Lei formal do grupo - Formal group law

Em matemática , uma lei de grupo formal é (falando grosso modo) uma série de potências formal que se comporta como se fosse o produto de um grupo de Lie . Eles foram introduzidos por S. Bochner ( 1946 ). O termo grupo formal às vezes significa o mesmo que lei de grupo formal e, às vezes, significa uma das várias generalizações. Os grupos formais são intermediários entre os grupos de Lie (ou grupos algébricos ) e as álgebras de Lie . Eles são usados na teoria dos números algébricos e na topologia algébrica .

Definições

Uma lei de grupo formal unidimensional sobre um anel comutativo R é uma série de potências F ( x , y ) com coeficientes em R , tais que

F ( x , y ) = x + y + termos de grau superior
F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z ) ( associatividade ).

O exemplo mais simples é a lei de grupo formal aditiva F ( x , y ) = x + y . A ideia da definição é que F deve ser algo como a expansão formal da série de potências do produto de um grupo de Lie, onde escolhemos as coordenadas para que a identidade do grupo de Lie seja a origem.

Mais geralmente, uma lei de grupo formal n- dimensional é uma coleção de n séries de potências F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) em 2 n variáveis , de tal modo que

F ( x , y ) = x + y + termos de grau superior
F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z )

onde escrevemos F para ( F ₁ , ..., F _n ), x para ( x ₁ , ..., x _n ) e assim por diante.

A lei de grupo formal é chamada comutativa se F ( x , y ) = F ( y , x ).

Prop. Se R for livre de torção, então qualquer lei de grupo formal unidimensional sobre R é comutativa.

{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Prova. A liberdade de torção nos dá o exponencial e o logaritmo que nos permite escrever F como F ( x , y ) = exp (log ( x ) + log ( y )).

Não há necessidade de um axioma análogo à existência de elementos inversos para grupos , pois isso resulta automaticamente na definição de uma lei de grupo formal. Em outras palavras, podemos sempre encontrar uma série de potências G (única) tal que F ( x , G ( x )) = 0.

Um homomorfismo de uma lei de grupo formal F de dimensão m para uma lei de grupo formal G de dimensão n é uma coleção f de n séries de potências em m variáveis, tal que

G ( f ( x ), f ( y )) = f ( F ( x , y )).

Um homomorfismo com um inverso é chamado de isomorfismo , e é chamado de isomorfismo estrito se além disso f ( x ) = x + termos de grau superior. Duas leis de grupo formais com um isomorfismo entre elas são essencialmente as mesmas; eles diferem apenas por uma "mudança de coordenadas".

Exemplos

A lei de grupo formal aditiva é dada por

{\ displaystyle F (x, y) = x + y. \}

A lei do grupo formal multiplicativa é dada por

{\ displaystyle F (x, y) = x + y + xy. \}

Esta regra pode ser entendida da seguinte forma. O produto G no (grupo multiplicativo do) anel R é dado por G ( a , b ) = ab . Se "mudarmos as coordenadas" para fazer de 0 a identidade, colocando a = 1 + x , b = 1 + y e G = 1 + F , então descobrimos que

F ( x , y ) = x + y + xy . Sobre os números racionais , existe um isomorfismo da lei de grupo formal aditiva para a multiplicativa, dada por exp ( x ) - 1 . Sobre anéis comutativos gerais R não há homomorfismo, pois defini-lo requer números racionais não inteiros, e os grupos formais aditivos e multiplicativos geralmente não são isomórficos.

De forma mais geral, podemos construir uma lei de grupo formal de dimensão n a partir de qualquer grupo algébrico ou grupo de Lie de dimensão n , tomando coordenadas na identidade e anotando a expansão formal da série de potências do mapa do produto. As leis de grupos formais aditivas e multiplicativas são obtidas dessa forma a partir dos grupos algébricos aditivos e multiplicativos. Outro caso especial importante disso é o grupo formal (lei) de uma curva elíptica (ou variedade abeliana ).
F ( x , y ) = ( x + y ) / (1 + xy ) é uma lei de grupo formal proveniente da fórmula de adição para a função tangente hiperbólica : tanh ( x + y ) = F (tanh ( x ), tanh ( y )), e também é a fórmula para adição de velocidades na relatividade especial (com a velocidade da luz igual a 1).
${\ textstyle F (x, y) = \ left. \ left (x {\ sqrt {1-y ^ {4}}} + y {\ sqrt {1-x ^ {4}}} \ right) \ right) / \! (1 + x ^ {2} y ^ {2})}$ é uma lei de grupo formal sobre Z [1/2] encontrada por Euler , na forma da fórmula de adição para uma integral elíptica ( Strickland ):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {dt \ over {\ sqrt {1-t ^ {4}}}} + \ int _ {0} ^ {y} {dt \ over {\ sqrt { 1-t ^ {4}}}} = \ int _ {0} ^ {F (x, y)} {dt \ over {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}.}

Álgebras de Lie

Qualquer lei de grupo formal n- dimensional fornece uma álgebra de Lie n- dimensional sobre o anel R , definida em termos da parte quadrática F ₂ da lei de grupo formal.

