Sistema de partículas em interação - Interacting particle system

Na teoria da probabilidade , um sistema de partículas interagentes ( IPS ) é um processo estocástico em algum espaço de configuração dado por um espaço de site, um gráfico infinito contável e um espaço de estado local, um espaço métrico compacto . Mais precisamente, IPS são processos de salto de Markov em tempo contínuo que descrevem o comportamento coletivo de componentes que interagem estocasticamente. IPS é o análogo em tempo contínuo de autômatos celulares estocásticos . ${\ displaystyle (X (t)) _ {t \ in \ mathbb {R} ^ {+}}}$${\ displaystyle \ Omega = S ^ {G}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle S}$

Entre os principais exemplos estão o modelo do eleitor , o processo de contato , o processo de exclusão simples assimétrica (ASEP), a dinâmica de Glauber e em particular o modelo estocástico de Ising .

IPS são geralmente definidos através de seu gerador de Markov dando origem a um processo de Markov único usando semigrupos de Markov e o teorema de Hille-Yosida . O gerador novamente é dado por meio das chamadas taxas de transição, onde é um conjunto finito de sites e com para todos . As taxas descrevem tempos de espera exponenciais do processo para saltar da configuração para a configuração . De forma mais geral, as taxas de transição são fornecidas na forma de uma medida finita em . ${\ displaystyle c _ {\ Lambda} (\ eta, \ xi)> 0}$${\ displaystyle \ Lambda \ subset G}$${\ displaystyle \ eta, \ xi \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ eta _ {i} = \ xi _ {i}}$${\ displaystyle i \ notin \ Lambda}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle c _ {\ Lambda} (\ eta, d \ xi)}$${\ displaystyle S ^ {\ Lambda}}$

O gerador de um IPS tem a seguinte forma. Primeiro, o domínio de é um subconjunto do espaço de "observáveis", ou seja, o conjunto de funções contínuas de valor real no espaço de configuração . Então, para qualquer observável no domínio de , um tem ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle Lf (\ eta) = \ sum _ {\ Lambda} \ int _ {\ xi: \ xi _ {\ Lambda ^ {c}} = \ eta _ {\ Lambda ^ {c}}} c _ {\ Lambda} (\ eta, d \ xi) [f (\ xi) -f (\ eta)]}$ .

Por exemplo, para o estocástico modelo de Ising temos , , se para alguns e ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ displaystyle S = \ {- 1, + 1 \}}$${\ displaystyle c _ {\ Lambda} = 0}$${\ displaystyle \ Lambda \ neq \ {i \}}$${\ displaystyle i \ in G}$

${\ displaystyle c_ {i} (\ eta, \ eta ^ {i}) = \ exp [- \ beta \ sum _ {j: | ji | = 1} \ eta _ {i} \ eta _ {j}] }$

onde a configuração é igual a exceto que é invertida no local . é um novo parâmetro que modela a temperatura inversa. ${\ displaystyle \ eta ^ {i}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ beta}$

O modelo do eleitor

O modelo do eleitor (geralmente em tempo contínuo, mas também existem versões discretas) é um processo semelhante ao processo de contato . Neste processo, é considerado para representar a atitude de um eleitor sobre um determinado tópico. Os eleitores reconsideram suas opiniões às vezes distribuídas de acordo com variáveis ​​aleatórias exponenciais independentes (isso dá um processo de Poisson localmente - observe que, em geral, há um número infinito de eleitores, então nenhum processo de Poisson global pode ser usado). Em momentos de reconsideração, o eleitor escolhe um vizinho de maneira uniforme entre todos os vizinhos e segue a opinião desse vizinho. Pode-se generalizar o processo permitindo que a escolha de vizinhos seja algo diferente de uniforme. ${\ displaystyle \ eta (x)}$

Processo de tempo discreto

No modelo eleitor de tempo discreto em uma dimensão, representa o estado da partícula no tempo . Informalmente, cada indivíduo é organizado em uma linha e pode "ver" outros indivíduos que estão dentro de um raio ,. Se mais do que uma certa proporção dessas pessoas discordarem, então o indivíduo muda de atitude, caso contrário, mantém a mesma. Durrett e Steif (1993) e Steif (1994) mostram que para raios grandes existe um valor crítico tal que se a maioria dos indivíduos nunca muda, e no limite a maioria dos locais concorda. (Ambos os resultados presumem que a probabilidade de é a metade.) ${\ displaystyle \ xi _ {t} (x): \ mathbb {Z} \ to \ {0,1 \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta _ {c}}$${\ displaystyle \ theta> \ theta _ {c}}$${\ displaystyle \ theta \ in (1/2, \ theta _ {c})}$${\ displaystyle \ xi _ {0} (x) = 1}$

Este processo tem uma generalização natural para mais dimensões, alguns resultados para isso são discutidos em Durrett e Steif (1993).

Processo de tempo contínuo

O processo de tempo contínuo é semelhante, pois imagina que cada indivíduo tem uma crença em um momento e a muda com base nas atitudes de seus vizinhos. O processo é descrito informalmente por Liggett (1985, 226), "Periodicamente (ou seja, em tempos exponenciais independentes), um indivíduo reavalia sua visão de uma forma bastante simples: ele escolhe um 'amigo' aleatoriamente com certas probabilidades e adota sua posição . " Um modelo foi construído com essa interpretação por Holley e Liggett (1975).

Este processo é equivalente a um processo sugerido pela primeira vez por Clifford e Sudbury (1973), onde os animais estão em conflito por território e são iguais. Um local é selecionado para ser invadido por um vizinho em um determinado momento.

Referências

• Clifford, Peter; Aidan Sudbury (1973). "Um modelo para o conflito espacial". Biometrika . 60 (3): 581–588. doi : 10.1093 / biomet / 60.3.581 .
• Durrett, Richard ; Jeffrey E. Steif (1993). "Resultados de fixação para sistemas de eleitores por limite" . The Annals of Probability . 21 (1): 232–247. doi : 10.1214 / aop / 1176989403 .
• Holley, Richard A .; Thomas M. Liggett (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos de interação fraca e o modelo do eleitor" . The Annals of Probability . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214 / aop / 1176996306 .
• Steif, Jeffrey E. (1994). "O autômato do eleitor do limiar em um ponto crítico" . The Annals of Probability . 22 (3): 1121–1139. doi : 10.1214 / aop / 1176988597 .
• Liggett, Thomas M. (1997). "Modelos Estocásticos de Sistemas Interativos" . The Annals of Probability . Instituto de Estatística Matemática. 25 (1): 1–29. doi : 10.1214 / aop / 1024404276 . ISSN   0091-1798 .
• Liggett, Thomas M. (1985). Interacting Particle Systems . Nova York: Springer Verlag. ISBN   0-387-96069-4 .