Aproximação diofantina - Diophantine approximation

Melhores aproximações racionais para

π

(círculo verde), e (losango azul), ϕ (oblongo rosa), (√3) / 2 (hexágono cinza), 1 / √2 (octógono vermelho) e 1 / √3 (triângulo laranja) calculados a partir de suas expansões de fração contínuas, plotados como inclinações y / x com erros de seus valores reais (traços pretos)

Na teoria dos números , o estudo da aproximação diofantina lida com a aproximação de números reais por números racionais . Tem o nome de Diofanto de Alexandria .

O primeiro problema era saber quão bem um número real pode ser aproximado por números racionais. Para este problema, um número racional a / b é uma "boa" aproximação de um número real α se o valor absoluto da diferença entre a / b e α não puder diminuir se a / b for substituído por outro número racional com um menor denominador. Este problema foi resolvido durante o século 18 por meio de frações contínuas .

Conhecendo as "melhores" aproximações de um determinado número, o principal problema do campo é encontrar os limites superior e inferior agudos da diferença acima, expressa como uma função do denominador . Parece que esses limites dependem da natureza dos números reais a serem aproximados: o limite inferior para a aproximação de um número racional por outro número racional é maior do que o limite inferior para números algébricos , que por sua vez é maior do que o limite inferior para todos os números reais. Assim, um número real que pode ser melhor aproximado do que o limite para números algébricos é certamente um número transcendental .

Esse conhecimento permitiu que Liouville , em 1844, produzisse o primeiro número transcendental explícito. Posteriormente, as provas de que $π$ e e são transcendentais foram obtidas por um método semelhante.

As aproximações diofantinas e a teoria dos números transcendentais são áreas muito próximas que compartilham muitos teoremas e métodos. As aproximações diofantinas também têm aplicações importantes no estudo das equações diofantinas .

Melhores aproximações diofantinas de um número real

Dado um número real $α$ , existem duas maneiras de definir a melhor aproximação diofantina de $α$ . Para a primeira definição, o número racional $p / q$ é uma melhor aproximação Diofantina de $α$ se

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <\ left | \ alpha - {\ frac {p '} {q'}} \ right |,}

para todo número racional $p ' / q'$ diferente de $p / q$ tal que $0 < q' \leq q$ .

Para a segunda definição, a desigualdade acima é substituída por

{\ displaystyle \ left | q \ alpha -p \ right | <\ left | q ^ {\ prime} \ alpha -p ^ {\ prime} \ right |.}

A melhor aproximação para a segunda definição também é uma melhor aproximação para a primeira, mas o inverso é falso.

A teoria das frações contínuas nos permite calcular as melhores aproximações de um número real: para a segunda definição, eles são os convergentes de sua expressão como uma fração contínua regular. Para a primeira definição, deve-se considerar também os semiconvergentes .

Por exemplo, a constante e = 2,718281828459045235 ... tem a representação da fração contínua (regular)

{\ displaystyle [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots \;].}

Suas melhores aproximações para a segunda definição são

{\ displaystyle 3, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, {\ tfrac {87} {32}}, \ ldots \ ,,}

enquanto, para a primeira definição, eles são

{\ displaystyle 3, {\ tfrac {5} {2}}, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, { \ tfrac {49} {18}}, {\ tfrac {68} {25}}, {\ tfrac {87} {32}}, {\ tfrac {106} {39}}, \ ldots \ ,.}

Medida da precisão das aproximações

A medida óbvia da precisão de uma aproximação diofantina de um número real $α$ por um número racional $p / q$ é. No entanto, essa quantidade pode sempre ser arbitrariamente pequena aumentando os valores absolutos de $p$ e $q$ ; assim, a precisão da aproximação é geralmente estimada comparando essa quantidade com alguma função $φ$ do denominador $q$ , normalmente uma potência negativa dele. ${\ textstyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |.}$

Para tal comparação, pode-se desejar limites superiores ou inferiores de precisão. Um limite inferior é tipicamente descrito por um teorema como "para cada elemento $α$ de algum subconjunto dos números reais e cada número racional $p / q$ , temos ". Em alguns casos, "todo número racional" pode ser substituído por "todos os números racionais, exceto um número finito deles", o que equivale a multiplicar $φ$ por alguma constante dependendo de $α$ . ${\ textstyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |> \ phi (q)}$

Para limites superiores, deve-se levar em consideração que nem todas as "melhores" aproximações Diofantinas fornecidas pelos convergentes podem ter a precisão desejada. Portanto, os teoremas tomam a forma "para cada elemento $α$ de algum subconjunto dos números reais, existem infinitos números racionais $p / q$ tais que ". ${\ textstyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <\ phi (q)}$

Números mal aproximados

Um número mal aproximado é um x para o qual existe uma constante positiva c tal que para todos os p / q racionais temos

{\ displaystyle \ left | {x - {\ frac {p} {q}}} \ right |> {\ frac {c} {q ^ {2}}} \.}

Os números mal aproximados são precisamente aqueles com quocientes parciais limitados .

