Axioma de simetria de Freiling - Freiling's axiom of symmetry

O axioma de simetria de Freiling ( ) ${\ displaystyle {\ texttt {AX}}}$ é um axioma da teoria dos conjuntos proposto por Chris Freiling . É baseado na intuição de Stuart Davidson, mas a matemática por trás disso remonta a Wacław Sierpiński .

Deixe denotar o conjunto de todas as funções de a subconjuntos contáveis ​​de . O axioma afirma: ${\ displaystyle A \ subseteq \ wp ([0,1]) ^ {[0,1]}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle {\ texttt {AX}}}$

Para cada , existem tais que e . ${\ displaystyle f \ in A}$${\ displaystyle x, y \ in [0,1]}$${\ displaystyle x \ not \ in f (y)}$${\ displaystyle y \ not \ in f (x)}$

Um teorema de Sierpiński diz que, sob os pressupostos da teoria dos conjuntos ZFC, é equivalente à negação da hipótese do contínuo (CH). O teorema de Sierpiński respondeu a uma pergunta de Hugo Steinhaus e foi provado muito antes que a independência de CH fosse estabelecida por Kurt Gödel e Paul Cohen . ${\ displaystyle {\ texttt {AX}}}$

Freiling afirma que a intuição probabilística apóia fortemente esta proposição, enquanto outros discordam. Existem várias versões do axioma, algumas das quais são discutidas abaixo.

Argumento de Freiling

Fixar uma função f em um . Consideraremos um experimento mental que envolve o lançamento de dois dardos no intervalo da unidade. Nós não somos capazes de determinar fisicamente com precisão infinita os valores reais dos números x e y que são hit. Da mesma forma, a questão de se " y está em f ( x )" não pode realmente ser calculada fisicamente. No entanto, se f realmente é uma função, então essa pergunta é significativa e terá uma resposta definida "sim" ou "não".

Agora espere até que o primeiro dardo, x , seja lançado e avalie as chances de que o segundo dardo y esteja em f ( x ). Como x agora é fixo, f ( x ) é um conjunto contável fixo e tem a medida de Lebesgue zero. Portanto, esse evento, com x fixo, tem probabilidade zero. Freiling agora faz duas generalizações:

• Uma vez que podemos prever com certeza virtual que " y não está em f ( x )" depois que o primeiro dardo é lançado, e uma vez que essa previsão é válida não importa o que o primeiro dardo faça, devemos ser capazes de fazer essa previsão antes do primeiro dardo é lançado. Isso não quer dizer que ainda temos um evento mensurável, mas sim uma intuição sobre a natureza de ser previsível.
• Uma vez que " y não está em f ( x )" é previsivelmente verdadeiro, pela simetria da ordem em que os dardos foram lançados (daí o nome "axioma da simetria") também devemos ser capazes de prever com certeza virtual que " x não está em f ( y ) ".

O axioma agora é justificado com base no princípio de que o que previsivelmente acontecerá toda vez que esse experimento for realizado, deve ser pelo menos possível. Portanto, deve haver dois números reais x , y de modo que x não esteja em f ( y ) e y não esteja em f ( x ). ${\ displaystyle {\ texttt {AX}}}$

Relação com a Hipótese do Contínuo (Generalizada)

Corrija um cardinal infinito ( por exemplo ). Vamos ser a afirmação: não há nenhum mapa a partir de conjuntos de conjuntos de tamanho para o qual quer ou .${\ displaystyle \ kappa \,}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} \,}$${\ displaystyle {\ texttt {AX}} _ {\ kappa}. \,}$${\ displaystyle f: \ wp (\ kappa) \ to \ wp (\ wp (\ kappa)) \,}$${\ displaystyle \ leq \ kappa}$${\ displaystyle (\ forall {x, y \ in \ wp (\ kappa)}) \,}$${\ displaystyle x \ in f (y) \,}$${\ displaystyle y \ in f (x) \,}$