[ x , y ] = F ₂ ( x , y ) - F ₂ ( y , x )

O functor natural de grupos de Lie ou grupos algébricos para álgebras de Lie pode ser fatorado em um functor de grupos de Lie para leis de grupo formais, seguido por tomar a álgebra de Lie do grupo formal:

Grupos de Lie → Leis de grupos formais → Álgebras de Lie

Sobre campos de característica 0, as leis de grupo formais são essencialmente as mesmas que álgebras de Lie de dimensão finita: mais precisamente, o functor de leis de grupo formais de dimensão finita para álgebras de Lie de dimensão finita é uma equivalência de categorias . Sobre campos de característica diferente de zero, as leis de grupo formais não são equivalentes às álgebras de Lie. Na verdade, neste caso, é bem conhecido que passar de um grupo algébrico para sua álgebra de Lie muitas vezes joga fora muita informação, mas passar para a lei formal do grupo geralmente mantém informações suficientes. Portanto, em certo sentido, as leis de grupo formais são o substituto "certo" para as álgebras de Lie na característica p > 0.

O logaritmo de uma lei de grupo formal comutativa

Se F é uma lei de grupo formal n- dimensional comutativa sobre uma álgebra Q comutativa R , então ela é estritamente isomórfica à lei de grupo formal aditiva. Em outras palavras, há um isomorfismo estrito f do grupo formal aditivo para F , chamado de logaritmo de F , de modo que

f ( F ( x , y )) = f ( x ) + f ( y )

Exemplos:

O logaritmo de F ( x , y ) = x + y é f ( x ) = x .
O logaritmo de F ( x , y ) = x + y + xy é f ( x ) = log (1 + x ), porque log (1 + x + y + xy ) = log (1 + x ) + log (1 + y ).

Se R não contém os racionais, um mapa f pode ser construído por extensão de escalares para R ⊗ Q , mas isso enviará tudo para zero se R tiver característica positiva. Leis de grupo formal sobre um anel R são muitas vezes construídos por escrito o seu logaritmo como uma série de potências com coeficientes em R ⊗ Q , e, em seguida, provando que os coeficientes do grupo formal, correspondente ao longo R ⊗ Q realmente se encontram em R . Ao trabalhar na característica positiva, normalmente substitui-se R por um anel característico misto que tem uma submissão a R , como o anel W ( R ) dos vetores de Witt , e se reduz a R no final.

O anel de grupo formal de uma lei de grupo formal

O anel de grupo formal de uma lei de grupo formal é uma álgebra de Hopf cocomutativa análoga ao anel de grupo de um grupo e à álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie, ambas as quais também são álgebras de Hopf cocomutativas. Em geral, as álgebras cocomutativas de Hopf se comportam de maneira muito semelhante a grupos.

Para simplificar, descrevemos o caso unidimensional; o caso de dimensão superior é semelhante, exceto que a notação se torna mais envolvente.

Suponha que F é uma lei formal grupo (1-dimensional) sobre R . Seu anel de grupo formal (também chamado de hiperalgebra ou bialgebra covariante ) é uma álgebra de Hopf H cocomutativa construída da seguinte maneira.

Como um R - módulo , H é livre com uma base 1 = D ⁽⁰⁾ , D ⁽¹⁾ , D ⁽²⁾ , ...
O coproduto Δ é dado por Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )} ⊗ D ^{( n - i )} (então o dual dessa gema de carvão é apenas o anel da série de potências formal).
A contagem η é dada pelo coeficiente de D ⁽⁰⁾ .
A identidade é 1 = D ⁽⁰⁾ .
O antípoda S leva D ^{( n )} a (−1) ⁿ D ^{( n )} .
O coeficiente de D ⁽¹⁾ no produto D ^{( i )}D ^{( j )} é o coeficiente de x ⁱ y ^j em F ( x , y ).

Inversamente, dada uma álgebra de Hopf cuja estrutura de coalgebra é dada acima, podemos recuperar uma lei de grupo formal F a partir dela. Portanto, as leis de grupo formais unidimensionais são essencialmente as mesmas que as álgebras de Hopf, cuja estrutura da célula-carvão é dada acima.

