Conexão (matemática) - Connection (mathematics)

Em geometria , a noção de conexão torna precisa a ideia de transportar dados ao longo de uma curva ou família de curvas de maneira paralela e consistente. Existem vários tipos de conexões na geometria moderna, dependendo do tipo de dados que se deseja transportar. Por exemplo, uma conexão afim , o tipo mais elementar de conexão, fornece um meio para o transporte paralelo de vetores tangentes em uma variedade de um ponto a outro ao longo de uma curva. Uma conexão afim é normalmente fornecida na forma de uma derivada covariante , que fornece um meio para obter derivadas direcionais de campos de vetor, medindo o desvio de um campo de vetor de ser paralelo em uma determinada direção.

As conexões são de importância central na geometria moderna em grande parte porque permitem uma comparação entre a geometria local em um ponto e a geometria local em outro ponto. A geometria diferencial abrange várias variações do tema da conexão, que se enquadram em dois grupos principais: o infinitesimal e a teoria local. A teoria local se preocupa principalmente com noções de transporte paralelo e holonomia . A teoria infinitesimal se preocupa com a diferenciação de dados geométricos. Assim, uma derivada covariante é uma maneira de especificar uma derivada de um campo vetorial ao longo de outro campo vetorial em uma variedade. Uma conexão Cartan é uma forma de formular alguns aspectos da teoria da conexão usando formas diferenciais e grupos de Lie . Uma conexão de Ehresmann é uma conexão em um feixe de fibra ou um feixe principal especificando as direções de movimento permitidas do campo. Uma conexão Koszul é uma conexão que define a derivada direcional para seções de um feixe vetorial mais geral do que o feixe tangente.

As conexões também levam a formulações convenientes de invariantes geométricos , como a curvatura (consulte também tensor de curvatura e forma de curvatura ) e tensor de torção .

Motivação: a inadequação das coordenadas

Transporte paralelo (da seta preta) em uma esfera. As setas azuis e vermelhas representam transportes paralelos em direções diferentes, mas terminando no mesmo ponto inferior direito. O fato de eles acabarem apontando em direções diferentes é resultado da curvatura da esfera.

Considere o seguinte problema. Suponha que um vetor tangente à esfera S seja dado no pólo norte, e devemos definir uma maneira de mover consistentemente esse vetor para outros pontos da esfera: um meio de transporte paralelo . Ingenuamente, isso poderia ser feito usando um sistema de coordenadas específico . No entanto, a menos que o cuidado adequado seja aplicado, o transporte paralelo definido em um sistema de coordenadas não concordará com o de outro sistema de coordenadas. Um sistema de transporte paralelo mais apropriado explora a simetria da esfera em rotação. Dado um vetor no pólo norte, pode-se transportar esse vetor ao longo de uma curva girando a esfera de tal forma que o pólo norte se mova ao longo da curva sem rolamento axial. Este último meio de transporte paralelo é a conexão Levi-Civita na esfera. Se duas curvas diferentes são fornecidas com o mesmo ponto inicial e terminal, e um vetor v é rigidamente movido ao longo da primeira curva por uma rotação, o vetor resultante no ponto terminal será diferente do vetor resultante do movimento rígido de v ao longo da segunda curva. Este fenômeno reflete a curvatura da esfera. Um dispositivo mecânico simples que pode ser usado para visualizar o transporte paralelo é a carruagem apontando para o sul .

Por exemplo, suponha que S é uma esfera com coordenadas dadas pela projeção estereográfica . Considere S como consistindo de vetores unitários em R ³ . Então S carrega um par de manchas de coordenadas correspondentes às projeções do pólo norte e do pólo sul. Os mapeamentos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ varphi _ {0} (x, y) & = \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {1-x ^ {2} -y ^ {2}} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) \\ [8pt] \ varphi _ {1} (x, y) & = \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}} }, {\ frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2} -1} {1 + x ^ {2 } + y ^ {2}}} \ direita) \ end {alinhado}}}$

cobrir uma vizinhança U ₀ do pólo norte e U ₁ do pólo sul, respectivamente. Sejam X , Y , Z as coordenadas ambientais em R ³ . Então φ ₀ e φ ₁ têm inversos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ varphi _ {0} ^ {- 1} (X, Y, Z) & = \ left ({\ frac {X} {Z + 1}}, {\ frac {Y } {Z + 1}} \ right), \\ [8pt] \ varphi _ {1} ^ {- 1} (X, Y, Z) & = \ left ({\ frac {-X} {Z-1 }}, {\ frac {-Y} {Z-1}} \ direita), \ end {alinhado}}}$

de modo que a função de transição de coordenadas é inversão no círculo :

