Teorema de Hurwitz (teoria dos números) - Hurwitz's theorem (number theory)

Na teoria dos números , o teorema de Hurwitz , em homenagem a Adolf Hurwitz , fornece um limite em uma aproximação de Diofantina . O teorema afirma que para cada número irracional ξ há infinitos inteiros relativamente primos m , n tais que

${\ displaystyle \ left | \ xi - {\ frac {m} {n}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, n ^ {2}}}.}$

A condição de que ξ é irracional não pode ser omitida. Além disso, a constante é a melhor possível; se substituirmos por qualquer número e deixarmos (a proporção áurea ), então existem apenas finitamente muitos inteiros relativamente primos m , n tais que a fórmula acima é válida. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle A> {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ xi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$

O teorema é equivalente à afirmação de que a constante de Markov de cada número é maior que . ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$

Referências

• Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (Sobre a representação aproximada de números irracionais por frações racionais)". Mathematische Annalen (em alemão). 39 (2): 279–284. doi : 10.1007 / BF01206656 . JFM   23.0222.02 . (nota: uma versão em PDF do artigo está disponível no link fornecido para o volume 39 da revista, fornecido por Göttinger Digitalisierungszentrum )
• GH Hardy , Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, Andrew Wiles (2008). "Teorema 193". Uma introdução à Teoria dos Números (6ª ed.). Publicações científicas de Oxford. p. 209. ISBN   0-19-921986-9 . CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )
• LeVeque, William Judson (1956). "Tópicos em teoria dos números". Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. MR   0080682 . Citar diário requer |journal= ( ajuda )
• Ivan Niven (2013). Aproximações diofantinas . Courier Corporation. ISBN   0486462676 .