Leis formais de grupo como functores

Dado um n -dimensional lei formal grupo F sobre R e um conmutativo R -álgebra S , que pode formar um grupo de F ( S ), cujo conjunto é subjacente N ^N onde N é o conjunto de nilpotentes elementos de S . O produto é dado usando F para multiplicar os elementos de N ⁿ ; o ponto é que todas as séries de potências formais agora convergem porque estão sendo aplicadas a elementos nilpotentes, então há apenas um número finito de termos diferentes de zero. Isso transforma F em um functor de R- álgebras S comutativa para grupos.

Podemos estender a definição de F ( S ) para algumas R- álgebras topológicas . Em particular, se S é um limite inverso de álgebras R discretas , podemos definir F ( S ) como o limite inverso dos grupos correspondentes. Por exemplo, isso nos permite definir F ( Z _p ) com valores nos números p -adic .

O functor valorizado-grupo de F também pode ser descrito utilizando o anel do grupo formal de H de F . Para simplificar, assumiremos que F é unidimensional; o caso geral é semelhante. Para qualquer álgebra de Hopf cocomutativa, um elemento g é chamado de grupo se Δ g = g ⊗ ge ε g = 1, e os elementos de grupo formam um grupo sob multiplicação. No caso da álgebra de Hopf de uma lei de grupo formal sobre um anel, o grupo como elementos são exatamente aqueles da forma

D ⁽⁰⁾ + D ⁽¹⁾x + D ⁽²⁾x ² + ...

para elementos nilpotentes x . Em particular, podemos identificar os elementos do tipo grupo de H ⊗ S com os elementos nilpotentes de S , e a estrutura do grupo nos elementos do tipo grupo de H ⊗ S é então identificada com a estrutura do grupo em F ( S ).

Altura

Suponha que f seja um homomorfismo entre leis de grupo formais unidimensionais sobre um campo de característica p > 0. Então f é zero, ou o primeiro termo diferente de zero em sua expansão de série de potências é para algum inteiro não negativo h , chamado de altura do homomorfismo f . A altura do homomorfismo zero é definida como ∞. ${\ displaystyle ax ^ {p ^ {h}}}$

A altura de uma lei de grupo formal unidimensional sobre um campo de característica p > 0 é definida como a altura de sua multiplicação por p mapa.

Duas leis de grupo formais unidimensionais sobre um campo algebraicamente fechado de característica p > 0 são isomórficas se e somente se tiverem a mesma altura, e a altura pode ser qualquer número inteiro positivo ou ∞.

Exemplos:

A lei de grupo formal aditiva F ( x , y ) = x + y tem altura ∞, pois seu p- ésimo mapa de potência é 0.
A lei de grupo formal multiplicativa F ( x , y ) = x + y + xy tem altura 1, pois seu p- ésimo mapa de potência é (1 + x ) ^p - 1 = x ^p .
A lei de grupo formal de uma curva elíptica tem altura um ou dois, dependendo se a curva é ordinária ou supersingular . A supersingularidade pode ser detectada pelo desaparecimento da série de Eisenstein . ${\ displaystyle E_ {p-1}}$

Anel preguiçoso

Existe uma lei de grupo formal unidimensional comutativa universal sobre um anel comutativo universal definido como segue. Nós deixamos

F ( x , y )

ser

x + y + Σ c _{i , j} x ⁱ y ^j

para indeterminados

c _{i , j} ,

e definimos o anel universal R como o anel comutativo gerado pelos elementos c _{i , j} , com as relações que são forçadas pelas leis de associatividade e comutatividade para as leis formais de grupo. Mais ou menos por definição, o anel R tem a seguinte propriedade universal:

Para qualquer anel conmutativo S , unidimensionais leis grupo formais mais de S correspondem aos homomorphisms anel de R para S .

O anel comutativo R construído acima é conhecido como anel universal de Lazard . À primeira vista, parece incrivelmente complicado: as relações entre seus geradores são muito complicadas. No entanto Lazard provou que tem uma estrutura muito simples: é apenas um anel polinomial (sobre os inteiros) em geradores de graus 2, 4, 6, ... (onde c _{i , j} tem grau 2 ( i + j - 1 )). Daniel Quillen provou que o anel do coeficiente do cobordismo complexo é naturalmente isomórfico como um anel graduado ao anel universal de Lazard, explicando a graduação incomum.

Grupos formais

Um grupo formal é um objeto de grupo na categoria de esquemas formais .

