Distribuição Laplace - Laplace distribution

Laplace

Função densidade de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
Parâmetros	${\ displaystyle \ mu}$ escala de localização ( real ) (real) ${\ displaystyle b> 0}$
Apoiar	${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {2b}} \ exp \ left (- {\ frac {| x- \ mu |} {b}} \ right)}$
CDF	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) & {\ text {if}} x \ leq \ mu \\ [8pt] 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) & {\ text {if}} x \ geq \ mu \ end {casos}}}$
Quantil	${\ displaystyle {\ begin {cases} \ mu + b \ ln \ left (2F \ right) & {\ text {if}} F \ leq {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] \ mu -b \ ln \ left (2-2F \ right) & {\ text {if}} F \ geq {\ frac {1} {2}} \ end {cases}}}$
Mau	${\ displaystyle \ mu}$
Mediana	${\ displaystyle \ mu}$
Modo	${\ displaystyle \ mu}$
Variância	${\ displaystyle 2b ^ {2}}$
LOUCO	${\ displaystyle b}$
Skewness	${\ displaystyle 0}$
Ex. curtose	${\ displaystyle 3}$
Entropia	${\ displaystyle \ log (2be)}$
MGF	${\ displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu t)} {1-b ^ {2} t ^ {2}}} {\ text {for}} | t | <1 / b}$
CF	${\ displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu it)} {1 + b ^ {2} t ^ {2}}}}$

Em teoria de probabilidade e estatística , a distribuição de Laplace é uma distribuição de probabilidade contínua com o nome de Pierre-Simon Laplace . Às vezes também é chamada de distribuição exponencial dupla , porque pode ser considerada como duas distribuições exponenciais (com um parâmetro de localização adicional) emendadas costas com costas, embora o termo também seja algumas vezes usado para se referir à distribuição de Gumbel . A diferença entre duas variáveis ​​aleatórias exponenciais distribuídas de forma idêntica é governada por uma distribuição de Laplace, assim como um movimento browniano avaliado em um tempo aleatório distribuído exponencialmente. Incrementos de movimento de Laplace ou um processo gama de variância avaliado ao longo da escala de tempo também têm uma distribuição de Laplace.

Definições

Função densidade de probabilidade

Uma variável aleatória tem uma distribuição se sua função de densidade de probabilidade é ${\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$

${\ displaystyle f (x \ mid \ mu, b) = {\ frac {1} {2b}} \ exp \ left (- {\ frac {| x- \ mu |} {b}} \ right) \, \!}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {2b}} \ left \ {{\ begin {matrix} \ exp \ left (- {\ frac {\ mu -x} {b}} \ right) & {\ text {if}} x <\ mu \\ [8pt] \ exp \ left (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) & {\ text {if}} x \ geq \ mu \ end {matriz}} \ certo.}$

Aqui, é um parâmetro de localização e , que às vezes é referido como a diversidade, é um parâmetro de escala . Se e , a meia-linha positiva é exatamente uma distribuição exponencial escalonada por 1/2. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle b> 0}$${\ displaystyle \ mu = 0}$${\ displaystyle b = 1}$

A função de densidade de probabilidade da distribuição de Laplace também lembra a distribuição normal ; no entanto, enquanto a distribuição normal é expressa em termos da diferença ao quadrado da média , a densidade de Laplace é expressa em termos da diferença absoluta da média. Consequentemente, a distribuição Laplace tem caudas mais grossas do que a distribuição normal. ${\ displaystyle \ mu}$

Função de distribuição cumulativa

A distribuição de Laplace é fácil de integrar (se forem distinguidos dois casos simétricos) devido ao uso da função de valor absoluto . Sua função de distribuição cumulativa é a seguinte:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} F (x) & = \ int _ {- \ infty} ^ {x} \! \! f (u) \, \ mathrm {d} u = {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) & {\ mbox {if}} x <\ mu \\ 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ right) & {\ mbox {if}} x \ geq \ mu \ end {cases}} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {sgn} (x- \ mu) \ left (1- \ exp \ left (- {\ frac {| x- \ mu |} {b}} \ direita) \ direita). \ end {alinhado}}}$

A função de distribuição cumulativa inversa é dada por

${\ displaystyle F ^ {- 1} (p) = \ mu -b \, \ operatorname {sgn} (p-0,5) \, \ ln (1-2 | p-0,5 |).}$

