Equação Kardar-Parisi-Zhang - Kardar–Parisi–Zhang equation

Em matemática , a equação Kardar – Parisi – Zhang (KPZ) é uma equação diferencial parcial estocástica não linear , introduzida por Mehran Kardar , Giorgio Parisi e Yi-Cheng Zhang em 1986. Ela descreve a mudança temporal de um campo de altura com coordenada e coordenada de tempo : ${\ displaystyle h ({\ vec {x}}, t)}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h ({\ vec {x}}, t)} {\ partial t}} = \ nu \ nabla ^ {2} h + {\ frac {\ lambda} {2}} \ esquerda (\ nabla h \ direita) ^ {2} + \ eta ({\ vec {x}}, t) \ ;,}$

Aqui está o ruído gaussiano branco com média ${\ displaystyle \ eta ({\ vec {x}}, t)}$

${\ displaystyle \ langle \ eta ({\ vec {x}}, t) \ rangle = 0}$

e segundo momento

${\ displaystyle \ langle \ eta ({\ vec {x}}, t) \ eta ({\ vec {x}} ', t') \ rangle = 2D \ delta ^ {d} ({\ vec {x} } - {\ vec {x}} ') \ delta (t-t').}$

${\ displaystyle \ nu}$,, e são parâmetros do modelo e é a dimensão. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle d}$

Em uma dimensão espacial, a equação KPZ corresponde a uma versão estocástica da equação de Burgers com campo via substituição . ${\ displaystyle u (x, t)}$${\ displaystyle u = - \ lambda \, \ partial h / \ partial x}$

Por meio do grupo de renormalização , a equação KPZ é conjecturada como a teoria de campo de muitos modelos de crescimento de superfície , como o modelo Eden , a deposição balística e o modelo SOS . Uma prova rigorosa foi dada por Bertini e Giacomin no caso do modelo SOS.

Classe de universalidade KPZ

Muitos sistemas de partículas em interação , como o processo de exclusão simples totalmente assimétrico , estão na classe de universalidade KPZ . Esta classe é caracterizada pelos seguintes expoentes críticos em uma dimensão espacial (dimensão 1 + 1): o expoente de rugosidade α  = 1/2, expoente de crescimento β  = 1/3 e expoente dinâmico z  = 3/2. Para verificar se um modelo de crescimento está dentro da classe KPZ, pode-se calcular a largura da superfície:

${\ displaystyle W (L, t) = \ left \ langle {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {L} {\ big (} h (x, t) - {\ bar { h}} (t) {\ big)} ^ {2} \, dx \ right \ rangle ^ {1/2},}$

onde é a altura média da superfície no tempo t e L é o tamanho do sistema. Para modelos dentro da classe KPZ, as propriedades principais da superfície podem ser caracterizadas pela relação de escala Família - Vicsek da rugosidade${\ displaystyle {\ bar {h}} (t)}$${\ displaystyle h (x, t)}$

${\ displaystyle W (L, t) \ approx L ^ {\ alpha} f (t / L ^ {z}),}$

com uma função de escala que satisfaça ${\ displaystyle f (u)}$

${\ displaystyle f (u) \ propto {\ begin {cases} u ^ {\ beta} & \ u \ ll 1 \\ 1 & \ u \ gg 1 \ end {cases}}}$

Em 2014, Hairer e Quastel mostraram que, de forma mais geral, as seguintes equações semelhantes a KPZ estão dentro da classe de universalidade KPZ:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h ({\ vec {x}}, t)} {\ partial t}} = \ nu \ nabla ^ {2} h + P \ left (\ nabla h \ right) + \ eta ({\ vec {x}}, t) \ ;,}$

Aqui está qualquer polinômio de grau par. ${\ displaystyle P}$

Resolvendo a equação KPZ

Devido à não linearidade na equação e à presença de ruído branco no espaço-tempo, as soluções para a equação KPZ não são suaves ou regulares, mas sim 'fractais' ou 'ásperas'. De fato, mesmo sem o termo não linear, a equação se reduz à equação do calor estocástico , cuja solução não é diferenciável na variável espacial, mas verifica uma condição de Hölder com expoente <1/2. Assim, o termo não linear é mal definido no sentido clássico. ${\ displaystyle \ left (\ nabla h \ right) ^ {2}}$

Em 2013, Martin Hairer fez um avanço na resolução da equação KPZ ao construir aproximações usando diagramas de Feynman . Em 2014 ele foi premiado com a Medalha Fields por este trabalho, juntamente com a teoria de caminhos irregulares e estruturas de regularidade .