${\ displaystyle \ varphi _ {01} (x, y) = \ varphi _ {0} ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {1} (x, y) = \ left ({\ frac {x} { x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}$

Vamos agora representar um campo vetorial em S (uma atribuição de um vetor tangente a cada ponto em S) em coordenadas locais. Se P é um ponto de U ₀ ⊂ S , então um campo vetorial pode ser representado pelo pushforward de um campo vetorial v ₀ em R ² por : ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$

${\ displaystyle v (P) = J _ {\ varphi _ {0}} \ left (\ varphi _ {0} ^ {- 1} (P) \ right) \ cdot {\ mathbf {v}} _ {0} \ left (\ varphi _ {0} ^ {- 1} (P) \ right)}$

( 1 )

onde denota a matriz Jacobiana de φ ₀ ( ), ev ₀  =  v ₀ ( x ,  y ) é um campo vetorial em R ² determinado exclusivamente por v (uma vez que o pushforward de um difeomorfismo local em qualquer ponto é invertível). Além disso, na sobreposição entre os gráficos de coordenadas U ₀ ∩ U ₁ , é possível representar o mesmo campo vetorial em relação às coordenadas φ ₁ : ${\ displaystyle J _ {\ varphi _ {0}}}$${\ displaystyle d {\ varphi _ {0}} _ {x} ({\ mathbf {u}}) = J _ {\ varphi _ {0}} (x) \ cdot {\ mathbf {u}}}$

${\ displaystyle v (P) = J _ {\ varphi _ {1}} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P) \ right) \ cdot {\ mathbf {v}} _ {1} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P) \ right).}$

( 2 )

Para relacionar os componentes de v ₀ e v ₁ , aplicar a regra da cadeia para a identidade φ ₁ = φ ₀ o φ ₀₁ :

${\ displaystyle J _ {\ varphi _ {1}} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P) \ right) = J _ {\ varphi _ {0}} \ left (\ varphi _ {0 } ^ {- 1} (P) \ right) \ cdot J _ {\ varphi _ {01}} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P) \ right).}$

Aplicando ambos os lados desta equação de matriz ao vetor componente v ₁ (φ ₁ ⁻¹ ( P )) e invocando ( 1 ) e ( 2 ) resulta

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {0} \ left (\ varphi _ {0} ^ {- 1} (P) \ right) = J _ {\ varphi _ {01}} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P) \ right) \ cdot {\ mathbf {v}} _ {1} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P) \ right).}$

( 3 )

Chegamos agora à questão principal de definir como transportar um campo vetorial paralelamente ao longo de uma curva. Suponha-se que P ( t ) é uma curva em S . Ingenuamente, pode-se considerar um campo vetorial paralelo se os componentes coordenados do campo vetorial forem constantes ao longo da curva. No entanto, surge uma ambigüidade imediata: em qual sistema de coordenadas esses componentes devem ser constantes?

Por exemplo, suponha que v ( P ( t )) tenha componentes constantes no sistema de coordenadas U ₁ . Ou seja, as funções v ₁ ( φ ₁ ⁻¹ ( P ( t ))) são constantes. No entanto, aplicando a regra do produto para ( 3 ) e usando o fato de que d v ₁ / dt = 0 dá

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ mathbf {v}} _ {0} \ left (\ varphi _ {0} ^ {- 1} (P (t)) \ right) = \ left ({\ frac {d} {dt}} J _ {\ varphi _ {01}} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P (t)) \ right) \ right) \ cdot {\ mathbf {v}} _ {1} \ left (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P (t)) \ right).}$

Mas é sempre uma matriz não singular (desde que a curva de P ( t ) não é estacionária), de modo v ₁ e v ₀ não pode nunca ser simultaneamente constante ao longo da curva. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dt}} J _ {\ varphi _ {01}} (\ varphi _ {1} ^ {- 1} (P (t))) \ right)}$

Resolução

O problema observado acima é que a derivada direcional usual do cálculo vetorial não se comporta bem sob mudanças no sistema de coordenadas quando aplicada aos componentes dos campos vetoriais. Isso torna muito difícil descrever como traduzir campos vetoriais de maneira paralela, se de fato tal noção fizer algum sentido. Existem duas maneiras fundamentalmente diferentes de resolver esse problema.

