Derivada covariante de calibre - Gauge covariant derivative

A derivada covariante de calibre é uma variação da derivada covariante usada na relatividade geral . Se uma teoria tem transformações de calibre , isso significa que algumas propriedades físicas de certas equações são preservadas sob essas transformações. Da mesma forma, a derivada covariante de calibre é a derivada ordinária modificada de modo a se comportar como um verdadeiro operador vetorial, de modo que as equações escritas usando a derivada covariante preservam suas propriedades físicas sob transformações de calibre.

Visão geral

Existem muitas maneiras de entender a derivada covariante de calibre. A abordagem adotada neste artigo é baseada na notação historicamente tradicional usada em muitos livros de física. Outra abordagem é entender a derivada covariante de calibre como um tipo de conexão e, mais especificamente, uma conexão afim . A conexão afim é interessante porque não requer que nenhum conceito de tensor métrico seja definido; a curvatura de uma conexão afim pode ser entendida como a intensidade de campo do potencial de medidor. Quando uma métrica está disponível, pode-se ir em uma direção diferente e definir uma conexão em um pacote de quadros . Esse caminho leva diretamente à relatividade geral; no entanto, requer uma métrica, que as teorias de calibre da física de partículas não têm.

Em vez de serem generalizações uma da outra, a geometria afim e métrica segue em direções diferentes: o grupo de calibre da geometria ( pseudo- ) Riemanniana deve ser o grupo ortogonal indefinido O (s, r) em geral, ou o grupo de Lorentz O ( 3,1) para espaço-tempo . Isso ocorre porque as fibras do feixe da moldura devem necessariamente, por definição, conectar os espaços tangente e cotangente do espaço-tempo. Em contraste, os grupos de calibres empregados na física de partículas poderiam, em princípio, ser qualquer grupo de Lie , embora na prática o modelo padrão use apenas U (1) , SU (2) e SU (3) . Observe que os grupos de Lie não vêm equipados com uma métrica.

Uma abordagem ainda mais complicada, porém mais precisa e geometricamente esclarecedora é entender que a derivada covariante de calibre é (exatamente) a mesma coisa que a derivada covariante externa em uma seção de um feixe associado para o feixe de fibras principal da teoria de calibre; e, para o caso de espinores, o feixe associado seria um feixe de spin da estrutura de spin . Embora conceitualmente igual, essa abordagem usa um conjunto de notações muito diferente e requer um conhecimento muito mais avançado em várias áreas da geometria diferencial .

A etapa final na geometrização da invariância de calibre é reconhecer que, na teoria quântica, basta comparar as fibras vizinhas do feixe de fibras principal e que as próprias fibras fornecem uma descrição extra supérflua. Isso leva à ideia de modificar o grupo de calibre para obter o grupóide de calibre como a descrição mais próxima da conexão de calibre na teoria quântica de campos.

Para álgebras de Lie comuns, a derivada covariante de calibre nas simetrias espaciais (aquelas da variedade pseudo-Riemanniana e da relatividade geral) não pode ser entrelaçada com as simetrias de calibre interno; isto é, a geometria métrica e a geometria afim são assuntos matemáticos necessariamente distintos: este é o conteúdo do teorema de Coleman-Mandula . No entanto, uma premissa desse teorema é violada pelas superálgebras de Lie (que não são álgebras de Lie!), Oferecendo assim esperança de que uma única simetria unificada possa descrever as simetrias espaciais e internas: esta é a base da supersimetria .

A abordagem mais matemática usa uma notação livre de índice, enfatizando a estrutura geométrica e algébrica da teoria de calibre e sua relação com álgebras de Lie e variedades Riemannianas ; por exemplo, tratar a covariância de calibre como equivariância nas fibras de um feixe de fibras. A notação de índice usada em física torna muito mais conveniente para cálculos práticos, embora torne a estrutura geométrica geral da teoria mais opaca. A abordagem da física também tem uma vantagem pedagógica: a estrutura geral de uma teoria de gauge pode ser exposta após uma experiência mínima em cálculo multivariado , enquanto a abordagem geométrica requer um grande investimento de tempo na teoria geral da geometria diferencial , variedades Riemannianas , álgebras de Lie , representações de álgebras de Lie e feixes de princípio antes que um entendimento geral possa ser desenvolvido. Em discussões mais avançadas, ambas as notações são comumente misturadas.