Afirmam: . ${\ displaystyle {\ texttt {ZFC}} \ vdash 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \ leftrightarrow \ neg {\ texttt {AX}} _ {\ kappa}. \,}$

Prova: Parte I ( ): ${\ displaystyle \ Rightarrow \,}$

Suponha . Então existe uma bijeção . Configuração definida via , é fácil ver que isso demonstra a falha do axioma de Freiling. ${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \,}$${\ displaystyle \ sigma: \ kappa ^ {+} \ to \ wp (\ kappa) \,}$${\ displaystyle f: \ wp (\ kappa) \ to \ wp (\ wp (\ kappa)) \,}$${\ displaystyle \ sigma (\ alpha) \ mapsto \ {\ sigma (\ beta): \ beta \ preceq \ alpha \} \,}$

Parte II ( ): ${\ displaystyle \ Leftarrow \,}$

Suponha que o axioma de Freiling falhe. Em seguida, conserte alguns para verificar esse fato. Defina uma relação de pedido em por iff . Essa relação é total e cada ponto tem muitos antecessores. Defina agora uma cadeia estritamente crescente da seguinte maneira: em cada estágio, escolha . Este processo pode ser realizado pois para cada ordinal , há uma união de vários conjuntos de tamanho ; portanto, é de tamanho e, portanto, é um subconjunto estrito de . Também temos que esta sequência é cofinal na ordem definida, ou seja , todo membro de é algum . (Caso contrário, se não for algum , então, como a ordem é total ; o que implica tem muitos predecessores; uma contradição.) Assim, podemos definir bem um mapa por . Então, qual é a união de muitos conjuntos, cada um de tamanho . Portanto , estamos prontos. ${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle \ wp (\ kappa) \,}$${\ displaystyle A \ leq _ {f} B}$${\ displaystyle A \ in f (B)}$${\ displaystyle \ leq \ kappa}$${\ displaystyle (A _ {\ alpha} \ in \ wp (\ kappa)) _ {\ alpha <\ kappa ^ {+}}}$${\ displaystyle A _ {\ alpha} \ in \ wp (\ kappa) \ setminus \ bigcup _ {\ xi <\ alpha} f (A _ {\ xi})}$${\ displaystyle \ alpha <\ kappa ^ {+} \,}$${\ displaystyle \ bigcup _ {\ xi <\ alpha} f (A _ {\ xi}) \,}$${\ displaystyle \ leq \ kappa \,}$${\ displaystyle \ leq \ kappa \,}$${\ displaystyle \ leq \ kappa <2 ^ {\ kappa} \,}$${\ displaystyle \ wp (\ kappa) \,}$${\ displaystyle \ wp (\ kappa) \,}$${\ displaystyle \ leq _ {f} \,}$${\ displaystyle A _ {\ alpha} \,}$${\ displaystyle B \ in \ wp (\ kappa) \,}$${\ displaystyle \ leq _ {f} \,}$${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$${\ displaystyle (\ forall {\ alpha <\ kappa ^ {+}}) A _ {\ alpha} \ leq _ {f} B \,}$${\ displaystyle B \,}$${\ displaystyle \ geq \ kappa ^ {+}> \ kappa \,}$${\ displaystyle g: \ wp (\ kappa) \ to \ kappa ^ {+} \,}$${\ displaystyle B \ mapsto \ operatorname {min} \ {\ alpha <\ kappa ^ {+}: B \ in f (A _ {\ alpha}) \}}$${\ displaystyle \ wp (\ kappa) = \ bigcup _ {\ alpha <\ kappa ^ {+}} g ^ {- 1} \ {\ alpha \} = \ bigcup _ {\ alpha <\ kappa ^ {+} } f (A _ {\ alpha}) \,}$${\ displaystyle \ kappa ^ {+} \,}$${\ displaystyle \ leq \ kappa \,}$${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} \ leq \ kappa ^ {+} \ cdot \ kappa = \ kappa ^ {+} \,}$