De forma equivalente, um número é mal aproximado se e somente se sua constante de Markov for limitada.

Limites inferiores para aproximações diofantinas

Aproximação de um racional por outros racionais

Um número racional pode ser aproximado de maneira óbvia e perfeita para cada inteiro positivo i . ${\ textstyle \ alpha = {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}} = {\ frac {i \, a} {i \, b}}}$

Se tivermos ${\ textstyle {\ frac {p} {q}} \ not = \ alpha = {\ frac {a} {b}} \ ,,}$

{\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} - {\ frac {p} {q}} \ right | = \ left | {\ frac {aq-bp} {bq}} \ right | \ geq {\ frac {1} {bq}},}

porque é um número inteiro positivo e, portanto, não é menor que 1. Portanto, a precisão da aproximação é ruim em relação aos números irracionais (consulte as próximas seções). ${\ displaystyle | aq-bp |}$

Pode-se observar que a prova anterior usa uma variante do princípio do buraco de pombo : um número inteiro não negativo que não é 0 não é menor que 1. Esta observação aparentemente trivial é usada em quase todas as provas de limites inferiores para aproximações diofantinas, mesmo os mais sofisticados.

Em resumo, um número racional é perfeitamente aproximado por si mesmo, mas é mal aproximado por qualquer outro número racional.

Aproximação de números algébricos, resultado de Liouville

Na década de 1840, Joseph Liouville obteve o primeiro limite inferior para a aproximação de números algébricos : Se x é um número algébrico irracional de grau n sobre os números racionais, então existe uma constante c ( x )> 0 tal que

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {c (x)} {q ^ {n}}}}

vale para todos os inteiros p e q onde q > 0 .

Este resultado permitiu-lhe produzir o primeiro exemplo comprovado de um número transcendental, a constante de Liouville

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- j!} = 0,1100010000000000000000000001000 \ ldots \ ,,}

o que não satisfaz o teorema de Liouville, qualquer que seja o grau n escolhido.

Essa ligação entre as aproximações diofantinas e a teoria dos números transcendentais continua até os dias atuais. Muitas das técnicas de prova são compartilhadas entre as duas áreas.

Aproximação de números algébricos, teorema de Thue-Siegel-Roth

Ao longo de mais de um século, houve muitos esforços para melhorar o teorema de Liouville: cada melhoria do limite nos permite provar que mais números são transcendentais. As principais melhorias são devidas a Axel Thue ( 1909 ), Siegel ( 1921 ), Freeman Dyson ( 1947 ) e Klaus Roth ( 1955 ), levando finalmente ao teorema de Thue-Siegel-Roth: Se $x$ é um número algébrico irracional e $ε$ um (pequeno) número real positivo, então existe uma constante positiva $c (x, ε)$ tal que

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {c (x, \ varepsilon)} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}

vale para cada inteiro $p$ e $q$ tal que $q > 0$ .

Em certo sentido, esse resultado é ótimo, pois o teorema seria falso com ε = 0. Esta é uma consequência imediata dos limites superiores descritos abaixo.

Aproximações simultâneas de números algébricos

Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt generalizou isso para o caso de aproximações simultâneas, provando que: Se $x 1, ..., x n$ são números algébricos tais que $1, x 1, ..., x n$ são linearmente independentes do racional números e $ε$ é qualquer número real positivo dado, então há apenas finitamente muitos $n$ -tuplos racionais $(p 1 / q, ..., p n / q)$ tais que

{\ displaystyle \ left | x_ {i} - {\ frac {p_ {i}} {q}} \ right | <q ^ {- (1 + 1 / n + \ varepsilon)}, \ quad i = 1, \ ldots, n.}

Novamente, este resultado é ótimo no sentido de que não se pode remover $ε$ do expoente.

Limites efetivos

Todos os limites inferiores anteriores não são eficazes , no sentido de que as provas não fornecem nenhuma maneira de calcular a constante implícita nas declarações. Isso significa que não se pode usar os resultados ou suas provas para obter limites no tamanho das soluções das equações Diofantinas relacionadas. No entanto, essas técnicas e resultados podem frequentemente ser usados para limitar o número de soluções de tais equações.

No entanto, um refinamento do teorema de Baker por Feldman fornece um limite efetivo: se x é um número algébrico de grau n sobre os números racionais, então existem constantes efetivamente computáveis c ( x )> 0 e 0 < d ( x ) < n tais naquela

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {c (x)} {| q | ^ {d (x)}}}}

vale para todos os inteiros racionais.

