Teste de Durbin – Wu – Hausman - Durbin–Wu–Hausman test

O teste de Durbin – Wu – Hausman (também chamado de teste de especificação de Hausman ) é um teste de hipótese estatística em econometria com o nome de James Durbin , De-Min Wu e Jerry A. Hausman . O teste avalia a consistência de um estimador quando comparado a um estimador alternativo menos eficiente que já é conhecido por ser consistente. Ajuda a avaliar se um modelo estatístico corresponde aos dados.

Detalhes

Considere o modelo linear y  =  Xb  +  e , onde y é a variável dependente e X é o vetor de regressores , b é um vetor de coeficientes e e é o termo de erro . Temos dois avaliadores para b : b ₀ e b ₁ . Sob a hipótese nula , ambos os estimadores são consistentes , mas b ₁ é eficiente (tem a menor variância assintótica), pelo menos na classe de estimadores contendo b ₀ . Na hipótese alternativa , b ₀ é consistente, enquanto b ₁ não é.

Então, a estatística Wu-Hausman é:

${\ displaystyle H = (b_ {1} -b_ {0}) '{\ big (} \ operatorname {Var} (b_ {0}) - \ operatorname {Var} (b_ {1}) {\ big)} ^ {\ dagger} (b_ {1} -b_ {0}),}$

onde ^† denota o pseudoinverso Moore – Penrose . Sob a hipótese nula, essa estatística possui assintoticamente a distribuição qui-quadrada com o número de graus de liberdade igual ao posto da matriz Var ( b ₀ ) - Var ( b ₁ ) .

Se rejeitarmos a hipótese nula, significa que b ₁ é inconsistente. Este teste pode ser usado para verificar a endogeneidade de uma variável (comparando as estimativas das variáveis ​​instrumentais (IV) com as estimativas dos mínimos quadrados ordinários (MQO)). Ele também pode ser usado para verificar a validade dos extras instrumentos comparando IV estimativas usando um conjunto completo de instrumentos Z a IV estimativas que usam um subconjunto próprio de Z . Observe que, para que o teste funcione no último caso, devemos ter certeza da validade do subconjunto de Z e esse subconjunto deve ter instrumentos suficientes para identificar os parâmetros da equação.

Hausman também mostrou que a covariância entre um estimador eficiente e a diferença entre um estimador eficiente e ineficiente é zero.

Derivação

Assumindo normalidade conjunta dos estimadores.

${\ displaystyle {\ sqrt {N}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} -b \\ b_ {0} -b \ end {bmatrix}} {\ xrightarrow {d}} {\ mathcal {N}} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} \ operatorname {Var} (b_ {1}) & \ operatorname {Cov} (b_ {1}, b_ {0}) \\\ operatorname {Cov} (b_ {1}, b_ {0}) & \ operatorname {Var} (b_ {0}) \ end {bmatrix}} \ right)}$

Considere a função: ${\ displaystyle q = b_ {0} -b_ {1} \ Rightarrow \ operatorname {plim} q = 0}$

Pelo método delta

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ sqrt {N}} (q-0) {\ xrightarrow {d}} {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ begin {bmatrix} 1 & -1 \ end {bmatriz}} {\ begin {bmatriz} \ operatorname {Var} (b_ {1}) & \ operatorname {Cov} (b_ {1}, b_ {0}) \\\ operatorname {Cov} (b_ { 1}, b_ {0}) & \ operatorname {Var} (b_ {0}) \ end {bmatriz}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \ end {bmatrix}} \ right) \\ [6pt ] & \ operatorname {Var} (q) = \ operatorname {Var} (b_ {1}) + \ operatorname {Var} (b_ {0}) - 2 \ operatorname {Cov} (b_ {1}, b_ {0 }) \ end {alinhado}}}$

Usando o resultado comumente usado, mostrado por Hausman, que a covariância de um estimador eficiente com sua diferença de um estimador ineficiente é zero.

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (q) = \ operatorname {Var} (b_ {0}) - \ operatorname {Var} (b_ {1})}$

O teste qui-quadrado é baseado no critério de Wald

${\ displaystyle H = \ chi ^ {2} [K-1] = (b_ {1} -b_ {0}) '{\ big (} \ operatorname {Var} (b_ {0}) - \ operatorname {Var } (b_ {1}) {\ big)} ^ {\ dagger} (b_ {1} -b_ {0}),}$

onde ^† denota o pseudoinverso Moore-Penrose

Dados do painel

O teste de Hausman pode ser usado para diferenciar entre o modelo de efeitos fixos e o modelo de efeitos aleatórios na análise de painel . Nesse caso, os efeitos aleatórios (RE) são preferidos na hipótese nula devido à maior eficiência, enquanto na alternativa os efeitos fixos (FE) são pelo menos tão consistentes e, portanto, preferidos.

	H 0 é verdade	H 1 é verdade
b 1 (estimador RE)	Eficiente consistente	Inconsistente
b 0 (estimador FE)	Ineficiente consistente	Consistente

Veja também

• Validação do modelo de regressão
• Especificação do modelo estatístico

Referências

Leitura adicional

• Baltagi, Badi H. (1999). Econometrics (segunda edição). Berlim: Springer. pp. 290-294. ISBN   3-540-63617-X .
• Bierens, Herman J. (1994). Tópicos em Econometria Avançada . Nova York: Cambridge University Press. pp. 89–109. ISBN   0-521-41900-X .
• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimation and Inference in Econometrics . Nova York: Oxford University Press. pp. 237–242, 389–395. ISBN   0-19-506011-3 .
• Florens, Jean-Pierre; Marimoutou, Velayoudom; Peguin-Feissolle, Anne (2007). Modelagem e inferência econométrica . Cambridge University Press. pp. 78–82. ISBN   978-0-521-70006-1 .
• Ruud, Paul A. (2000). Uma introdução à teoria econométrica clássica . Nova York: Oxford University Press. pp.  578 –585. ISBN   0-19-511164-8 .