Teorema de incorporação de Kodaira - Kodaira embedding theorem

Em matemática , o teorema de incorporação de Kodaira caracteriza variedades projetivas não singulares , sobre os números complexos , entre variedades Kähler compactas . Na verdade, ele diz precisamente quais variedades complexas são definidas por polinômios homogêneos .

O resultado de Kunihiko Kodaira é que para uma variedade M compacta de Kähler , com uma métrica Hodge , o que significa que a classe de cohomologia no grau 2 definida pela forma de Kähler ω é uma classe de cohomologia integral , há uma incorporação analítica complexa de M no complexo espaço projetivo de alguma dimensão N suficientemente alta . O fato de que M se encaixa como uma variedade algébrica segue de sua compactação pelo teorema de Chow . Uma variedade Kähler com uma métrica Hodge é ocasionalmente chamada de variedade Hodge (em homenagem a WVD Hodge ), então os resultados de Kodaira afirmam que as variedades Hodge são projetivas. O inverso de que variedades projetivas são variedades de Hodge é mais elementar e já era conhecido.

Kodaira também provou (Kodaira 1963), recorrendo à classificação de superfícies compactas complexas, que toda superfície compacta de Kähler é uma deformação de uma superfície projetiva de Kähler. Isso foi posteriormente simplificado por Buchdahl para remover a confiança na classificação (Buchdahl 2008).

Teorema de incorporação de Kodaira

Deixe X ser um colector Kähler compacto, e L um feixe de linha holomórfica em X . Então L é um feixe de linha positiva se e somente se houver uma incorporação holomórfica de X em algum espaço projetivo tal que para algum  m  > 0. ${\ displaystyle \ varphi: X \ rightarrow \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ varphi ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P}} (1) = L ^ {\ otimes m}}$

Veja também

• Estrutura Hodge
• Manifold de Moishezon

Referências

• Buchdahl, Nicholas (2008), "Algebraic deformations of compact Kähler surface II", Mathematische Zeitschrift , 258 (3): 493–498, doi : 10.1007 / s00209-007-0168-6
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052
• Kodaira, Kunihiko (1954), "Sobre variedades Kähler de tipo restrito (uma caracterização intrínseca de variedades algébricas)", Annals of Mathematics , Second Series, 60 (1): 28-48, doi : 10.2307 / 1969701 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969701 , MR  0068871
• Kodaira, Kunihiko (1963), "On compact analytic surface III", Annals of Mathematics , Second Series, 78 (1): 1-40, doi : 10.2307 / 1970500 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970500
• Uma prova do teorema de incorporação sem o teorema de desaparecimento (devido a Simon Donaldson ) aparece nas notas de aula aqui .