Este artigo tenta se aproximar mais da notação e da linguagem comumente empregadas no currículo de física, abordando apenas brevemente as conexões mais abstratas.

Dinâmica de fluidos

Em dinâmica de fluidos , a derivada covariante de medidor de um fluido pode ser definida como

{\ displaystyle \ nabla _ {t} \ mathbf {v}: = \ partial _ {t} \ mathbf {v} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v}}

onde é um campo de vetor de velocidade de um fluido. ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Teoria de calibre

Na teoria de calibre , que estuda uma classe particular de campos que são importantes na teoria quântica de campos , a derivada covariante de calibre minimamente acoplada é definida como

{\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ partial _ {\ mu} -iqA _ {\ mu}}

onde está o potencial quatro eletromagnético . ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$

(Isso é válido para uma assinatura métrica de Minkowski (-, +, +, +) , que é comum na relatividade geral e usada abaixo. Para a convenção de física de partículas (+, -, -, -) , é . O elétron ' carga s é definida como negativa como , enquanto o campo Dirac é definido para transformar positivamente como ) ${\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ partial _ {\ mu} + iqA _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q_ {e} = - | e |}$ ${\ displaystyle \ psi (x) \ rightarrow e ^ {iq \ alpha (x)} \ psi (x).}$

Construção da derivada covariante através do requisito de covariância de calibre

Considere uma transformação de Gauge genérica (possivelmente não Abeliana), definida por um operador de simetria , agindo em um campo , de modo que ${\ displaystyle U (x) = e ^ {i \ alpha (x)}}$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$

{\ displaystyle \ phi (x) \ rightarrow \ phi '(x) = U (x) \ phi (x) \ equiv e ^ {i \ alpha (x)} \ phi (x),}

{\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} (x) \ rightarrow \ phi {'} ^ {\ dagger} = \ phi ^ {\ dagger} (x) U ^ {\ dagger} (x) \ equiv \ phi ^ {\ dagger} (x) e ^ {- i \ alpha (x)}, \ qquad U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1}.}

onde é um elemento da álgebra de Lie associado ao grupo de Lie de transformações de simetria, e pode ser expresso em termos dos geradores do grupo,, como . ${\ displaystyle \ alpha (x)}$ ${\ displaystyle \ {t ^ {a} \} _ {a}}$ ${\ displaystyle \ alpha (x) = \ alpha ^ {a} (x) t ^ {a}}$

A derivada parcial se transforma, de acordo, como ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ phi (x) \ rightarrow \ parcial _ {\ mu} \ phi '(x) = U (x) \ parcial _ {\ mu} \ phi (x) + (\ parcial _ {\ mu} U) \ phi (x) \ equiv e ^ {i \ alpha (x)} \ parcial _ {\ mu} \ phi (x) + i (\ parcial _ {\ mu} \ alpha) e ^ {i \ alpha (x)} \ phi (x)}

e um termo cinético da forma não é invariante sob essa transformação. ${\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} \ partial _ {\ mu} \ phi}$

Podemos introduzir a derivada covariante neste contexto como uma generalização da derivada parcial que se transforma covariante sob a transformação de Gauge, ou seja, um objeto que satisfaz ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ phi (x) \ rightarrow D '_ {\ mu} \ phi' (x) = U (x) D _ {\ mu} \ phi (x),}

que na forma operativa assume a forma

{\ displaystyle D '_ {\ mu} = U (x) D _ {\ mu} U ^ {\ dagger} (x).}

Assim, calculamos (omitindo as dependências explícitas por questões de brevidade) ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ phi \ rightarrow D '_ {\ mu} U \ phi = UD _ {\ mu} \ phi + (\ delta D _ {\ mu} U + [D _ {\ mu}, U]) \ phi}

,

Onde

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ rightarrow D '_ {\ mu} \ equiv D _ {\ mu} + \ delta D _ {\ mu}}

.

