as escolhas possíveis de $p$ em relação às quais o polinômio poderia ter uma tradução de Eisenstein (isto é, tornar-se Eisenstein após uma mudança aditiva de variáveis como no caso do $p-$ ésimo polinômio ciclotômico).

Na verdade, apenas os primos $p$ ramificados na extensão de $Q$ gerada por uma raiz de $Q$ têm alguma chance de funcionar. Estes podem ser encontrados em termos de discriminante de $Q$ . Por exemplo, no caso $x 2 + x + 2$ dado acima, o discriminante é $-7 de$ modo que $7$ é o único primo que tem chance de fazê-lo satisfazer o critério. Módulo $7$ , torna-se $(x - 3) 2$ - uma raiz repetida é inevitável, uma vez que o discriminante é $0 mod 7$ . Portanto, a mudança de variável é realmente algo previsível.

Novamente, para o polinômio ciclotômico, torna-se

(x - 1) p -1 mod p

;

o discriminante pode ser mostrado como (até o sinal) $p p -2$ , por métodos de álgebra linear .

Mais precisamente, apenas primos totalmente ramificados têm uma chance de ser primos de Eisenstein para o polinômio. (Em campos quadráticos, a ramificação é sempre total, então a distinção não é vista no caso quadrático como $x 2 + x + 2$ acima.) Na verdade, polinômios de Eisenstein estão diretamente ligados a primos totalmente ramificados, como segue: se uma extensão de campo dos racionais é gerado pela raiz de um polinômio que é Eisenstein em $p$ então $p$ é totalmente ramificado na extensão e, inversamente, se $p$ é totalmente ramificado em um campo numérico, então o campo é gerado pela raiz de um polinômio Eisenstein em $p$ .

Generalização

Critério generalizado

Dado um domínio integral $D$ , deixe

{\ displaystyle Q = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}

ser um elemento de $D [X]$ , o anel polinomial com coeficientes em $D$ .

Suponha que exista um ideal primo $p$ de $D$ tal que

$a i \in p$ para cada $i \neq n$ ,
$a n \notin p$ , e
$a 0 \notin p 2$ , onde $p 2$ é o produto ideal de $p$ consigo mesmo.

Então $Q$ não pode ser escrito como um produto de dois polinômios não constantes em $D [x]$ . Se, além disso, $Q$ é primitivo (ou seja, não tem divisores constantes não triviais ), então é irredutível em $D [x]$ . Se $D$ é um domínio de fatoração único com campo de frações $F$ , então pelo lema de Gauss $Q$ é irredutível em $F [x]$ , seja ou não primitivo (uma vez que fatores constantes são invertíveis em $F [x]$ ); neste caso, uma possível escolha de ideal primo é o ideal principal gerado por qualquer elemento irredutível de $D$ . A última declaração fornece o teorema original para $D = Z$ ou (na formulação de Eisenstein) para $D = Z [i]$ .

Prova

A prova dessa generalização é semelhante à do enunciado original, considerando a redução dos coeficientes módulo $p$ ; o ponto essencial é que um polinômio de termo único sobre o domínio integral $D / p$ não pode se decompor como um produto no qual pelo menos um dos fatores tem mais de um termo (porque em tal produto também não pode haver cancelamento no coeficiente do maior ou do menor grau possível).

Exemplo

Depois de $Z$ , um dos exemplos básicos de um domínio integral é o anel polinomial $D = k [u]$ na variável $u$ sobre o campo $k$ . Nesse caso, o ideal principal gerado por $u$ é um ideal primo. O critério de Eisenstein pode então ser usado para provar a irredutibilidade de um polinômio como $Q (x) = x 3 + ux + u$ em $D [x]$ . De fato, $u$ não divide $a 3$ , $u 2$ não divide $a 0$ e $u$ divide $a 0, a 1$ e $a 2$ . Isso mostra que esse polinômio satisfaz as hipóteses de generalização do critério de Eisenstein para o ideal primo $p = (u)$ uma vez que, para um ideal principal $(u)$ , ser um elemento de $(u)$ equivale a ser divisível por $u$ .

Veja também

Notas

Referências

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Eisenstein, Gotthold (1850), "Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (39): 160ll-179 / doi : 10.1515 .1850.39.160 .

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Schönemann, Theodor (1846), "Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1846 (32): 93-118, doi : 10.1515 / crll.1846.32.93 .

Schönemann, Theodor (1850), "Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irredutível Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (40): 185–188, doi : 10.1515 / crll.1850.40.185 .

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