Propriedades

Momentos

${\ displaystyle \ mu _ {r} '= {\ bigg (} {\ frac {1} {2}} {\ bigg)} \ sum _ {k = 0} ^ {r} {\ bigg [} {\ frac {r!} {(rk)!}} b ^ {k} \ mu ^ {(rk)} \ {1 + (- 1) ^ {k} \} {\ bigg]} = {\ frac {m ^ {n + 1}} {2b}} \ left (e ^ {m / b} E _ {- n} (m / b) -e ^ {- m / b} E _ {- n} (- m / b )\direito)}$

onde é a função integral exponencial generalizada . ${\ displaystyle E_ {n} ()}$${\ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x)}$

Distribuições relacionadas

• Se então .${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$${\ displaystyle kX + c \ sim {\ textrm {Laplace}} (k \ mu + c, | k | b)}$
• Se então . ( Distribuição exponencial )${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$${\ displaystyle \ left | X \ right | \ sim {\ textrm {Exponencial}} \ left (b ^ {- 1} \ right)}$
• Se então ．${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Exponencial}} (\ lambda)}$${\ displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} \ left (0, \ lambda ^ {- 1} \ right)}$
• Se então .${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$${\ displaystyle \ left | X- \ mu \ right | \ sim {\ textrm {Exponencial}} (b ^ {- 1})}$
• Se então . ( Distribuição de potência exponencial )${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {EPD}} (\ mu, b, 1)}$
• Se ( distribuição normal ) então .${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {4} \ sim {\ textrm {N}} (0,1)}$${\ displaystyle X_ {1} X_ {2} -X_ {3} X_ {4} \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$
• Se então . ( Distribuição qui-quadrado )${\ displaystyle X_ {i} \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$${\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle 2} {b}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | X_ {i} - \ mu | \ sim \ chi ^ {2} (2n)}$
• Se então . ( Distribuição F )${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$${\ displaystyle {\ tfrac {| X- \ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}$
• Se ( distribuição uniforme ) então .${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {U}} (0,1)}$${\ displaystyle \ log (X / Y) \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$
• Se e ( distribuição de Bernoulli ) independente de , então .${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Exponencial}} (\ lambda)}$${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Bernoulli}} (0,5)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X (2Y-1) \ sim {\ textrm {Laplace}} \ left (0, \ lambda ^ {- 1} \ right)}$
• Se e independente de , então ．${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Exponencial}} (\ lambda)}$${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Exponencial}} (\ nu)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ lambda X- \ nu Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$
• Se tiver uma distribuição Rademacher e depois .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Exponencial}} (\ lambda)}$${\ displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$
• Se e independente de , então .${\ displaystyle V \ sim {\ textrm {Exponencial}} (1)}$${\ displaystyle Z \ sim N (0,1)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X = \ mu + b {\ sqrt {2V}} Z \ sim \ mathrm {Laplace} (\ mu, b)}$
• Se ( distribuição geométrica estável ) então .${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {GeometricStable}} (2,0, \ lambda, 0)}$${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, \ lambda)}$
• A distribuição de Laplace é um caso limite da distribuição hiperbólica .
• Se for com ( distribuição de Rayleigh ), então .${\ displaystyle X | Y \ sim {\ textrm {N}} (\ mu, Y ^ {2})}$${\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Rayleigh}} (b)}$${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$
• Dado um número inteiro , se ( distribuição gama , usando caracterização), então ( divisibilidade infinita )${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle X_ {i}, Y_ {i} \ sim \ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}}, b \ right)}$${\ displaystyle k, \ theta}$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ mu} {n}} + X_ {i} -Y_ {i} \ right) \ sim {\ textrm {Laplace} } (\ mu, b)}$

Relação com a distribuição exponencial

Uma variável aleatória de Laplace pode ser representada como a diferença de duas variáveis ​​aleatórias exponenciais independentes e identicamente distribuídas ( iid ). Uma maneira de mostrar isso é usando a abordagem da função característica . Para qualquer conjunto de variáveis ​​aleatórias contínuas independentes, para qualquer combinação linear dessas variáveis, sua função característica (que determina exclusivamente a distribuição) pode ser adquirida multiplicando as funções características correspondentes.