No entanto, como para toda versão efetiva do teorema de Baker, as constantes d e 1 / c são tão grandes que este resultado efetivo não pode ser usado na prática.

Limites superiores para aproximações diofantinas

Limite superior geral

O primeiro resultado importante sobre os limites superiores para as aproximações Diofantinas é o teorema da aproximação de Dirichlet , que implica que, para cada número irracional $α$ , existem infinitas frações tais que ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2}}} \,}

Isso implica imediatamente que não se pode suprimir o $ε$ na declaração do teorema de Thue-Siegel-Roth.

Ao longo dos anos, esse teorema foi sendo aprimorado até o seguinte teorema de Émile Borel (1903). Para cada número irracional $α$ , existem infinitas frações tais que ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} q ^ {2}}} \ ,.}

Portanto, é um limite superior para as aproximações diofantinas de qualquer número irracional. A constante neste resultado não pode ser melhorada sem excluir alguns números irracionais (veja abaixo). ${\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, q ^ {2}}}}$

Números reais equivalentes

Definição : dois números reais são chamados de equivalentes se houver inteiros com tais que: ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle a, b, c, d \;}$ ${\ displaystyle ad-bc = \ pm 1 \;}$

{\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}} \,}

Assim, a equivalência é definida por uma transformação de Möbius inteira nos números reais, ou por um membro do grupo Modular , o conjunto de matrizes 2 × 2 invertíveis sobre os números inteiros. Cada número racional é equivalente a 0; assim, os números racionais são uma classe de equivalência para esta relação. ${\ displaystyle {\ text {SL}} _ {2} ^ {\ pm} (\ mathbb {Z})}$

A equivalência pode ser lida na representação da fração contínua regular, conforme mostrado pelo seguinte teorema de Serret :

Teorema : Dois números irracionais x e y são equivalentes se e somente houver dois inteiros positivos h e k tais que as representações de fração contínua regular de x e y

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} x & = [u_ {0}; u_ {1}, u_ {2}, \ ldots] \ ,, \\ y & = [v_ {0}; v_ {1}, v_ { 2}, \ ldots] \ ,, \ end {alinhado}}}

verificar

{\ displaystyle u_ {h + i} = v_ {k + i}}

para cada inteiro não negativo i .

Assim, exceto para uma sequência inicial finita, os números equivalentes têm a mesma representação contínua da fração.

Números equivalentes são aproximados no mesmo grau, no sentido de que eles têm a mesma constante de Markov .

Espectro de Lagrange

Como dito acima, a constante no teorema de Borel pode não melhorar, como mostrado por Adolf Hurwitz em 1891. Seja a razão áurea . Então, para qualquer constante real c com, há apenas um número finito de números racionais $p$ $/$ $q$ tais que ${\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle c> {\ sqrt {5}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ phi - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {c \, q ^ {2}}}.}

Portanto, uma melhoria só pode ser alcançada, se os números que são equivalentes a forem excluídos. Mais precisamente: para cada número irracional , que não é equivalente a , existem infinitas muitas frações, tais que ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {8}} q ^ {2}}}.}

Por exclusões sucessivas - em seguida, deve-se excluir os números equivalentes a - de mais e mais classes de equivalência, o limite inferior pode ser ainda mais ampliado. Os valores que podem ser gerados desta forma são números de Lagrange , que fazem parte do espectro de Lagrange . Eles convergem para o número 3 e estão relacionados aos números de Markov . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Teorema de Khinchin sobre aproximação métrica Diofantina e extensões

Let Ser uma função de valor real positivo em inteiros positivos (ou seja, uma seqüência positiva) tal que não é crescente. Um número real x (não necessariamente algébrico) é chamado - aproximado se existirem infinitos números racionais p / q tais que ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle q \ psi (q)}$ ${\ displaystyle \ psi}$

{\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {\ psi (q)} {| q |}}.}

Aleksandr Khinchin provou em 1926 que se a série diverge, então quase todo número real (no sentido da medida de Lebesgue ) é aproximado, e se a série converge, então quase todo número real não é aproximado. O círculo de idéias em torno deste teorema e seus parentes é conhecido como aproximação métrica diofantina ou teoria métrica da aproximação diofantina (não deve ser confundida com "métricas" de altura na geometria diofantina ) ou teoria dos números métricos . ${\ textstyle \ sum _ {q} \ psi (q)}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

Duffin & Schaeffer (1941) provaram uma generalização do resultado de Khinchin e colocaram o que hoje é conhecido como a conjectura Duffin-Schaeffer no análogo da dicotomia de Khinchin para sequências gerais, não necessariamente decrescentes . Beresnevich & Velani (2006) provaram que um análogo de medida de Hausdorff da conjectura Duffin-Schaeffer é equivalente à conjectura Duffin-Schaeffer original, que é a priori mais fraca. Em julho de 2019, Dimitris Koukoulopoulos e James Maynard anunciaram uma prova da conjectura. ${\ displaystyle \ psi}$