A primeira abordagem é examinar o que é necessário para uma generalização da derivada direcional para "se comportar bem" em transições de coordenadas. Esta é a tática adotada pela abordagem da derivada covariante para conexões: bom comportamento é igualado à covariância . Aqui se considera uma modificação da derivada direcional por um certo operador linear , cujos componentes são chamados de símbolos de Christoffel , que não envolvem derivadas no próprio campo vetorial. A derivada direcional D _u v dos componentes de um vetor v em um sistema de coordenadas φ na direção u são substituídos por uma derivada covariante :

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}} = D _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}} + \ Gamma (\ varphi) \ {{\ mathbf {u }}, {\ mathbf {v}} \}}$

onde Γ depende do sistema de coordenadas φ e é bilinear em u e v . Em particular, Γ não envolve nenhuma derivada em u ou v . Nesta abordagem, Γ deve se transformar de uma maneira prescrita quando o sistema de coordenadas φ é alterado para um sistema de coordenadas diferente. Essa transformação não é tensorial , pois envolve não apenas a primeira derivada da transição de coordenadas, mas também sua segunda derivada . Especificar a lei de transformação de Γ não é suficiente para determinar Γ exclusivamente. Algumas outras condições de normalização devem ser impostas, geralmente dependendo do tipo de geometria em consideração. Na geometria Riemanniana , a conexão Levi-Civita requer compatibilidade dos símbolos de Christoffel com a métrica (bem como uma certa condição de simetria). Com essas normalizações, a conexão é definida de forma exclusiva.

A segunda abordagem é usar grupos de Lie para tentar capturar algum vestígio de simetria no espaço. Esta é a abordagem das conexões de Cartan . O exemplo acima, usando rotações para especificar o transporte paralelo de vetores na esfera, segue essa linha.

Levantamento histórico de conexões

Historicamente, as conexões foram estudadas de uma perspectiva infinitesimal na geometria Riemanniana . O estudo infinitesimal das conexões começou até certo ponto com Elwin Christoffel . Isso foi posteriormente abordado de forma mais completa por Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita ( Levi-Civita & Ricci 1900 ), que observaram em parte que uma conexão no sentido infinitesimal de Christoffel também permitia uma noção de transporte paralelo .

O trabalho de Levi-Civita focou exclusivamente em considerar as conexões como uma espécie de operador diferencial cujos deslocamentos paralelos eram então as soluções de equações diferenciais . À medida que o século XX avançava, Élie Cartan desenvolveu uma nova noção de conexão. Ele procurou aplicar as técnicas de sistemas Pfaffian para as geometrias de Felix Klein 's programa de Erlangen . Nessas investigações, ele descobriu que uma certa noção infinitesimal de conexão (uma conexão de Cartan ) poderia ser aplicada a essas geometrias e mais: seu conceito de conexão permitia a presença de curvatura que de outra forma estaria ausente em uma geometria Klein clássica. (Ver, por exemplo, ( Cartan 1926 ) e ( Cartan 1983 ).) Além disso, usando a dinâmica de Gaston Darboux , Cartan foi capaz de generalizar a noção de transporte paralelo para sua classe de conexões infinitesimais. Isso estabeleceu outro fio condutor na teoria das conexões: que uma conexão é um certo tipo de forma diferencial .