Considere duas variáveis ​​aleatórias iid . As funções características para são ${\ displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Exponencial}} (\ lambda)}$${\ displaystyle X, -Y}$

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {- it + \ lambda}}, \ quad {\ frac {\ lambda} {it + \ lambda}}}$

respectivamente. Ao multiplicar essas funções características (equivalente à função característica da soma das variáveis ​​aleatórias ), o resultado é ${\ displaystyle X + (- Y)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {2}} {(- it + \ lambda) (it + \ lambda)}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {t ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}$

Este é o mesmo que a função característica para , que é ${\ displaystyle Z \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}}}}.}$

Distribuições Sargan

As distribuições Sargan são um sistema de distribuições do qual a distribuição Laplace é um membro central. Uma distribuição de Sargan de ordem tem densidade ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle f_ {p} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ exp (- \ alpha | x |) {\ frac {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p } \ beta _ {j} \ alpha ^ {j} | x | ^ {j}} {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p} j! \ beta _ {j}}},}$

para parâmetros . Os resultados da distribuição de Laplace para . ${\ displaystyle \ alpha \ geq 0, \ beta _ {j} \ geq 0}$${\ displaystyle p = 0}$

Inferência estatística

Estimativa de parâmetros

Dadas amostras independentes e distribuídas de forma idêntica , o estimador de máxima verossimilhança de é a mediana da amostra , e o estimador de máxima verossimilhança de é o Desvio Médio Absoluto da Mediana ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {N}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mu}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ hat {b}}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ hat {b}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | x_ {i} - {\ hat {\ mu}} |}$

(revelando uma ligação entre a distribuição de Laplace e os desvios mínimos absolutos ).

Ocorrência e aplicações

A distribuição Laplaciana tem sido usada no reconhecimento de voz para modelar a priori nos coeficientes DFT e na compressão de imagem JPEG para modelar os coeficientes AC gerados por um DCT .

• A adição de ruído extraído de uma distribuição Laplaciana, com parâmetro de escala apropriado para a sensibilidade de uma função, para a saída de uma consulta de banco de dados estatístico é o meio mais comum para fornecer privacidade diferencial em bancos de dados estatísticos.

• Na análise de regressão , a estimativa de desvios absolutos mínimos surge como a estimativa de máxima verossimilhança se os erros tiverem uma distribuição de Laplace.
• O Lasso pode ser pensado como uma regressão bayesiana com um prior laplaciano.
• Em hidrologia, a distribuição de Laplace é aplicada a eventos extremos, como chuvas máximas anuais de um dia e vazões de rios. A imagem azul, feita com CumFreq , ilustra um exemplo de ajuste da distribuição de Laplace para chuvas anuais máximas de um dia classificadas, mostrando também o cinturão de confiança de 90% com base na distribuição binomial . Os dados de precipitação são representados por posições de plotagem como parte da análise de frequência cumulativa .

A distribuição de Laplace, sendo uma distribuição composta ou dupla , é aplicável em situações em que os valores mais baixos se originam em condições externas diferentes dos mais altos, de forma que seguem um padrão diferente.

Métodos computacionais

Gerando valores a partir da distribuição de Laplace

Dada uma variável aleatória retirada da distribuição uniforme no intervalo , a variável aleatória ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ left (-1 / 2,1 / 2 \ right)}$

${\ displaystyle X = \ mu -b \, \ operatorname {sgn} (U) \, \ ln (1-2 | U |)}$

tem uma distribuição Laplace com parâmetros e . Isso segue da função de distribuição cumulativa inversa dada acima. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle b}$

Uma variável também pode ser gerada como a diferença de duas variáveis aleatórias iid . De forma equivalente, também pode ser gerado como o logaritmo da razão de duas variáveis aleatórias uniformes iid . ${\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Exponencial}} (1 / b)}$${\ displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$

História

Essa distribuição é freqüentemente referida como a primeira lei dos erros de Laplace. Ele o publicou em 1774, quando observou que a frequência de um erro poderia ser expressa como uma função exponencial de sua magnitude, uma vez que seu sinal fosse desconsiderado.

Keynes publicou um artigo em 1911 com base em sua tese anterior, em que mostrou que a distribuição de Laplace minimizava o desvio absoluto da mediana.

Veja também

• Distribuição multivariada de Laplace
• Medida Besov , uma generalização da distribuição de Laplace para espaços funcionais
• Distribuição de Cauchy , também chamada de "distribuição Lorentziana" (a transformada de Fourier de Laplace)
• Função característica (teoria da probabilidade)
• Distribuição Log-Laplace

Referências

links externos

• "Distribuição de Laplace" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]