Número de Hartogs - Hartogs number
Em matemática , especificamente na teoria axiomática dos conjuntos , um número de Hartogs é um número ordinal associado a um conjunto. Em particular, se X é qualquer conjunto , então o número de hartogs de X é o menos ordinal α de tal modo que não há nenhuma injecção de α em X . Se X pode ser bem regulado , em seguida, o número cardinal de α é maior do que o mínimo que cardinal de X . Se X não pode ser bem ordenado, então não pode haver uma injeção de X em α. No entanto, o número cardinal de α ainda é um cardinal mínima não inferior a ou igual à cardinalidade de X . (Se nos restringirmos a números cardinais de conjuntos bem ordenáveis, então o de α é o menor que não é menor ou igual ao de X. ) O mapa que leva X a α é algumas vezes chamado de função de Hartogs . Esse mapeamento é usado para construir os números aleph, que são todos os números cardinais de conjuntos infinitos bem ordenáveis.
A existência do número de Hartogs foi provada por Friedrich Hartogs em 1915, usando apenas a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (isto é, sem usar o axioma da escolha ).
Teorema de Hartogs
O teorema de Hartogs afirma que, para qualquer conjunto X , existe um α ordinal tal que ; isto é, de tal modo que não há nenhuma injecção de α para X . Como ordinais são bem-ordenada, isto implica de imediato a existência de um número de hartogs para qualquer conjunto X . Além disso, a prova é construtivo e produz o número de hartogs de X .
Prova
Veja Goldrei 1996 .
Let ser a classe de todos os números ordinais p para os quais uma função injetivo existe de β em X .
Primeiro, verificamos que α é um conjunto.
- X × X é um conjunto, como pode ser visto em Axioma do conjunto de potência .
- O conjunto de potência de X × X é um conjunto, pelo axioma do conjunto de potência.
- A classe W de todas as ordenações reflexivas de subconjuntos de X é uma subclasse definível do conjunto anterior, portanto, é um conjunto pelo esquema de axioma de separação .
- A classe de todos os tipos de ordem de ordenações boas em W é um conjunto pelo esquema de axioma de substituição , como
- (Domínio ( w ), w ) (
- pode ser descrito por uma fórmula simples.
Mas este último conjunto é exatamente α . Agora, como um conjunto transitivo de ordinais é novamente um ordinal, α é um ordinal. Além disso, não há injeção de α em X , porque se houvesse, obteríamos a contradição de que α ∈ α . E, finalmente, α é o menos tal ordinal sem injecção em X . Isto é verdade porque, uma vez que α é um ordinal, para qualquer β < α , β ∈ α para que haja uma injecção de β em X .
Observação histórica
Em 1915, Hartogs não podia usar nem von Neumann-ordinals nem o axioma de substituição e, portanto, seu resultado é um da teoria dos conjuntos de Zermelo e parece bastante diferente da exposição moderna acima. Em vez disso, ele considerou o conjunto de classes de isomorfismo de subconjuntos bem ordenadas de X ea relação em que a classe de A precede o de B , se A é isomorphic com um segmento inicial adequada de B . Hartogs mostrou que este seja um maior bem-ordenando que qualquer subconjunto bem-ordenada de X . (Esta deve ter sido historicamente a primeira construção genuína de um incontável bom ordenamento.) No entanto, o objetivo principal de sua contribuição foi mostrar que a tricotomia para números cardinais implica o teorema de bom ordenamento (então com 11 anos) (e, portanto, , o axioma de escolha).
Veja também
Referências
- Goldrei, Derek (1996). Teoria dos conjuntos clássicos . Chapman & Hall .
- Hartogs, Fritz (1915). "Über das Problem der Wohlordnung" . Mathematische Annalen (em alemão). 76 (4): 438–443. doi : 10.1007 / BF01458215 . JFM 45.0125.01 . S2CID 121598654 .
- Jech, Thomas (2002). Teoria dos conjuntos, terceira edição do milênio (revisada e ampliada) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Charles Morgan. "Teoria dos conjuntos axiomáticos" (PDF) . Notas do curso . University of Bristol . Página visitada em 2010-04-10 .