${\ displaystyle \ blacksquare}$ (Afirmação)

Observe que, para que possamos reorganizar as coisas facilmente para obter a forma acima mencionada do axioma de Freiling. ${\ displaystyle | [0,1] | = | \ wp (\ aleph _ {0}) | \,}$${\ displaystyle \ neg {\ texttt {CH}} \ Leftrightarrow \,}$

A descrição acima pode ser mais preciso: . Isso mostra (junto com o fato de que a hipótese do continuum é independente da escolha) uma maneira precisa em que a hipótese do continuum (generalizada) é uma extensão do axioma da escolha. ${\ displaystyle {\ texttt {ZF}} \ vdash ({\ texttt {AC}} _ ​​{\ wp (\ kappa)} + \ neg {\ texttt {AX}} _ {\ kappa}) \ leftrightarrow {\ texttt {CH}} _ {\ kappa} \,}$

Objeções ao argumento de Freiling

O argumento de Freiling não é amplamente aceito por causa dos dois problemas a seguir (dos quais Freiling estava bem ciente e discutiu em seu artigo).

• A ingênua intuição probabilística usada por Freiling tacitamente pressupõe que existe uma maneira bem comportada de associar uma probabilidade a qualquer subconjunto dos reais. Mas a formalização matemática da noção de probabilidade usa a noção de medida , mas o axioma da escolha implica a existência de subconjuntos não mensuráveis, mesmo do intervalo unitário. Alguns exemplos disso são o paradoxo Banach-Tarski e a existência de conjuntos Vitali .
• Uma variação menor de seu argumento fornece uma contradição com o axioma da escolha, quer se aceite ou não a hipótese do contínuo, se substituirmos a aditividade contável de probabilidade pela aditividade para cardinais menores que o contínuo. (Freiling usou um argumento semelhante para alegar que o axioma de Martin é falso.) Não está claro por que a intuição de Freiling deveria ser menos aplicável neste caso, se é que se aplica. ( Maddy 1988 , p. 500) Portanto, o argumento de Freiling parece ser mais um argumento contra a possibilidade de ordenar bem os reais do que contra a hipótese do continuum.

Conexão com a teoria dos grafos

Usando o fato de que em ZFC, temos (veja acima ), não é difícil ver que a falha do axioma de simetria - e, portanto, o sucesso de  - é equivalente ao seguinte princípio combinatório para gráficos: ${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \ Leftrightarrow \ neg {\ texttt {AX}} _ {\ kappa} \,}$${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \,}$

• O gráfico completo no pode ser então dirigido, que conduz a cada nó para a maioria dos nodos -muitos. ${\ displaystyle \ wp (\ kappa) \,}$${\ displaystyle \ kappa \,}$

No caso de , isso se traduz em: ${\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0} \,}$

• O gráfico completo no círculo unitário pode ser direcionado de modo que cada nó leve a, no máximo, muitos nós contáveis.

Assim, no contexto de ZFC, a falha de um axioma de Freiling é equivalente à existência de um tipo específico de função de escolha.

Referências

• Freiling, Chris (1986), "Axioms of symmetry: jogando dardos na linha do número real", The Journal of Symbolic Logic , 51 (1): 190–200, doi : 10.2307 / 2273955 , ISSN   0022-4812 , MR   0830085
• Maddy, Penelope (1988). "Acreditando nos Axiomas, eu". Journal of Symbolic Logic . 53 (2): 481–511. doi : 10.2307 / 2274520 .
• David Mumford , "The alvorecer da idade da estocasticidade", em Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000 , American Mathematical Society, 1999, 197–218.
• Sierpiński, Wacław (1956) [1934], Hypothèse du continu , Chelsea Publishing Company, New York, NY, MR   0090558
• John Simms, "Princípios tradicionais de Cavalieri aplicados à noção moderna de área", J. Philosophical Logic 18 (1989), 275-314.