Gerando conjunto de um grupo - Generating set of a group

As 5ª raízes da unidade no plano complexo formam um grupo sob multiplicação. Cada elemento de não identidade gera o grupo.

Na álgebra abstrata , um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto do conjunto de grupos de forma que cada elemento do grupo pode ser expresso como uma combinação (sob a operação de grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos .

Em outras palavras, se S é um subconjunto de um grupo G , em seguida, ⟨ S ⟩, o subgrupo gerado por S , é o mais pequeno subgrupo de L contendo cada elemento de S , que é igual à intersecção mais de todos os subgrupos que contêm os elementos de S ; equivalentemente, ⟨ S ⟩ é o subgrupo de todos os elementos de L que pode ser expressa como o produto finito de elementos em S e as suas inversas. (Observe que inversos são necessários apenas se o grupo for infinito; em um grupo finito, o inverso de um elemento pode ser expresso como uma potência desse elemento.)

Se G = ⟨ S ⟩, então dizemos que S gera G , e os elementos de S são chamados geradores ou geradores de grupo . Se S é o conjunto vazio, então ⟨ S ⟩ é o grupo trivial { e }, uma vez que consideramos o produto vazio para ser a identidade.

Quando existe apenas um único elemento X em S , ⟨ S ⟩ é geralmente escrita como ⟨ x ⟩. Neste caso, ⟨ x ⟩ é o subgrupo cíclico dos poderes de x , um grupo cíclico , e dizemos este grupo é gerado por x . Equivale a dizer um elemento x gera um grupo está dizendo que ⟨ x ⟩ é igual a todo o grupo G . Para grupos finitos , também é equivalente a dizer que x tem ordem | G |.

Se L é um grupo topológico , em seguida, um subconjunto S de L é chamado de conjunto de geradores topológicos se ⟨ S ⟩ é densa em L , ou seja, o encerramento do ⟨ S ⟩ é o grupo inteiro G .

Grupo finitamente gerado

Artigo principal: Grupo finitamente gerado

Se S é finito, em seguida, um grupo G  = ⟨ S ⟩ é chamado um número finito gerado . A estrutura de grupos abelianos finitamente gerados, em particular, é facilmente descrita. Muitos teoremas que são verdadeiros para grupos gerados finitamente falham para grupos em geral. Foi provado que se um grupo finito é gerado por um subconjunto S, então cada elemento do grupo pode ser expresso como uma palavra do alfabeto S de comprimento menor ou igual à ordem do grupo.

Cada grupo finito é finitamente gerado desde ⟨ G ⟩ =  G . Os inteiros sob adição são um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por 1 e -1, mas o grupo de racionais sob adição não pode ser gerado finitamente. Nenhum grupo incontável pode ser gerado finitamente. Por exemplo, o grupo de números reais sob adição, ( R , +).

Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem gerar subconjuntos. Por exemplo, se p e q são inteiros com mdc ( p ,  q ) = 1 , então { p ,  q } também gera o grupo de inteiros adicionados pela identidade de Bézout .

Embora seja verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado (as imagens dos geradores no quociente fornecem um conjunto gerador finito), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser gerado finitamente. Por exemplo, seja G o grupo livre em dois geradores, x e y (que é claramente gerado finitamente, uma vez que G = ⟨{ x , y }⟩), e seja S o subconjunto consistindo de todos os elementos de G da forma y n xy - n para n um número natural . ⟨ S ⟩ é isomorfo para o grupo livre em contavelmente infinitamente muitas geradores, e, portanto, não pode ser gerado um número finito. No entanto, cada subgrupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si mesmo finitamente gerado. Na verdade, mais pode ser dito: a classe de todos os grupos gerados finitamente é fechada sob extensões . Para ver isso, pegue um conjunto gerador para o subgrupo normal e quociente (finitamente gerado) . Em seguida, os geradores para o subgrupo normal, junto com pré-imagens dos geradores para o quociente, geram o grupo.

