Teorema de Künneth - Künneth theorem

Em matemática , especialmente em álgebra homológica e topologia algébrica , um teorema de Künneth , também chamado de fórmula de Künneth , é uma declaração que relaciona a homologia de dois objetos à homologia de seu produto. A afirmação clássica do teorema de Künneth relaciona a homologia singular de dois espaços topológicos X e Y e seu espaço de produto . No caso mais simples possível, a relação é a de um produto tensorial , mas para as aplicações, muitas vezes é necessário aplicar certas ferramentas da álgebra homológica para expressar a resposta. ${\ displaystyle X \ times Y}$

Um teorema de Künneth ou fórmula de Künneth é verdadeiro em muitas teorias de homologia e cohomologia diferentes, e o nome tornou-se genérico. Esses muitos resultados são nomeados em homenagem ao matemático alemão Hermann Künneth .

Homologia singular com coeficientes em um campo

Sejam X e Y dois espaços topológicos. Em geral, usa-se homologia singular; mas se X e Y forem complexos CW , então isso pode ser substituído pela homologia celular , porque isso é isomórfico à homologia singular. O caso mais simples é quando o anel coeficiente de homologia é um campo F . Nesta situação, o teorema de Künneth (para homologia singular) afirma que para qualquer inteiro k ,

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i + j = k} H_ {i} (X; F) \ otimes H_ {j} (Y; F) \ cong H_ {k} (X \ vezes Y; F)}$.

Além disso, o isomorfismo é um isomorfismo natural . O mapa da soma ao grupo de homologia do produto é denominado produto vetorial . Mais precisamente, há uma operação de produto cruzado pela qual um ciclo i em X e um ciclo j em Y podem ser combinados para criar um ciclo ativado ; para que haja um mapeamento linear explícito definido a partir da soma direta para . ${\ displaystyle (i + j)}$${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle H_ {k} (X \ vezes Y)}$

Uma consequência deste resultado é que os números de Betti , as dimensões da homologia com coeficientes, do pode ser determinado a partir daqueles de X e Y . Se é a função geradora da sequência de números de Betti de um espaço Z , então ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle p_ {Z} (t)}$${\ displaystyle b_ {k} (Z)}$

${\ displaystyle p_ {X \ times Y} (t) = p_ {X} (t) p_ {Y} (t).}$

Aqui, quando há finitamente muitos números de Betti de X e Y , cada um dos quais é um número natural em vez de , isso é lido como uma identidade em polinômios de Poincaré . No caso geral, essas são séries de potências formais com coeficientes possivelmente infinitos e devem ser interpretadas de acordo. Além disso, a afirmação acima vale não apenas para os números de Betti, mas também para as funções geradoras das dimensões da homologia sobre qualquer campo. (Se a homologia de inteiros não for livre de torção , esses números podem ser diferentes dos números de Betti padrão.) ${\ displaystyle \ infty}$

Homologia singular com coeficientes em um domínio ideal principal

A fórmula acima é simples porque os espaços vetoriais sobre um campo têm um comportamento muito restrito. À medida que o anel do coeficiente se torna mais geral, a relação se torna mais complicada. O próximo caso mais simples é o caso em que o anel de coeficiente é um domínio ideal principal . Este caso é particularmente importante porque os inteiros são um PID. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Nesse caso, a equação acima não é mais sempre verdadeira. Um fator de correção parece explicar a possibilidade de fenômenos de torção. Este fator de correção é expresso em termos do functor Tor , o primeiro functor derivado do produto tensorial.

Quando R é um PID, então a afirmação correta do teorema de Künneth é que para quaisquer espaços topológicos X e Y existem sequências exatas curtas naturais

${\ displaystyle 0 \ a \ bigoplus _ {i + j = k} H_ {i} (X; R) \ otimes _ {R} H_ {j} (Y; R) \ a H_ {k} (X \ vezes Y; R) \ to \ bigoplus _ {i + j = k-1} \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {R} (H_ {i} (X; R), H_ {j} (Y; R )) \ para 0.}$

Além disso, essas sequências se dividem , mas não canonicamente .