O requisito para transformar covariantemente agora é traduzido na condição ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$

{\ displaystyle (\ delta D _ {\ mu} U + [D _ {\ mu}, U]) \ phi = 0.}

Para obter uma expressão explícita, seguimos QED e fazemos o Ansatz

{\ displaystyle D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -igA _ {\ mu},}

onde o campo vetorial satisfaz, ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$

{\ displaystyle A _ {\ mu} \ rightarrow A '_ {\ mu} = A _ {\ mu} + \ delta A _ {\ mu},}

do qual segue-se que

{\ displaystyle \ delta D _ {\ mu} \ equiv -ig \ delta A _ {\ mu}}

e

{\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} = [U, A _ {\ mu}] U ^ {\ dagger} - {\ frac {i} {g}} [\ partial _ {\ mu}, U] U ^ {\ dagger}}

que, usando , assume a forma ${\ displaystyle U (x) = 1 + i \ alpha (x) + {\ mathcal {O}} (\ alpha ^ {2})}$

{\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} = {\ frac {1} {g}} ([\ partial _ {\ mu}, \ alpha] -ig [A _ {\ mu}, \ alpha]) + {\ mathcal {O}} (\ alpha ^ {2}) = {\ frac {1} {g}} [D _ {\ mu}, \ alpha] + {\ mathcal {O}} (\ alpha ^ {2}) }

Assim, encontramos um objeto tal que ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} (x) D _ {\ mu} \ phi (x) \ rightarrow \ phi '^ {\ dagger} (x) D' _ {\ mu} \ phi '(x) = \ phi ^ {\ dagger} (x) D _ {\ mu} \ phi (x).}

Eletrodinâmica quântica

Se uma transformação de calibre é dada por

{\ displaystyle \ psi \ mapsto e ^ {i \ Lambda} \ psi}

e para o potencial de medição

{\ displaystyle A _ {\ mu} \ mapsto A _ {\ mu} + {1 \ over e} (\ partial _ {\ mu} \ Lambda)}

então se transforma como ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ mapsto \ partial _ {\ mu} -ieA _ {\ mu} -i (\ partial _ {\ mu} \ Lambda)}

,

e se transforma como ${\ displaystyle D _ {\ mu} \ psi}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ psi \ mapsto e ^ {i \ Lambda} D _ {\ mu} \ psi}

e se transforma como ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}}: = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ mapsto {\ bar {\ psi}} e ^ {- i \ Lambda}}

de modo a

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} D _ {\ mu} \ psi \ mapsto {\ bar {\ psi}} D _ {\ mu} \ psi}

e no QED Lagrangiano é, portanto, invariante de calibre, e a derivada covariante de calibre é assim nomeada apropriadamente. ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} D _ {\ mu} \ psi}$

Por outro lado, a derivada não covariante não preservaria a simetria de calibre de Lagrangiana, uma vez que ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ parcial _ {\ mu} \ psi \ mapsto {\ bar {\ psi}} \ parcial _ {\ mu} \ psi + i {\ bar {\ psi}} ( \ parcial _ {\ mu} \ Lambda) \ psi}

.

Cromodinâmica quântica

Na cromodinâmica quântica , a derivada covariante de calibre é

{\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ partial _ {\ mu} -ig_ {s} \, G _ {\ mu} ^ {\ alpha} \, \ lambda _ {\ alpha} / 2}

onde está a constante de acoplamento da interação forte, é o campo de calibre de glúons , para oito glúons diferentes , e onde está uma das oito matrizes de Gell-Mann . As matrizes de Gell-Mann fornecem uma representação do grupo de simetria de cores SU (3) . Para quarks, a representação é a representação fundamental , para glúons, a representação é a representação adjunta . ${\ displaystyle g_ {s}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1 \ dots 8}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha}}$

Modelo Padrão

A derivada covariante no Modelo Padrão combina as interações eletromagnéticas, fracas e fortes. Pode ser expresso da seguinte forma:

{\ displaystyle D _ {\ mu}: = \ parcial _ {\ mu} -i {\ frac {g '} {2}} Y \, B _ {\ mu} -i {\ frac {g} {2}} \ sigma _ {j} \, W _ {\ mu} ^ {j} -i {\ frac {g_ {s}} {2}} \ lambda _ {\ alpha} \, G _ {\ mu} ^ {\ alpha }}

