Invariantes de tensores - Invariants of tensors
Em matemática , nos campos da álgebra multilinear e da teoria da representação , os principais invariantes do tensor de segunda ordem são os coeficientes do polinômio característico.
- ,
onde é o operador de identidade e representa os autovalores do polinômio .
Mais amplamente, qualquer função com valor escalar é uma invariante de se e somente se para todas as ortogonais . Isso significa que uma fórmula que expressa um invariante em termos de componentes ,, dará o mesmo resultado para todas as bases cartesianas. Por exemplo, mesmo que os componentes diagonais individuais de mudem com uma mudança na base, a soma dos componentes diagonais não mudará.
Propriedades
Os invariantes principais não mudam com as rotações do sistema de coordenadas (eles são objetivos ou, na terminologia mais moderna, satisfazem o princípio da indiferença de estrutura material ) e qualquer função dos invariantes principais também é objetiva.
Cálculo dos invariantes de tensores de classificação dois
Na maioria das aplicações de engenharia , os principais invariantes de (classificação dois) tensores de dimensão três são procurados, como aqueles para o tensor de deformação de Cauchy-Green correto .
Invariantes principais
Para tais tensores, os invariantes principais são dados por:
Para tensores simétricos, essas definições são reduzidas.
A correspondência entre os invariantes principais e o polinômio característico de um tensor, em conjunto com o teorema de Cayley-Hamilton, revela que
onde está o tensor de identidade de segunda ordem.
Invariantes principais
Além dos invariantes principais listados acima, também é possível introduzir a noção de invariantes principais.
que são funções dos invariantes principais acima.
Invariantes mistos
Além disso, invariantes mistos entre pares de tensores de classificação dois também podem ser definidos.
Cálculo dos invariantes de ordem dois tensores de dimensão superior
Estes podem ser extraídos avaliando o polinômio característico diretamente, usando o algoritmo de Faddeev-LeVerrier por exemplo.
Cálculo dos invariantes de tensores de ordem superior
Os invariantes de tensores de ordem três, quatro e superiores também podem ser determinados.
Aplicações de engenharia
Uma função escalar que depende inteiramente dos invariantes principais de um tensor é objetiva, isto é, independente das rotações do sistema de coordenadas. Esta propriedade é comumente usada na formulação de expressões de forma fechada para a densidade de energia de deformação , ou energia livre de Helmholtz , de um material não linear que possui simetria isotrópica.
Esta técnica foi introduzida pela primeira vez na turbulência isotrópica por Howard P. Robertson em 1940, onde ele foi capaz de derivar a equação de Kármán-Howarth do princípio invariante. George Batchelor e Subrahmanyan Chandrasekhar exploraram essa técnica e desenvolveram um tratamento estendido para turbulência axissimétrica.
Invariantes de tensores não simétricos
Um tensor real em 3D (ou seja, um com uma matriz de componente 3x3) tem até seis invariantes independentes, três sendo os invariantes de sua parte simétrica e três caracterizando a orientação do vetor axial da parte assimétrica em relação ao principal direções da parte simétrica. Por exemplo, se os componentes cartesianos de são
a primeira etapa seria avaliar o vetor axial associado à parte simétrica inclinada. Especificamente, o vetor axial tem componentes
A próxima etapa encontra os valores principais da parte simétrica de . Mesmo que os autovalores de um tensor não simétrico real possam ser complexos, os autovalores de sua parte simétrica sempre serão reais e, portanto, podem ser ordenados do maior para o menor. As direções de base principal ortonormal correspondentes podem ser atribuídas sentidos para garantir que o vetor axial aponta dentro do primeiro octante. Com relação a essa base especial, os componentes de são
Os três primeiros invariantes de são os componentes diagonais desta matriz: (iguais aos valores principais ordenados da parte simétrica do tensor). Os restantes três invariantes são componentes do vector axial nesta base: . Nota: a magnitude do vetor axial,, é o único invariante da parte enviesada de , enquanto esses três invariantes distintos caracterizam (em certo sentido) o "alinhamento" entre as partes simétricas e enviesadas de . A propósito, é um mito que um tensor é definido positivo se seus autovalores forem positivos. Em vez disso, é positivo definido se e somente se os autovalores de sua parte simétrica são positivos.