Se é um functor de álgebras de Artin para grupos que é deixado exato , então ele é representável ( G é o functor de pontos de um grupo formal. (Exatidão à esquerda de um functor é equivalente a comutar com limites projetivos finitos). ${\ displaystyle G}$
Se é um esquema de grupo , em seguida , a realização formal de L na identidade, tem a estrutura de um grupo formal. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$
Um esquema de grupo suave é isomórfico a . Algumas pessoas chamam um esquema formal de grupo de suave, se for o caso. ${\ displaystyle \ mathrm {Spf} (R [[T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]])}$
A suavidade formal afirma a existência de elevações de deformações e pode ser aplicada a esquemas formais maiores do que pontos. Um esquema de grupo formal suave é um caso especial de um esquema de grupo formal.
Dado um grupo formal regular, pode-se construir uma lei de grupo formal e um campo escolhendo um conjunto uniformizador de seções.
Os isomorfismos (não estritos) entre as leis de grupo formais induzidas por mudança de parâmetros constituem os elementos do grupo de mudanças de coordenadas no grupo formal.

Grupos formais e leis de grupo formais também podem ser definidos sobre esquemas arbitrários , em vez de apenas sobre anéis ou campos comutativos, e as famílias podem ser classificadas por mapas da base até um objeto parametrizante.

O espaço de módulos de leis formais do grupo é uma união disjunta de espaços afins de dimensão infinita, cujos componentes são parametrizada por dimensão, e cujos pontos são parametrizada por coeficientes admissível, as séries de potência F . A pilha de módulos correspondente de grupos formais suaves é um quociente desse espaço por uma ação canônica do grupóide de dimensão infinita de mudanças de coordenadas.

Sobre um campo algébricamente fechado, a subpilha de grupos formais unidimensionais é um ponto (no zero característico) ou uma cadeia infinita de pontos empilhados que parametrizam alturas. Na característica zero, o fechamento de cada ponto contém todos os pontos de maior altura. Essa diferença dá aos grupos formais uma teoria geométrica rica em características positivas e mistas, com conexões com a álgebra de Steenrod , grupos p- divisíveis, teoria de Dieudonné e representações de Galois . Por exemplo, o teorema de Serre-Tate implica que as deformações de um esquema de grupo são fortemente controladas pelas de seu grupo formal, especialmente no caso de variedades abelianas supersingulares . Para curvas elípticas supersingulares , esse controle é completo, e isso é bastante diferente da situação zero característica em que o grupo formal não tem deformações.

Um grupo formal às vezes é definido como uma álgebra de Hopf cocomutativa (geralmente com algumas condições extras adicionadas, como ser apontado ou conectado). Isso é mais ou menos dual com a noção acima. No caso suave, escolher as coordenadas equivale a obter uma base distinta do anel de grupo formal.

Alguns autores usam o termo grupo formal para significar lei de grupo formal .

Leis formais do grupo Lubin-Tate

Consideramos Z _p o anel de inteiros p -adicos . A lei de grupo formal de Lubin-Tate é a lei de grupo formal única (unidimensional) F tal que e ( x ) = px + x ^p é um endomorfismo de F , em outras palavras

{\ displaystyle e (F (x, y)) = F (e (x), e (y)). \}

De maneira mais geral, podemos permitir que e seja qualquer série de potências tal que e ( x ) = px + termos de grau superior e e ( x ) = x ^p mod p . Todas as leis de grupo para diferentes escolhas de e que satisfaçam essas condições são estritamente isomórficas.

Para cada elemento a em Z _p há um endomorfismo único f da lei de grupo formal de Lubin-Tate tal que f ( x ) = ax + termos de grau superior. Isso dá uma ação do anel Z _p na lei de grupo formal de Lubin-Tate.

Há uma construção semelhante com Z _p substituído por qualquer anel de avaliação discreto completo com campo de classe de resíduo finito .

Esta construção foi introduzida por Lubin & Tate (1965) , em um esforço bem sucedido para isolar o campo local parte da teoria clássica da multiplicação complexa de funções elípticas . É também um ingrediente importante em algumas abordagens da teoria de campo da classe local .

Veja também

Referências

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Fröhlich, A. (1968), Formal groups , Lecture Notes in Mathematics, 74 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0074373 , ISBN 978-3-540-04244-0, MR 0242837
P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
Grupos formais e aplicativos (Matemática pura e aplicada 78) Michiel Hazewinkel Editor: Academic Pr (junho de 1978) ISBN 0-12-335150-2
Lazard, Michel (1975), Commutative formal groups , Lecture Notes in Mathematics, 443 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0070554 , ISBN 978-3-540-07145-7, MR 0393050
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Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlim: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
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