Os campos de calibre aqui pertencem às representações fundamentais do grupo de Lie eletrofraca vezes o grupo de Lie de simetria de cor SU (3) . A constante de acoplamento fornece o acoplamento da hipercarga ao bóson e o acoplamento por meio dos três bósons vetoriais ao isospin fraco, cujos componentes são escritos aqui como as matrizes de Pauli . Por meio do mecanismo de Higgs , esses campos bósons se combinam no campo eletromagnético sem massa e nos campos dos três bósons vetoriais massivos e . ${\ displaystyle U (1) \ vezes SU (2)}$ ${\ displaystyle g '}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle W ^ {j}}$ ${\ displaystyle (j = 1,2,3)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {j}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle W ^ {\ pm}}$ ${\ displaystyle Z}$

Relatividade geral

Na relatividade geral , a derivada covariante de calibre é definida como

{\ displaystyle \ nabla _ {j} v ^ {i}: = \ partial _ {j} v ^ {i} + \ sum _ {k} \ Gamma ^ {i} {} _ {jk} v ^ {k }}

onde está o símbolo de Christoffel . Mais formalmente, essa derivada pode ser entendida como a conexão Riemanniana em um feixe de quadros . A "liberdade de medida" aqui é a escolha arbitrária de um quadro de coordenadas em cada ponto do espaço-tempo . ${\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {jk}}$

Veja também

Referências

^ LD Faddeev, AA Slavnov, Gauge Fields: Introduction to Gauge Theory , (1980) Benjamin Cummings, ISBN 0-8053-9016-2
^ Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3
^ Warren Siegel, Fields (1999) ArXiv
^ Richard S. Palais, The Geometrization of Physics (1981) Lecture Notes, Institute of Mathematics, National Tsing Hua University
^ ME Mayer, " Revisão: David D. Bleecker, teoria de calibre e princípios variacionais ", Bull. Amer. Matemática. Soc. (NS) 9 (1983), no. 1, 83--92
^ ^a ^b Alexandre Guay, aspectos geométricos da simetria local do calibre (2004)
^ ^a ^b Charles W. Misner, Kip S. Thorne, e John Archibald Wheeler, Gravitação , (1973) WH Freeman and Company
^ David Bleecker, " Gauge Theory and Variational Principles " (1982) D. Reidel Publishing (Ver capítulo 3 )
^ David Bleecker, op. cit. ( Veja o Capítulo 6. )
^ Meinhard E. Mayer, "Principal Bundles versus Lie Groupoids in Gauge Theory", (1990) em Differential Geometric Methods in Theoretical Physics , Volume 245 pp 793-802
^ http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
^ Veja, por exemplo, eq. 3.116 em C. Tully, Elementary Particle Physics in a Nutshell , 2011, Princeton University Press.

Tsutomu Kambe, Princípio de medição para fluidos ideais e princípio de variação . (Ficheiro PDF.)

[1] LD Faddeev, AA Slavnov, Gauge Fields: Introduction to Gauge Theory , (1980) Benjamin Cummings, ISBN 0-8053-9016-2

[2] Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3

[3] Warren Siegel, Fields (1999) ArXiv

[4] Richard S. Palais, The Geometrization of Physics (1981) Lecture Notes, Institute of Mathematics, National Tsing Hua University

[5] ME Mayer, " Revisão: David D. Bleecker, teoria de calibre e princípios variacionais ", Bull. Amer. Matemática. Soc. (NS) 9 (1983), no. 1, 83--92

[guay-6] Alexandre Guay, aspectos geométricos da simetria local do calibre (2004)

[MTW-7] Charles W. Misner, Kip S. Thorne, e John Archibald Wheeler, Gravitação , (1973) WH Freeman and Company

[8] David Bleecker, " Gauge Theory and Variational Principles " (1982) D. Reidel Publishing (Ver capítulo 3 )

[9] David Bleecker, op. cit. ( Veja o Capítulo 6. )

[10] Meinhard E. Mayer, "Principal Bundles versus Lie Groupoids in Gauge Theory", (1990) em Differential Geometric Methods in Theoretical Physics , Volume 245 pp 793-802

[11] ttp://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html

[12] Veja, por exemplo, eq. 3.116 em C. Tully, Elementary Particle Physics in a Nutshell , 2011, Princeton University Press.

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