Espaço F - F-space

Em análise funcional , um espaço F é um espaço vetorial V sobre os números reais ou complexos juntamente com uma métrica $d : V \times V \to ℝ de$ modo que

A multiplicação escalar em V é contínua em relação a d e a métrica padrão em ℝ ou ℂ.
A adição em V é contínua em relação a d .
A métrica é invariante à translação ; isto é, $d (X + um, y + a) = d (x, y)$ para todos os x , y e um em V .
O espaço métrico $(V, d)$ está completo .

A operação x ↦ || x || : = d (0, x ) é chamado de norma F , embora em geral uma norma F não precise ser homogênea. Por invariância de translação, a métrica é recuperável da norma F. Assim, um espaço F real ou complexo é equivalentemente um espaço vetorial real ou complexo equipado com uma norma F completa.

Alguns autores usam o termo espaço de Fréchet em vez de espaço F , mas normalmente o termo "espaço de Fréchet" é reservado para espaços F localmente convexos . Alguns outros autores usam o termo "F-space" como sinônimo de "Fréchet space", o que significa um espaço vetorial topológico metrizável localmente convexo completo . A métrica pode ou não ser necessariamente parte da estrutura em um espaço F; muitos autores apenas exigem que tal espaço seja metrizável de uma maneira que satisfaça as propriedades acima.

Exemplos

Todos os espaços de Banach e espaços de Fréchet são espaços F. Em particular, um espaço de Banach é um espaço F com um requisito adicional de que $d (αx, 0) = | α | \cdot d (x, 0)$ .

Os espaços L ^p podem ser feitos em espaços F para todos os p ≥ 0 e para p ≥ 1 eles podem ser feitos em locais convexos e, portanto, espaços de Fréchet e até mesmo espaços de Banach.

Exemplo 1

${\ displaystyle \ scriptstyle L ^ {\ frac {1} {2}} [0, \, 1]}$ é um espaço F. Não admite seminormas contínuas e sem funcionais lineares contínuos - tem espaço dual trivial .

Exemplo 2

Deixe ser o espaço de todas as séries complexas de Taylor de valor ${\ displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}

no disco da unidade de modo que ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {D}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n} | a_ {n} | ^ {p} <\ infty}

então (para 0 <p <1 ) são espaços F sob a norma p : ${\ displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sum _ {n} | a_ {n} | ^ {p} \ qquad (0 <p <1)}

Na verdade, é uma álgebra quase Banach . Além disso, para qualquer um com o mapa é um linear limitado (funcional multiplicativo) em . ${\ displaystyle \ scriptstyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ zeta}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle | \ zeta | \; \ leq \; 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle f \, \ mapsto \, f (\ zeta)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

Condições suficientes

Teorema (Klee) - Let $d$ ser qualquer métrica num espaço vectorial $X$ tal que a topologia $τ$ induzida por $d$ em $X$ faz com que $(X, τ)$ num espaço vectorial topológico. Se $(X, d)$ é um espaço métrico completo, então $(X, 𝜏)$ é um TVS completo.

Propriedades relacionadas

Um mapa linear quase contínuo em um espaço F cujo gráfico é fechado é contínuo.
Um mapa linear quase aberto em um espaço F cujo gráfico é fechado é necessariamente um mapa aberto .
Um mapa linear contínuo quase aberto de um espaço F é necessariamente um mapa aberto .
Um mapa linear contínuo quase aberto de um espaço F cuja imagem é da segunda categoria no codomínio é necessariamente um mapa aberto sobrejetivo .

Veja também

Espaço de Banach - espaço vetorial normalizado completo
Espaço métrico completo - geometria métrica
Espaço vetorial topológico completo - Um TVS onde os pontos que se aproximam progressivamente um do outro sempre convergirão para um ponto
Espaço Fréchet - Um espaço vetorial topológico localmente convexo que também é um espaço métrico completo
Espaço de Hilbert - Generalização do espaço euclidiano permitindo dimensões infinitas
Espaço K (análise funcional)
Espaço vetorial topológico metrizável - Um espaço vetorial topológico cuja topologia pode ser definida por uma métrica
Espaço em barril
Espaço contável quase-barriled
DF-espaço
LB-espaço
LF-espaço
Espaço nuclear
Produto tensor projetivo

Referências

Husain, Taqdir (1978). Barrelness em espaços vetoriais topológicos e ordenados . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665 .
Khaleelulla, SM (1982). Contra-exemplos em espaços vetoriais topológicos . Notas de aula em matemática . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .

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