Derivação física

Esta derivação é de e. Suponha que queremos descrever um crescimento de superfície por alguma equação diferencial parcial . Deixe representar a altura da superfície na posição xe no tempo t. Seus valores são contínuos. Esperamos que haja uma espécie de mecanismo de suavização. Então, a equação mais simples para o crescimento da superfície pode ser considerada a equação de difusão ${\ displaystyle h (x, t)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial t}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} h (x, t)} {\ parcial ^ {2} x}}}$

Mas esta é uma equação determinística ( equação do calor ) e a superfície não tem flutuações. A maneira mais simples de incluir flutuações é adicionar um termo de ruído. Então podemos empregar a equação

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial t}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} h (x, t)} {\ parcial ^ {2} x}} + \ eta (x, t)}$

com considerado o ruído branco gaussiano com média zero e covariância . Isso é conhecido como a equação de Edwards – Wilkinson (EW) ou equação do calor estocástico com ruído aditivo (SHE). Como esta é uma equação linear, ela pode ser resolvida exatamente usando a análise de Fourier . Mas como o ruído é gaussiano e a equação é linear, as flutuações vistas para esta equação ainda são gaussianas. A equação EW não é suficiente para descrever o crescimento da superfície de interesse. Portanto, precisamos adicionar uma função não linear para o crescimento. Portanto, a mudança de crescimento da superfície no tempo tem três contribuições: 1) Dependente da inclinação ou crescimento lateral (função não linear da inclinação ), 2) Relaxamento (termo de difusão ) e 3) Forçamento aleatório (ruído branco ): ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle E [\ eta (x, t) \ eta (x ', t')] = \ delta (x-x ') \ delta (t-t')}$${\ displaystyle F ({\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial x}})}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} h (x, t)} {\ partial ^ {2} x}}}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial t}} = - \ lambda F ({\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial x}}) + { \ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} h (x, t)} {\ partial ^ {2} x}} + \ eta (x, t)}$

O termo-chave , a parte determinística do crescimento, é considerado uma função apenas da inclinação e uma função simétrica. Uma grande observação de Kardar, Parisi, Zhang (KPZ) foi que, enquanto uma superfície cresce em uma direção normal (para a superfície), estamos medindo a altura no eixo da altura, que é perpendicular ao eixo do espaço x, e portanto deve aparecer uma não linearidade proveniente desse efeito geométrico simples. Quando a inclinação da superfície é pequena, o efeito assume a forma, mas isso leva a uma equação aparentemente intratável. Na verdade, o que é feito é pegar um F geral e expandi-lo ${\ displaystyle F ({\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial x}})}$${\ displaystyle \ partial _ {x} h}$${\ displaystyle F (\ partial _ {x} h) = (1+ | \ partial _ {x} h | ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

${\ displaystyle F (s) = F (0) + F '(0) s + {\ frac {1} {2}} F' '(0) s ^ {2} + ...}$

O primeiro termo pode ser removido da equação por uma mudança de tempo: se resolve a equação KPZ, então resolve ${\ displaystyle h (x, t)}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} (x, t): = h (x, t) - \ lambda F (0) t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial t}} = - \ lambda F (0) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2 } h (x, t)} {\ partial ^ {2} x}} + \ eta (x, t).}$

O segundo deve desaparecer por causa da simetria, mas poderia de qualquer maneira ter sido removido da equação por uma mudança de velocidade constante de coordenadas: Se resolve a equação KPZ, então resolve ${\ displaystyle h (x, t)}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} (x, t): = h (x- \ lambda F '(0) t, t- \ lambda F' (0) x)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {h}} (x, t)} {\ partial t}} = - \ lambda F '(0) {\ frac {\ partial {\ tilde {h}} (x, t)} {\ parcial x}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ til {h}} (x, t)} {\ parcial ^ {2} x}} + \ eta (x, t).}$

Assim, o termo quadrático é a primeira contribuição não trivial, e é a única mantida. Chegamos à equação KPZ

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial t}} = - \ lambda ({\ frac {\ partial h (x, t)} {\ partial x}}) ^ {2 } + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} h (x, t)} {\ partial ^ {2} x}} + \ eta (x, t).}$

Veja também

• Equação de Fokker-Planck
• Equação diferencial parcial estocástica
• Universalidade (sistemas dinâmicos)
• caminho áspero
• fractal
• Grupo de renormalização
• crescimento de superfície
• teoria quântica de campo

Fontes

Notas

• Barabasi, Albert-Laszlo; Stanley, Harry Eugene (1995). Conceitos fractais no crescimento da superfície . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-48318-6.
• Corwin, Ivan (2011). "A equação Kardar-Parisi-Zhang e a classe de universalidade". arXiv : 1106.1596 [ math.PR ].
• "Notas de aula de Jeremy Quastel" (PDF) .
• Tomohiro, Sasamoto (2016). "A equação 1D Kardar – Parisi – Zhang: distribuição de altura e universalidade" .