Aula fundamental - Fundamental class

Em matemática , a classe fundamental é uma classe de homologia [ M ] associada a uma variedade compacta orientável conectada de dimensão n , que corresponde ao gerador do grupo de homologia . A classe fundamental pode ser considerada como a orientação dos simplicos dimensionais superiores de uma triangulação adequada da variedade. ${\ displaystyle H_ {n} (M, \ parcial M; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}$

Definição

Fechado, orientável

Quando M é um ligado orientável variedade fechada de dimensão N , o grupo de topo de homologia é cíclico infinito : , e uma orientação é uma escolha do gerador, uma escolha de isomorfismo . O gerador é chamado de classe fundamental . ${\ displaystyle H_ {n} (M, \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ to H_ {n} (M, \ mathbf {Z})}$

Se M estiver desconectado (mas ainda orientável), uma classe fundamental é a soma direta das classes fundamentais para cada componente conectado (correspondendo a uma orientação para cada componente).

Em relação à cohomologia de de Rham , representa integração sobre M ; ou seja, para M uma variedade suave, uma forma n ω pode ser emparelhada com a classe fundamental como

{\ displaystyle \ langle \ omega, [M] \ rangle = \ int _ {M} \ omega \,}

que é a integral de ω sobre M , e depende apenas da classe de cohomologia de ω.

Aula Stiefel-Whitney

Se M não é orientável, então não se pode definir uma classe fundamental M vivendo dentro dos inteiros. No entanto, todo manifold fechado é -orientável e (para M conectado). Assim, cada tubo de distribuição fechado é orientada (não apenas orientar capaz : não existe ambiguidade na escolha de orientação), e tem uma classe -fundamental. ${\ displaystyle H_ {n} (M, \ mathbf {Z}) \ ncong \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle H_ {n} (M, \ mathbf {Z} _ {2}) = \ mathbf {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$

Esta classe fundamental é usada na definição da classe Stiefel-Whitney . ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$

Com limite

Se M é uma variedade orientável compacta com limite, então o grupo de homologia relativa superior é novamente cíclico infinito , e a noção da classe fundamental é estendida ao caso relativo. ${\ displaystyle H_ {n} (M, \ parcial M) \ cong \ mathbf {Z}}$