Dimensão de Hausdorff de conjuntos excepcionais

Um exemplo importante de uma função à qual o teorema de Khinchin pode ser aplicado é a função , onde c > 1 é um número real. Para esta função, a série relevante converge e então o teorema de Khinchin nos diz que quase todos os pontos não são aproximados. Assim, o conjunto de números que são aproximados forma um subconjunto da linha real da medida zero de Lebesgue. O teorema de Jarník-Besicovitch, devido a V. Jarník e AS Besicovitch , afirma que a dimensão de Hausdorff desse conjunto é igual a . Em particular, o conjunto de números que são aproximados para alguns (conhecido como o conjunto de números muito bem aproximados ) tem dimensão de Hausdorff um, enquanto o conjunto de números que são aproximados para todos (conhecido como o conjunto de números de Liouville ) tem Dimensão zero de Hausdorff. ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c} (q) = q ^ {- c}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle 1 / c}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle c> 1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {c}}$ ${\ displaystyle c> 1}$

Outro exemplo importante é a função , onde é um número real. Para essa função, a série relevante diverge e, portanto, o teorema de Khinchin nos diz que quase todos os números são aproximados. Isso é o mesmo que dizer que cada um desses números é bem aproximado , onde um número é chamado de bem aproximado se não for mal aproximado. Portanto, um análogo apropriado do teorema de Jarník-Besicovitch deveria se referir à dimensão de Hausdorff do conjunto de números mal aproximados. E, de fato, V. Jarník provou que a dimensão de Hausdorff desse conjunto é igual a um. Este resultado foi melhorado por WM Schmidt , que mostrou que o conjunto de números mal aproximados é incompressível , o que significa que se é uma sequência de mapas bi-Lipschitz , então o conjunto de números x para os quais são todos mal aproximados tem dimensão de Hausdorff um. Schmidt também generalizou o teorema de Jarník para dimensões superiores, uma conquista significativa porque o argumento de Jarník é essencialmente unidimensional, dependendo do aparato de frações contínuas. ${\ displaystyle \ psi _ {\ epsilon} (q) = \ epsilon q ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ ldots}$

Distribuição uniforme

Outro tópico que teve um desenvolvimento completo é a teoria do mod 1 de distribuição uniforme . Pegue uma seqüência a ₁ , a ₂ , ... de números reais e considere suas partes fracionárias . Ou seja, mais abstratamente, olhe para a sequência em R / Z , que é um círculo. Para qualquer intervalo I no círculo olharmos para a proporção de elementos da seqüência que deitar nela, até algum inteiro N , e compará-lo com a proporção da circunferência ocupada por eu . Distribuição uniforme significa que no limite, à medida que N cresce, a proporção de acertos no intervalo tende para o valor 'esperado'. Hermann Weyl provou um resultado básico mostrando que isso era equivalente a limites para somas exponenciais formadas a partir da sequência. Isso mostrou que os resultados da aproximação diofantina estavam intimamente relacionados ao problema geral de cancelamento em somas exponenciais, que ocorre em toda a teoria analítica dos números no limite dos termos de erro.

Relacionado à distribuição uniforme está o tópico das irregularidades da distribuição , que é de natureza combinatória .

Problemas não resolvidos

Ainda existem problemas não resolvidos simplesmente declarados restantes na aproximação de Diofantina, por exemplo, a conjectura de Littlewood e a conjectura do corredor solitário . Também não se sabe se existem números algébricos com coeficientes ilimitados em sua expansão contínua de fração.

Desenvolvimentos recentes

Em seu discurso plenário no Congresso Internacional de Matemática em Kyoto (1990), Grigory Margulis delineou um amplo programa enraizado na teoria ergódica que permite provar resultados teóricos dos números usando as propriedades dinâmicas e ergódicas de ações de subgrupos de grupos de Lie semisimples . O trabalho de D. Kleinbock, G. Margulis e seus colaboradores demonstrou o poder desta nova abordagem para problemas clássicos na aproximação Diofantina. Entre seus sucessos notáveis estão a prova da conjectura Oppenheim de décadas atrás por Margulis, com extensões posteriores por Dani e Margulis e Eskin – Margulis – Mozes, e a prova das conjecturas de Baker e Sprindzhuk nas aproximações diofantinas em variedades de Kleinbock e Margulis. Várias generalizações dos resultados acima de Aleksandr Khinchin na aproximação métrica de Diofantina também foram obtidas dentro desta estrutura.

Veja também

Notas

Referências

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links externos

Aproximação Diofantina: levantamento histórico . Do curso de Introdução aos Métodos Diofantinos de Michel Waldschmidt .
"Diophantine aproximations" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

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