Grupo livre

Artigo principal: Grupo livre

O grupo mais geral gerado por um conjunto S é o grupo livremente gerado por S . Todo grupo gerado por S é isomorfo a um quociente desse grupo, característica que é utilizada na expressão da apresentação de um grupo .

Subgrupo Frattini

Um tópico interessante é o dos não geradores . Um elemento x do grupo G é um não-gerador se cada conjunto S contendo x que gera L , ainda gera L quando x é removido S . Nos inteiros com adição, o único não gerador é 0. O conjunto de todos os não geradores forma um subgrupo de G , o subgrupo Frattini .

Exemplos

O grupo de unidades U ( Z 9 ) é o grupo de todos os números inteiros relativamente primos a 9 no modo de multiplicação 9 (U 9  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} ). Toda a aritmética aqui é feita módulo 9. Sete não é um gerador de U ( Z 9 ), uma vez que

enquanto 2 é, uma vez que:

Por outro lado, para n > 2 o grupo simétrico de grau n não é cíclico, portanto não é gerado por nenhum elemento. No entanto, é gerado pelas duas permutações (1 2) e (1 2 3 ...  n ) . Por exemplo, para S 3 , temos (ver permutação para uma explicação de notação):

e = (1 2) (1 2)
(1 2) = (1 2)
(1 3) = (1 2) (1 2 3)
(2 3) = (1 2 3) (1 2)
(1 2 3) = (1 2 3)
(1 3 2) = (1 2) (1 2 3) (1 2)

Grupos infinitos também podem ter grupos geradores finitos. O grupo aditivo de inteiros possui 1 como conjunto gerador. O elemento 2 não é um conjunto gerador, pois os números ímpares estarão ausentes. O subconjunto de dois elementos {3, 5} é um conjunto gerador, uma vez que (−5) + 3 + 3 = 1 (de fato, qualquer par de números coprime é, como consequência da identidade de Bézout ).

O grupo diedro de ordem n é gerado pelo conjunto { r , s } , onde r representa a rotação de π / n e s é qualquer reflexão sobre uma linha de simetria.

O grupo cíclico de ordem n , e o n th raízes da unidade são todos gerados por um único elemento (na verdade, estes grupos são isomorfos um ao outro).

Uma apresentação de um grupo é definida como um conjunto de geradores e uma coleção de relações entre eles, portanto, qualquer um dos exemplos listados nessa página contém exemplos de conjuntos geradores.

Semigrupos e monoides

Se L é um semigroup ou um monóide , ainda é possível utilizar o conceito de um conjunto gerador de S de L . S é um semigroup / grupo gerador monóide de L se L é o menor semigroup / Monoid contendo S .

As definições de conjunto gerador de um grupo usando somas finitas, dadas acima, devem ser ligeiramente modificadas quando se trata de semigrupos ou monóides. Na verdade, essa definição não deve mais usar a noção de operação inversa. O conjunto S é dito ser um grupo gerador semigroup de L se cada elemento de L é uma soma de elementos finitos de S . Da mesma forma, um conjunto S é dito ser um grupo gerador monóide de L se cada elemento diferente de zero de L é uma soma de elementos finitos de S .

Por exemplo, {1} é um gerador monóide do conjunto de números naturais não negativos . O conjunto {1} também é um gerador de semigrupo dos números naturais positivos . No entanto, o inteiro 0 não pode ser expresso como uma soma (não vazia) de 1s, portanto, {1} não é um gerador de semigrupo dos números naturais não negativos.

Da mesma forma, enquanto {1} é um gerador de grupo do conjunto de inteiros , {1} não é um gerador monóide do conjunto de inteiros. Na verdade, o inteiro −1 não pode ser expresso como uma soma finita de 1s.

Veja também

Notas

  1. ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstrata (3ª ed.). Wiley. p. 25. ISBN 9780471452348. OCLC  248917264 .
  2. ^ Dummit & Foote 2004 , p. 54
  3. ^ Dummit & Foote 2004 , p. 26

Referências

links externos