Os dois fios da teoria da conexão persistiram até os dias atuais: uma conexão como operador diferencial e uma conexão como forma diferencial. Em 1950, Jean-Louis Koszul ( Koszul 1950 ) deu uma estrutura algébrica para considerar uma conexão como um operador diferencial por meio da conexão Koszul . A conexão Koszul era mais geral do que a de Levi-Civita e era mais fácil de trabalhar porque finalmente foi capaz de eliminar (ou pelo menos esconder) os símbolos de Christoffel estranhos do formalismo de conexão. As operações de deslocamento paralelo associadas também tiveram interpretações algébricas naturais em termos de conexão. A definição de Koszul foi subsequentemente adotada pela maioria da comunidade da geometria diferencial, uma vez que efetivamente converteu a correspondência analítica entre a diferenciação covariante e a tradução paralela em algébrica .

Nesse mesmo ano, Charles Ehresmann ( Ehresmann 1950 ), aluno de Cartan, apresentou uma variação sobre a conexão como uma visão de forma diferencial no contexto de feixes principais e, de forma mais geral, de feixes de fibras . As conexões de Ehresmann eram, estritamente falando, não uma generalização das conexões de Cartan. As conexões de Cartan estavam rigidamente ligadas à topologia diferencial subjacente da variedade por causa de sua relação com o método de equivalência de Cartan . As conexões de Ehresmann eram uma estrutura sólida para visualizar o trabalho fundamental de outros geômetras da época, como Shiing-Shen Chern , que já havia começado a se afastar das conexões de Cartan para estudar o que poderia ser chamado de conexões de calibre . Do ponto de vista de Ehresmann, uma conexão em um pacote principal consiste em uma especificação de campos vetoriais horizontais e verticais no espaço total do pacote. Uma translação paralela é então o levantamento de uma curva da base para uma curva no feixe principal que é horizontal. Este ponto de vista provou ser especialmente valioso no estudo da holonomia .

Possíveis abordagens

• Uma abordagem bastante direta é especificar como uma derivada covariante atua sobre os elementos do módulo de campos vetoriais como um operador diferencial . De maneira mais geral, uma abordagem semelhante se aplica a conexões em qualquer pacote vetorial .
• A notação de índice tradicional especifica a conexão por componentes; veja os símbolos de Christoffel . ( Nota : tem três índices, mas não é um tensor ).
• Na geometria pseudo-Riemanniana e Riemanniana a conexão Levi-Civita é uma conexão especial associada ao tensor métrico .
• Estes são exemplos de conexões afins . Há também um conceito de conexão projetiva , do qual a derivada Schwarziana na análise complexa é uma instância. De maneira mais geral, as conexões afins e projetivas são tipos de conexões Cartan .
• Usando feixes principais , uma conexão pode ser realizada como uma forma diferencial avaliada pela álgebra de Lie . Veja conexão (pacote principal) .
• Uma abordagem para conexões que faz uso direto da noção de transporte de "dados" (seja lá o que for) é a conexão de Ehresmann .
• A abordagem mais abstrata pode ser aquela sugerida por Alexander Grothendieck , onde uma conexão Grothendieck é vista como dados descendentes de vizinhanças infinitesimais da diagonal ; veja ( Osserman 2004 ).

Veja também

• Conexão afim
• Conexão Cartan
• Conexão Ehresmann
• Conexão Levi-Civita
• Formulário de conexão
• Conexão (manifold fibroso)
• Conexão (pacote principal)
• Conexão (pacote vetorial)
• Conexão (pacote afim)
• Conexão (pacote composto)
• Conexão (estrutura algébrica)
• Teoria de calibre (matemática)

Referências

• Levi-Civita, T .; Ricci, G. (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" , Mathematische Annalen , 54 (1-2): 125-201, doi : 10.1007 / BF01454201
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033 / bsmf.1053
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 (1-2): 1-42, doi : 10.1007 / BF02629755
• Cartan, Élie (1983), Geometry of Riemannian spaces , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
• Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable , Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29-55
• Koszul, JL (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65-127, doi : 10.24033 / bsmf.1410
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Connection" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature (PDF) , arquivado do original (PDF) em 2006-12-21 , recuperado 2007-02-04
• Mangiarotti, L .; Sardanashvily , G. (2000), Connections in Classical and Quantum Field Theory , World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometria de Formas Diferenciais , AMS, ISBN 0-8218-1045-6

links externos

• Mídia relacionada à Conexão (matemática) no Wikimedia Commons
• Conexões no Manifold Atlas