Holomorfia de dimensão infinita - Infinite-dimensional holomorphy

Em matemática , a holomorfia de dimensão infinita é um ramo da análise funcional . Preocupa-se com generalizações do conceito de função holomórfica para funções definidas e assumindo valores em espaços de Banach complexos (ou espaços de Fréchet em geral), tipicamente de dimensão infinita. É um aspecto da análise funcional não linear .

Funções holomórficas com valor vetorial definidas no plano complexo

Um primeiro passo para estender a teoria das funções holomórficas além de uma dimensão complexa é considerar as chamadas funções holomórficas de valor vetorial , que ainda são definidas no plano complexo C , mas assumem valores em um espaço de Banach. Tais funções são importantes, por exemplo, na construção do cálculo funcional holomórfico para operadores lineares limitados .

Definição. Uma função f  : U → X , onde U ⊂ C é um subconjunto aberto e X é um espaço de Banach complexo é chamada de holomórfica se for complexo-diferenciável; ou seja, para cada ponto z ∈ U existe o seguinte limite :

${\ displaystyle f '(z) = \ lim _ {\ zeta \ to z} {\ frac {f (\ zeta) -f (z)} {\ zeta -z}}.}$

Pode-se definir a integral de linha de uma função holomórfica de valor vetorial f  : U → X ao longo de uma curva retificável γ: [ a , b ] → U da mesma maneira que para funções holomórficas de valor complexo, como o limite das somas do Formato

${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} f (\ gamma (t_ {k})) (\ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1}))}$

onde a = t ₀ < t ₁ <... < t _n = b é uma subdivisão do intervalo [ a , b ], conforme os comprimentos dos intervalos de subdivisão se aproximam de zero.

É uma verificação rápida se o teorema da integral de Cauchy também é válido para funções holomórficas com valor vetorial. De fato, se f  : U → X é tal função e T  : X → C um funcional linear limitado, pode-se mostrar que

${\ displaystyle T \ left (\ int _ {\ gamma} f (z) \, dz \ right) = \ int _ {\ gamma} (T \ circ f) (z) \, dz.}$

Além disso, a composição T o f  : U → C é uma função holomórfica de valor complexo. Portanto, para γ uma curva fechada simples cujo interior está contido em U , a integral à direita é zero, pelo teorema da integral de Cauchy clássico. Então, uma vez que T é arbitrário, segue do teorema de Hahn-Banach que

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = 0}$

que prova o teorema da integral de Cauchy no caso de valor vetorial.

Usando esta ferramenta poderosa, pode-se então provar a fórmula integral de Cauchy e, assim como no caso clássico, que qualquer função holomórfica com valor vetorial é analítica .

Um critério útil para uma função f  : L → X ser holomórfica é que t o f  : L → C é uma função de valor complexo para cada holomórfica funcional linear contínuo T  : X → C . Esse f é fracamente holomórfico. Pode-se demonstrar que uma função definida em um subconjunto aberto do plano complexo com valores em um espaço de Fréchet é holomórfica se, e somente se, for fracamente holomórfica.

Funções holomórficas entre espaços de Banach

Mais geralmente, tendo em conta dois complexos Banach X e Y e um conjunto aberto L ⊂ X , f  : L → Y é chamado holomórfica se a derivada de fréchet de f existir em todos os pontos em L . Pode-se mostrar que, nesse contexto mais geral, ainda é verdade que uma função holomórfica é analítica, ou seja, pode ser expandida localmente em uma série de potências. Não é mais verdade, entretanto, que se uma função é definida e holomórfica em uma bola, sua série de potências em torno do centro da bola é convergente em toda a bola; por exemplo, existem funções holomórficas definidas em todo o espaço que têm um raio de convergência finito.

Funções holomórficas entre espaços vetoriais topológicos

Em geral, dada duas complexos espaços topológica vector X e Y e um conjunto aberto L ⊂ X , há várias maneiras de definir função analítica de uma função f  : L → Y . Ao contrário da configuração dimensional finita, quando X e Y são dimensionais infinitas, as propriedades das funções holomórficas podem depender de qual definição é escolhida. Para restringir o número de possibilidades que devemos considerar, discutiremos a holomorfia apenas no caso em que X e Y forem localmente convexos .

Esta seção apresenta uma lista de definições, partindo da noção mais fraca para a noção mais forte. Ele conclui com uma discussão de alguns teoremas relacionando essas definições quando os espaços X e Y satisfazem algumas restrições adicionais.

