Partes fracionadas - Fractional part

A parte fracionária ou parte decimal de um número real não negativo é o excesso além da parte inteira desse número . Se o último for definido como o maior número inteiro não maior que x , denominado piso de x ou , sua parte fracionária pode ser escrita como: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x) = x- \ lfloor x \ rfloor, \; x> 0}$.

Para um número positivo escrito em um sistema numeral posicional convencional (como binário ou decimal ), sua parte fracionária corresponde aos dígitos que aparecem após o ponto de raiz . O resultado é um número real no intervalo semiaberto [0, 1).

Para números negativos

No entanto, no caso de números negativos, existem várias maneiras conflitantes de estender a função da parte fracionária a eles: Ela é definida da mesma forma que para os números positivos, ou seja, por ( Graham, Knuth & Patashnik 1992 ), ou como o parte do número à direita do ponto de raiz ( Daintith 2004 ), ou pela função ímpar : ${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x) = x- \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x) = | x | - \ lfloor | x | \ rfloor}$

${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x) = {\ begin {cases} x- \ lfloor x \ rfloor & x \ geq 0 \\ x- \ lceil x \ rceil & x <0 \ end {cases}}}$

com como o menor inteiro não menor que x , também chamado de teto de x . Por consequência, podemos obter, por exemplo, três valores diferentes para a parte fracionária de apenas um x : seja −1,3, sua parte fracionária será 0,7 de acordo com a primeira definição, 0,3 de acordo com a segunda definição, e −0,3 de acordo com a terceira definição, cujo resultado também pode ser obtido de forma simples por ${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$

${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x) = x- \ lfloor | x | \ rfloor \ cdot \ operatorname {sgn} (x)}$.

As definições e a de "função ímpar" permitem a decomposição única de qualquer número real x à soma de suas partes inteiras e fracionárias, onde "parte inteira" se refere a ou respectivamente. Essas duas definições de função de parte fracionária também fornecem idempotência . ${\ displaystyle x- \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ lfloor | x | \ rfloor \ cdot \ operatorname {sgn} (x)}$

A parte fracionária definida pela diferença de ⌊ ⌋ é geralmente denotada por chaves :

${\ displaystyle \ {x \}: = x- \ lfloor x \ rfloor.}$

Seu intervalo é o intervalo semiaberto [0, 1) . Para números opostos, as partes fracionárias complementam da seguinte forma:

${\ displaystyle \ {x \} + \ {- x \} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 & {\ mbox {if}} x \ não \ in \ mathbb {Z}. \ end {casos}}}$

Relação com frações contínuas

Cada número real pode ser essencialmente representado de forma única como uma fração contínua , ou seja, como a soma de sua parte inteira e o recíproco de sua parte fracionária que é escrito como a soma de sua parte inteira e o recíproco de sua parte fracionária e assim por diante.

Veja também

• Sequência equidistribuída
• Grupo de um parâmetro
• Número Pisot – Vijayaraghavan
• Significand
• Grupo de quociente

Referências