Grupo finitamente gerado - Finitely generated group
Na álgebra , um grupo finitamente gerado é um grupo G que tem algum conjunto gerador finito S, de modo que cada elemento de G pode ser escrito como a combinação (sob a operação de grupo) de muitos elementos finitos do conjunto finito S e de inversos de tal elementos
Por definição, todo grupo finito é gerado finitamente, uma vez que S pode ser considerado o próprio G. Cada grupo infinito finitamente gerado deve ser contável, mas os grupos contáveis não precisam ser gerados finitamente. O grupo aditivo de números racionais Q é um exemplo de um grupo contável que não é gerado finitamente.
Exemplos
- Cada quociente de um grupo G gerado finitamente é gerado finitamente; o grupo quociente é gerado pelas imagens dos geradores de G sob a projeção canônica .
- Um subgrupo de um grupo gerado finitamente não precisa ser gerado finitamente.
- Um grupo gerado por um único elemento é denominado cíclico . Cada grupo cíclico infinito é isomorfo para o grupo de aditivos do inteiros Z .
- Um grupo localmente cíclico é um grupo em que todo subgrupo finitamente gerado é cíclico.
- O grupo livre em um conjunto finito é finitamente gerado pelos elementos desse conjunto ( §Exemplos ).
- A fortiori , todo grupo finitamente apresentado ( §Exemplos ) é gerado finitamente.
Grupos abelianos finitamente gerados
Cada grupo Abeliano pode ser visto como um módulo sobre o anel de inteiros Z , e em um grupo Abeliano finitamente gerado com geradores x 1 , ..., x n , cada elemento do grupo x pode ser escrito como uma combinação linear desses geradores,
- x = α 1 ⋅ x 1 + α 2 ⋅ x 2 + ... + α n ⋅ x n
com inteiros α 1 , ..., α n .
Os subgrupos de um grupo Abeliano finitamente gerado são, eles próprios, gerados finitamente.
O teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados afirma que um grupo Abeliano finitamente gerado é a soma direta de um grupo Abeliano livre de classificação finita e um grupo Abeliano finito, cada um dos quais é único até o isomorfismo.
Subgrupos
Um subgrupo de um grupo gerado finitamente não precisa ser gerado finitamente. O subgrupo do comutador do grupo livre em dois geradores é um exemplo de um subgrupo de um grupo gerado finitamente que não é gerado finitamente.
Por outro lado, todos os subgrupos de um grupo Abeliano finitamente gerado são gerados finitamente.
Um subgrupo de índice finito em um grupo finitamente gerado é sempre gerado finitamente, e a fórmula do índice de Schreier fornece um limite para o número de geradores necessários.
Em 1954, Albert G. Howson mostrou que a interseção de dois subgrupos finitamente gerados de um grupo livre é novamente gerada finitamente. Além disso, se e são os números de geradores dos dois subgrupos finitamente gerados, então sua interseção é gerada por no máximo geradores. Esse limite superior foi então significativamente melhorado por Hanna Neumann para , ver conjectura de Hanna Neumann .
A rede de subgrupos de um grupo satisfaz a condição de cadeia ascendente se e somente se todos os subgrupos do grupo são gerados finitamente. Um grupo tal que todos os seus subgrupos são gerados finitamente é chamado de Noetheriano .
Um grupo tal que todo subgrupo finitamente gerado é finito é denominado localmente finito . Todo grupo localmente finito é periódico , ou seja, todo elemento tem ordem finita . Por outro lado, todo grupo abeliano periódico é localmente finito.
Formulários
A teoria geométrica dos grupos estuda as conexões entre as propriedades algébricas de grupos finitamente gerados e as propriedades topológicas e geométricas dos espaços nos quais esses grupos atuam .
Noções relacionadas
O problema da palavra para um grupo gerado finitamente é o problema de decisão se duas palavras nos geradores do grupo representam o mesmo elemento. O problema da palavra para um dado grupo finitamente gerado é solucionável se e somente se o grupo puder ser embutido em cada grupo algebraicamente fechado .
A classificação de um grupo é frequentemente definida como a menor cardinalidade de um conjunto gerador para o grupo. Por definição, a classificação de um grupo gerado finitamente é finita.
Veja também
Notas
Referências
- Rose, John S. (2012) [republicação integral e inalterada de um trabalho publicado pela primeira vez pela Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, em 1978]. A Course on Group Theory . Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-68194-8 .