Exemplo

As curtas sequências exatas que acabamos de descrever podem ser facilmente usadas para calcular os grupos de homologia com coeficientes inteiros do produto de dois planos projetivos reais , ou seja ,. Esses espaços são complexos CW . Denotando o grupo de homologia por uma questão de brevidade, sabe-se a partir de um cálculo simples com homologia celular que ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}}$${\ displaystyle H_ {k} (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H_ {i} (\ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle h_ {i}}$

${\ displaystyle h_ {0} \ cong \ mathbb {Z}}$,

${\ displaystyle h_ {1} \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$,

${\ displaystyle h_ {i} = 0}$para todos os outros valores de i .

O único grupo Tor diferente de zero (produto de torção) que pode ser formado a partir desses valores de é ${\ displaystyle h_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (h_ {1}, h_ {1}) \ cong \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$.

Portanto, a seqüência exata curta de Künneth se reduz em todos os graus a um isomorfismo, porque há um grupo zero em cada caso do lado esquerdo ou direito da seqüência. O resultado é

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} H_ {0} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; h_ {0} \ otimes h_ {0} \; \ cong \; \ mathbb {Z} \\ H_ {1} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ { 2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; h_ {0} \ otimes h_ {1} \; \ oplus \; h_ {1} \ otimes h_ {0} \; \ cong \; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \\ H_ {2} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP } ^ {2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; h_ {1} \ otimes h_ {1} \; \ cong \; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ \ H_ {3} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (h_ {1}, h_ {1}) \; \ cong \; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \\\ end {alinhado}}}$

e todos os outros grupos de homologia são zero.

A sequência espectral Künneth

Para um anel comutativo geral R , a homologia de X e Y está relacionada à homologia de seu produto por uma sequência espectral de Künneth

${\ displaystyle E_ {pq} ^ {2} = \ bigoplus _ {q_ {1} + q_ {2} = q} \ mathrm {Tor} _ {p} ^ {R} (H_ {q_ {1}} ( X; R), H_ {q_ {2}} (Y; R)) \ Rightarrow H_ {p + q} (X \ vezes Y; R).}$

Nos casos descritos acima, esta sequência espectral entra em colapso para dar um isomorfismo ou uma sequência exata curta.

Relação com álgebra homológica e ideia de prova

O complexo de cadeia do espaço X × Y está relacionado aos complexos de cadeia de X e Y por um quase-isomorfismo natural

${\ displaystyle C _ {*} (X \ times Y) \ cong C _ {*} (X) \ otimes C _ {*} (Y).}$

Para cadeias singulares, este é o teorema de Eilenberg e Zilber . Para cadeias celulares em complexos CW, é um isomorfismo direto. Então, a homologia do produto tensorial à direita é dada pela fórmula espectral de Künneth da álgebra homológica.

A liberdade dos módulos da cadeia significa que, neste caso geométrico, não é necessário usar nenhuma hiper-homologia ou produto tensorial total derivado.

Existem análogos das afirmações acima para cohomologia singular e cohomologia de feixe . Para a cohomologia de feixes em uma variedade algébrica, Alexander Grothendieck encontrou seis sequências espectrais relacionando os possíveis grupos de hiper-homologia de dois complexos de cadeias de feixes e os grupos de hiper-homologia de seu produto tensorial.

Teoremas de Künneth em teorias de homologia generalizada e cohomologia

Existem muitas teorias generalizadas (ou "extraordinárias") de homologia e cohomologia para espaços topológicos. A teoria K e o cobordismo são os mais conhecidos. Ao contrário da homologia e cohomologia comuns, eles normalmente não podem ser definidos usando complexos de cadeia. Assim, os teoremas de Künneth não podem ser obtidos pelos métodos de álgebra homológica acima. No entanto, os teoremas de Künneth exatamente na mesma forma foram provados em muitos casos por vários outros métodos. Os primeiros foram o teorema de Künneth de Michael Atiyah para a teoria K complexa e o resultado de Pierre Conner e Edwin E. Floyd no cobordismo. Surgiu um método geral de prova, baseado em uma teoria homotópica de módulos sobre espectros de anéis altamente estruturados . A categoria de homotopia de tais módulos se assemelha muito à categoria derivada na álgebra homológica.

Referências

links externos

• "Künneth formula" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]