Critério de normabilidade de Kolmogorov - Kolmogorov's normability criterion

Em matemática , o critério de normabilidade de Kolmogorov é um teorema que fornece uma condição necessária e suficiente para que um espaço vetorial topológico seja normatizado, ou seja, para a existência de uma norma no espaço que gera a topologia dada . O critério de normabilidade pode ser visto como um resultado na mesma linha do teorema de metrização de Nagata-Smirnov e teorema de metrização de Bing , que dá uma condição necessária e suficiente para um espaço topológico ser metrizável . O resultado foi provado pelo matemático russo Andrey Nikolayevich Kolmogorov em 1934.

Declaração do teorema

Pode ser útil relembrar primeiro os seguintes termos:

• Um espaço vetorial topológico é um espaço vetorial equipado com uma topologia tal que as operações de multiplicação escalar e adição de vetores no espaço vetorial são contínuas.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$
• Um espaço vetorial topológico é chamado de normable se houver uma norma em que as bolas abertas da norma gerem a topologia dada . (Observe bem que um determinado espaço vetorial topológico normalizável pode admitir várias dessas normas.)${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | \ dois pontos X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$
• Um espaço topológico é chamado de T ₁ espaço se, para cada dois pontos distintos , existe uma vizinhança aberta de que não contém . Em um espaço vetorial topológico, isso equivale a exigir que, para cada , haja uma vizinhança aberta da origem não contendo . Observe que ser T ₁ é mais fraco do que ser um espaço de Hausdorff , em que cada dois pontos distintos admitem vizinhanças abertas de e de com ; uma vez que os espaços normalizados e normalizados são sempre de Hausdorff, é uma “surpresa” que o teorema requeira apenas T ₁ .${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle U_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle U_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U_ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle U_ {x} \ cap U_ {y} = \ varnothing}$
• Um subconjunto de um espaço vectorial é um conjunto convexo se, para quaisquer dois pontos , o segmento de linha que une eles encontra-se totalmente dentro , ou seja, para todos , .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x, y \ in A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$${\ displaystyle (1-t) x + ty \ in A}$
• Um subconjunto de um espaço vetorial topológico é um conjunto limitado se, para cada vizinhança aberta da origem, existir um escalar para que . (Pode-se pensar em ser "pequeno" e "grande o suficiente" para inflar para cobrir .)${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A \ subseteq \ lambda U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$

Expresso nestes termos, o critério de normabilidade de Kolmogorov é o seguinte:

Teorema. Um espaço vetorial topológico é normalizado se e somente se for um espaço T ₁ e admitir uma vizinhança convexa limitada da origem. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$

Veja também

• Espaço vetorial topológico localmente convexo  - Um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
• Espaço normatizado
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade

Referências