Ortogonalidade hiperbólica - Hyperbolic orthogonality

A ortogonalidade euclidiana é preservada pela rotação no diagrama esquerdo; ortogonalidade hiperbólica em relação à hipérbole (B) é preservada pela rotação hiperbólica no diagrama direito

Em geometria , a relação de ortogonalidade hiperbólica entre duas linhas separadas pelas assíntotas de uma hipérbole é um conceito usado na relatividade especial para definir eventos simultâneos. Dois eventos serão simultâneos quando estiverem em uma linha hiperbolicamente ortogonal a uma linha de tempo específica. Essa dependência de uma certa linha do tempo é determinada pela velocidade e é a base para a relatividade da simultaneidade .

Geometria

Duas linhas são ortogonais hiperbólicas quando são reflexos uma da outra sobre a assíntota de uma determinada hipérbole . Duas hipérboles particulares são freqüentemente usadas no avião:

(A) xy = 1 com y = 0 como assíntota.

Quando refletida no eixo x, uma linha y = mx se torna y = - mx .

Nesse caso, as linhas são ortogonais hiperbólicas se suas inclinações forem inversas aditivas .

(B) x ² - y ² = 1 com y = x como assíntota.

Para as linhas y = mx com −1 < m <1, quando x = 1 / m , então y = 1.

O ponto (1 / m , 1) na linha é refletido em y = x para (1, 1 / m ).

Portanto, a linha refletida tem inclinação de 1 / me as inclinações das linhas ortogonais hiperbólicas são recíprocas entre si.

A relação de ortogonalidade hiperbólica realmente se aplica a classes de retas paralelas no plano, onde qualquer linha particular pode representar a classe. Assim, para um dado hipérbole e assimptota A , um par de linhas ( um , b ) são hiperbólica ortogonal quando não é um par ( c , d ) de tal modo que , e c é a reflexão de d entre um . ${\ displaystyle a \ rVert c, \ b \ rVert d}$

Semelhante à perpendularidade de um raio de círculo à tangente , um raio a uma hipérbole é ortogonal hiperbólica a uma tangente à hipérbole.

Uma forma bilinear é usada para descrever a ortogonalidade na geometria analítica, com dois elementos ortogonais quando sua forma bilinear desaparece. No plano dos números complexos , a forma bilinear é , enquanto no plano dos números hiperbólicos a forma bilinear é${\ displaystyle z_ {1} = u + iv, \ quad z_ {2} = x + iy}$${\ displaystyle xu + yv}$ ${\ displaystyle w_ {1} = u + jv, \ quad w_ {2} = x + jy,}$${\ displaystyle xu-yv.}$

Os vetores z ₁ e z ₂ no plano dos números complexos ew ₁ e w ₂ no plano dos números hiperbólicos são ditos respectivamente ortogonais euclidianos ou ortogonais hiperbólicos se seus respectivos produtos internos [formas bilineares] forem zero.

A forma bilinear pode ser calculada como a parte real do produto complexo de um número com o conjugado do outro. Então

${\ displaystyle z_ {1} z_ {2} ^ {*} + z_ {1} ^ {*} z_ {2} = 0}$ envolve perpendicularidade no plano complexo, enquanto

${\ displaystyle w_ {1} w_ {2} ^ {*} + w_ {1} ^ {*} w_ {2} = 0}$implica que os w são ortogonais hiperbólicos.

A noção de ortogonalidade hiperbólica surgiu na geometria analítica em consideração aos diâmetros conjugados de elipses e hipérboles. se g e g 'representam as inclinações dos diâmetros conjugadas, em seguida, no caso de uma elipse e no caso de uma hipérbole. Quando a = b a elipse é um círculo e os diâmetros conjugados são perpendiculares, enquanto a hipérbole é retangular e os diâmetros conjugados são hiperbólico-ortogonais. ${\ displaystyle gg '= - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$${\ displaystyle gg '= {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$

Na terminologia da geometria projetiva , a operação de tomar a linha ortogonal hiperbólica é uma involução . Suponha que a inclinação de uma linha vertical seja denotada por ∞ de modo que todas as linhas tenham uma inclinação na linha real projetivamente estendida . Então, qualquer que seja a hipérbole (A) ou (B), a operação é um exemplo de uma involução hiperbólica em que a assíntota é invariante. As linhas hiperbolicamente ortogonais encontram-se em diferentes setores do plano, determinados pelas assíntotas da hipérbole, portanto a relação de ortogonalidade hiperbólica é uma relação heterogênea em conjuntos de linhas no plano.

Simultaneidade

Desde a fundação de Hermann Minkowski para o estudo do espaço-tempo em 1908, o conceito de pontos em um plano do espaço-tempo sendo hiperbólico-ortogonal a uma linha do tempo (tangente a uma linha mundial ) foi usado para definir a simultaneidade de eventos em relação à linha do tempo. No desenvolvimento de Minkowski, a hipérbole do tipo (B) acima está em uso. Dois vetores ( x ₁ , y ₁ , z ₁ , t ₁ ) e ( x ₂ , y ₂ , z ₂ , t ₂ ) são normais (significando ortogonal hiperbólico) quando

${\ displaystyle c ^ {2} \ t_ {1} \ t_ {2} -x_ {1} \ x_ {2} -y_ {1} \ y_ {2} -z_ {1} \ z_ {2} = 0 .}$

Quando c = 1 ey s e z s são zero, x ₁ ≠ 0, t ₂ ≠ 0, então . ${\ displaystyle {\ frac {c \ t_ {1}} {x_ {1}}} = {\ frac {x_ {2}} {c \ t_ {2}}}}$

Dada uma hipérbole com assíntota A , seu reflexo em A produz a hipérbole conjugada . Qualquer diâmetro da hipérbole original é refletido em um diâmetro conjugado . As direções indicadas por diâmetros conjugados são tomadas para eixos de espaço e tempo na relatividade. Como ET Whittaker escreveu em 1910, "[a] hipérbole é inalterada quando qualquer par de diâmetros conjugados é tomado como novo eixo, e uma nova unidade de comprimento é considerada proporcional ao comprimento de qualquer um desses diâmetros." Com base neste princípio da relatividade , ele escreveu a transformação de Lorentz na forma moderna usando rapidez .

Edwin Bidwell Wilson e Gilbert N. Lewis desenvolveram o conceito dentro da geometria sintética em 1912. Eles observam "em nosso plano nenhum par de linhas perpendiculares [hiperbólicas ortogonais] é mais adequado para servir como eixos coordenados do que qualquer outro par"

Referências

• GD Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics , páginas 62,3, Harvard University Press .
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space , Birkhäuser Verlag , Basel. Consulte a página 38, Pseudo-ortogonalidade.
• Robert Goldblatt (1987) Orthogonality and Spacetime Geometry , capítulo 1: A Trip on Einstein's Train, Universitext Springer-Verlag ISBN  0-387-96519-X MR 0888161
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitação . WH Freeman & Co. p. 58 . ISBN 0-7167-0344-0.