Gateaux holomorphy

A holomorfia Gateaux é a generalização direta da holomorfia fraca para o cenário dimensional totalmente infinito.

Sejam X e Y espaços vetoriais topológicos localmente convexos e U ⊂ X um conjunto aberto. Uma função f  : U → Y é chamada Gâteaux holomórfica se, para cada a ∈ U e b ∈ X , e cada funcional linear contínuo φ: Y → C , a função

${\ displaystyle f _ {\ varphi} (z) = \ varphi \ circ f (a + zb)}$

é uma função holomórfica de z em uma vizinhança da origem. A coleção de funções holomórficas de Gâteaux é denotada por H _G ( U , Y ).

Na análise das funções holomorfas Gateaux, quaisquer propriedades de funções holomorfas finitos-dimensional segurar subespaços finitos-dimensional de X . No entanto, como de costume na análise funcional, essas propriedades podem não se juntar de maneira uniforme para produzir quaisquer propriedades correspondentes dessas funções em conjuntos totalmente abertos.

Exemplos

• Se f ∈ U , então f tem derivadas de Gateaux de todas as ordens, pois para x ∈ U e h ₁ , ..., h _k ∈ X , a derivada de Gateaux de k -ésima ordem D ^k f ( x ) { h ₁ ,. .., h _k } envolve apenas derivadas direcionais iteradas no intervalo de h _i , que é um espaço de dimensão finita. Neste caso, o iterado derivados Gateaux são multilinear no h _i , mas, em geral, deixam de ser contínuo quando considerado ao longo de todo o espaço X .
• Além disso, uma versão do teorema de Taylor é válida:

${\ displaystyle f (x + y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} {\ widehat {D}} ^ {n} f (x) ( y)}$

Aqui, é o polinômio homogêneo de grau n em y associado ao operador multilinear D ⁿ f ( x ). A convergência desta série não é uniforme. Mais precisamente, se V ⊂ X é um fixo subespaço de dimensão finita, em seguida, os converge série uniformemente sobre suficientemente pequenas bairros compactos de 0 ∈ Y . No entanto, se o subespaço V puder variar, então a convergência falhará: em geral, ela deixará de ser uniforme em relação a essa variação. Observe que isso está em nítido contraste com o caso dimensional finito. ${\ displaystyle {\ widehat {D}} ^ {n} f (x) (y)}$

• O teorema de Hartog é válido para as funções holomórficas de Gateaux no seguinte sentido:

Se f  : ( U ⊂ X ₁ ) × ( V ⊂ X ₂ ) → Y é uma função que é Gateaux holomórfica separadamente em cada um de seus argumentos, então f é Gateaux holomórfico no espaço do produto.

Hipoanaliticidade

Uma função F  : ( L ⊂ X ) → Y é hypoanalytic se f ∈ H _L ( L , Y ) e, além disso f é contínua em relativamente compactas subconjuntos de L .

Holomorfia

Uma função f ∈ H _G (U, Y ) é holomórfica se, para cada x ∈ U , a expansão da série de Taylor

${\ displaystyle f (x + y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} {\ widehat {D}} ^ {n} f (x) ( y)}$

(que já está garantida a existir por função analítica Gateaux) converge e é contínua para y na vizinhança de um 0 ∈ X . Assim, a holomorfia combina a noção de holomorfia fraca com a convergência da expansão da série de potências. A coleção de funções holomórficas é denotada por H ( U , Y ).

Holomorfia delimitada localmente

Uma função F  : ( L ⊂ X ) → Y é dito para ser localmente delimitada se cada ponto de L tem uma vizinhança cuja imagem sob f é delimitada em Y . Se, além disso, f é Gateaux holomórfico em U , então f é localmente limitado holomórfico . Nesse caso, escrevemos f ∈ H _LB ( U , Y ).

Referências

• Richard V. Kadison , John R. Ringrose, Fundamentos da Teoria da Álgebras do Operador , vol. 1: Teoria elementar. American Mathematical Society, 1997. ISBN   0-8218-0819-2 . (Veja a Seção 3.3.)
• Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces , Marcel Dekker, 1985. ISBN   0-8247-7231-8 .
• ^ Lawrence A. Harris, Teoremas de ponto fixo para funções holomórficas dimensionais infinitas (sem data).