G _δ set -G_δ set

No campo matemático da topologia , um conjunto G _δ é um subconjunto de um espaço topológico que é uma interseção contável de conjuntos abertos . A notação originou-se em alemão com G para Gebiet ( alemão : área ou vizinhança) significando conjunto aberto neste caso e δ para Durchschnitt ( alemão : interseção). O termo conjunto de limitação interna também é usado. Conjuntos G _δ e seus conjuntos F _𝜎 duais são o segundo nível da hierarquia do Borel .

Definição

Em um espaço topológico, um conjunto G _δ é uma interseção contável de conjuntos abertos . Os conjuntos G _δ são exatamente o nível Π⁰
₂conjuntos da hierarquia do Borel .

Exemplos

• Qualquer conjunto aberto é trivialmente um conjunto G _δ .
• Os números irracionais são um conjunto G _δ nos números reais . Eles podem ser escritos como a intersecção contável dos conjuntos abertos (o sobrescrito denotando o complemento ) onde é racional .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ {q \} ^ {c}}$${\ displaystyle q}$
• O conjunto de números racionais não é um conjunto G _δ . Se fosse a interseção de conjuntos abertos, cada um seria denso em porque é denso em . No entanto, a construção acima deu os números irracionais como uma interseção contável de subconjuntos densos abertos. Tomando a interseção de ambos os conjuntos dá o conjunto vazio como uma interseção contável de conjuntos densos abertos em , uma violação do teorema da categoria de Baire .${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• O conjunto de continuidade de qualquer função de valor real é um subconjunto G _δ de seu domínio (consulte a seção de propriedades para uma declaração mais geral e completa).
• O conjunto zero de uma derivada de uma função de valor real diferenciável em todos os lugares em é um conjunto G _δ ; pode ser um conjunto denso com interior vazio, como mostra a construção de Pompeiu .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Um exemplo mais elaborado de um conjunto G _δ é dado pelo seguinte teorema:

Teorema: O conjunto contém um subconjunto G _δ denso do espaço métrico . (Ver função Weierstrass § Densidade de funções diferenciáveis ​​em lugar nenhum .) ${\ displaystyle D = \ left \ {f \ in C ([0,1]): f {\ text {não é diferenciável em qualquer ponto de}} [0,1] \ right \}}$${\ displaystyle C ([0,1])}$

Propriedades

A noção de conjuntos G _δ em espaços métricos (e topológicos ) está relacionada à noção de completude do espaço métrico, bem como ao teorema da categoria de Baire . Veja o resultado sobre espaços completamente metrizáveis ​​na lista de propriedades abaixo.

${\ displaystyle \ mathrm {G _ {\ delta}}}$conjuntos e seus complementos também são importantes na análise real , especialmente na teoria da medida .

Propriedades básicas

• O complemento de um conjunto G _δ é um conjunto F _σ e vice-versa.
• A interseção de muitos conjuntos G _δ contáveis é um conjunto G _δ .
• A união de conjuntos G _δ finitos é um conjunto G _δ .
• Uma união contável de conjuntos G _δ (que seria chamada de conjunto G _δσ ) não é um conjunto G _δ em geral. Por exemplo, os números racionais não formam um conjunto G _δ .${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Em um espaço topológico, o ponto zero de cada função contínua verdadeira valorizado é um G _δ conjunto, uma vez que é a intersecção dos conjuntos abertos , .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle \ {x \ in X: -1 / n <f (x) <1 / n \}}$${\ displaystyle (n = 1,2, \ ldots)}$
• Em um espaço metrizável , todo conjunto fechado é um conjunto G _δ e, duplamente, todo conjunto aberto é um conjunto F _σ . Na verdade, um conjunto fechado é o conjunto zero da função contínua , onde indica a distância de um ponto a um conjunto . O mesmo se aplica a espaços pseudometrizáveis .${\ displaystyle F \ subseteq X}$${\ displaystyle f (x) = d (x, F)}$${\ displaystyle d}$
• Em um primeiro espaço T ₁ contável , todo singleton é um conjunto G _δ .
• Um subespaço de uma completamente metrizáveis espaço é, em si completamente metrizáveis se e somente se é um G _δ conjunto em .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$

Os seguintes resultados referem -se a espaços poloneses :

• Deixe ser um espaço polonês. Então, um subconjunto com a topologia de subespaço é polonês se e somente se for um G _δ definido .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$
• Um espaço topológico é polonês se e somente se for homeomórfico a um subconjunto G _δ de um espaço métrico compacto .${\ displaystyle X}$

Conjunto de continuidade de funções com valor real

Uma propriedade dos conjuntos é que eles são os conjuntos possíveis nos quais uma função de um espaço topológico para um espaço métrico é contínua . Formalmente: O conjunto de pontos onde tal função é contínua é um conjunto. Isso ocorre porque a continuidade em um ponto pode ser definida por uma fórmula, a saber: Para todos os inteiros positivos, há um conjunto aberto contendo tal que para todos em . Se um valor de é fixo, o conjunto de para o qual existe tal abertura correspondente é ele próprio um conjunto aberto (sendo uma união de conjuntos abertos), e o quantificador universal on corresponde à intersecção (contável) desses conjuntos. Na linha real, o inverso também é válido; para qualquer subconjunto G _δ da reta real, há uma função que é contínua exatamente nos pontos em . Como consequência, embora seja possível que os irracionais sejam o conjunto de pontos de continuidade de uma função (veja a função pipoca ), é impossível construir uma função que seja contínua apenas nos números racionais. ${\ displaystyle \ mathrm {G _ {\ delta}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathrm {G _ {\ delta}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle d (f (x), f (y)) <1 / n}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A}$

G _δ espaço

Um espaço G _δ é um espaço topológico em que todo conjunto fechado é um conjunto G _δ ( Johnson 1970 ). Um espaço normal que também é um espaço G _δ é chamado de perfeitamente normal . Por exemplo, todo espaço metrizável é perfeitamente normal.

Veja também

• F _σ set , o conceito dual ; observe que "G" é alemão ( Gebiet ) e "F" é francês ( fermé ).
• P -espaço , qualquer espaço que tem a propriedade de que cada L _δ conjunto é aberto

Notas

Referências

• Engelking, Ryszard (1989). Topologia geral . Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
• Kelley, John L. (1955). Topologia geral . van Nostrand . p. 134 .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology ( reimpressão de Dover da edição de 1978). Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446 .
• Fremlin, DH (2003) [2003]. "4, Topologia geral". Teoria da Medida, Volume 4 . Petersburgo, Inglaterra: Digital Books Logostics. ISBN 0-9538129-4-4. Arquivado do original em 1º de novembro de 2010 . Página visitada em 1 de abril de 2011 .
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topologia Geral ( reimpressão de Dover da edição 1970), Addison-Wesley
• Johnson, Roy A. (1970). "Um espaço compacto não metrizável de forma que cada subconjunto fechado seja um G-Delta". The American Mathematical Monthly . 77 (2): 172–176. doi : 10.2307 / 2317335 . JSTOR  2317335 .