Transformação canônica linear - Linear canonical transformation

Na mecânica hamiltoniana , a transformação canônica linear ( LCT ) é uma família de transformadas integrais que generaliza muitas transformadas clássicas. Possui 4 parâmetros e 1 restrição, portanto é uma família tridimensional e pode ser visualizada como a ação do grupo linear especial SL ₂ ( R ) no plano tempo-frequência (domínio). Como isso define a função original até um signo, isso se traduz em uma ação de sua tampa dupla no espaço da função original.

O LCT generaliza as transformações de Fourier , Fourier fracionária , Laplace , Gauss-Weierstrass , Bargmann e as transformações de Fresnel como casos particulares. O nome "transformação canônica linear" vem de transformação canônica , um mapa que preserva a estrutura simplética, já que SL ₂ ( R ) também pode ser interpretado como o grupo simplético Sp ₂ e, portanto, os LCTs são os mapas lineares do domínio tempo-frequência que preservam a forma simplética , e sua ação no espaço de Hilbert é dada pelo grupo Metaplético .

As propriedades básicas das transformações mencionadas acima, como escala, deslocamento, multiplicação de coordenadas são consideradas. Qualquer transformação canônica linear está relacionada a transformações afins no espaço de fase, definidas por coordenadas de tempo-frequência ou posição-momento.

Definição

O LCT pode ser representado de várias maneiras; mais facilmente, pode ser parametrizado por uma matriz 2 × 2 com determinante 1, ou seja, um elemento do grupo linear especial SL ₂ ( C ). Então, para qualquer matriz com ad - bc = 1, a transformação integral correspondente de uma função para é definida como ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right),}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle X (u)}$

{\ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = {\ begin {cases} {\ sqrt {\ frac {1} {ib}}} \ cdot e ^ {i \ pi {\ frac {d} {b}} u ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {1} {b}} ut} e ^ {i \ pi {\ frac {a} {b}} t ^ {2}} x (t) \; dt \ ,, & {\ text {quando}} b \ neq 0, \\ {\ sqrt {d}} \ cdot e ^ {i \ pi cdu ^ {2}} x (du) \ ,, & {\ text {quando}} b = 0. \ end {casos}}}

Casos especiais

Muitas transformadas clássicas são casos especiais da transformação canônica linear:

Dimensionamento

Scaling , , corresponde a escalonando as dimensões de tempo e de frequência inversamente (como o tempo passa mais rapidamente, as frequências são mais elevados e os psiquiatras dimensão temporal): ${\ displaystyle x (u) \ mapsto {\ sqrt {\ sigma}} x (\ sigma u)}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 / \ sigma & 0 \\ 0 & \ sigma \ end {bmatrix}}}

transformada de Fourier

A transformada de Fourier corresponde a uma rotação no sentido horário de 90 ° no plano tempo-frequência, representado pela matriz:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

Transformada fracionária de Fourier

A transformada fracionária de Fourier corresponde à rotação por um ângulo arbitrário; eles são os elementos elípticos de SL ₂ ( R ), representados pelas matrizes:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end { bmatrix}}}

A transformada de Fourier é a transformada fracionária de Fourier quando a transformada inversa de Fourier corresponde a

{\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}.}

Transformada de Fresnel

A transformada de Fresnel corresponde ao cisalhamento e são uma família de elementos parabólicos , representados pelas matrizes,

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,,}

onde

z

é a distância e

λ

é o comprimento de onda.

Transformada de Laplace

A transformada de Laplace corresponde à rotação de 90 ° no domínio complexo e pode ser representada pela matriz:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {bmatrix}}}

Transformada fracionária de Laplace

A transformada de Laplace fracionária corresponde à rotação por um ângulo arbitrário no domínio complexo e pode ser representada pela matriz:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} i \ cos \ theta & i \ sin \ theta \\ i \ sin \ theta & -i \ cos \ theta \ end {bmatrix}}}

A transformada de Laplace é a transformada de Laplace fracionária quando a transformada de Laplace inversa corresponde a

{\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}.}

Multiplicação chirp

Multiplicação chirp,, corresponde a : ${\ displaystyle x (u) \ mapsto e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} x (u)}$ ${\ displaystyle b = 0, c = \ tau}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\\ tau & 1 \ end {bmatrix}}}

Composição

A composição de LCTs corresponde à multiplicação das matrizes correspondentes; isso também é conhecido como propriedade de aditividade da função de distribuição de Wigner (WDF). Ocasionalmente, o produto das transformações pode pegar um fator de sinal devido à escolha de um ramo diferente da raiz quadrada na definição do LCT. Na literatura, isso é denominado fase metaplética .

Se o LCT é denotado por , ou seja, ${\ displaystyle O_ {F} ^ {(a, b, c, d)}}$

{\ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = O_ {F} ^ {(a, b, c, d)} [x (t)] \ ,,}

então

{\ displaystyle O_ {F} ^ {(a_ {2}, b_ {2}, c_ {2}, d_ {2})} \ left \ {O_ {F} ^ {(a_ {1}, b_ {1 }, c_ {1}, d_ {1})} [x (t)] \ direita \} = O_ {F} ^ {(a_ {3}, b_ {3}, c_ {3}, d_ {3} )} [x (t)] \ ,,}

Onde

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {3} & b_ {3} \\ c_ {3} & d_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {2} & b_ {2} \\ c_ {2} & d_ {2} \ end {bmatriz}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} \\ c_ {1} & d_ {1} \ end {bmatrix}}.}

Se for o , onde está o LCT de , então ${\ displaystyle W_ {X (a, b, c, d)} (u, v)}$ ${\ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u)}$ ${\ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u)}$ ${\ displaystyle x (t)}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & W_ {X (a, b, c, d)} (u, v) & = & \; W_ {x} (du-bv, -cu + av) \\ & W_ { X (a, b, c, d)} (au + bv, cu + dv) & = & \; W_ {x} (u, v) \ end {alinhado}}}

LCT é igual à operação de torção para o WDF e a distribuição de classe de Cohen também tem a operação de torção.

Podemos usar livremente o LCT para transformar o paralelogramo cujo centro está em (0,0) para outro paralelogramo que tem a mesma área e o mesmo centro

Desta imagem sabemos que o ponto (-1,2) se transforma no ponto (0,1) e o ponto (1,2) se transforma no ponto (4,3). Como resultado, podemos escrever as equações abaixo

{\ displaystyle {\ begin {cases} -a + 2b & = 0 \\ - c + 2d & = 1 \ end {cases}} \ qquad {\ begin {cases} a + 2b & = 4 \\ c + 2d & = 3 \ fim {casos}}}

podemos resolver as equações e obter (a, b, c, d) é igual a (2,1,1,1)

Em óptica e mecânica quântica

Os sistemas ópticos paraxiais implementados inteiramente com lentes finas e propagação através do espaço livre e / ou meios de índice graduado (GRIN), são sistemas de fase quadrática (QPS); estes eram conhecidos antes de Moshinsky e Quesne (1974) chamarem a atenção para sua importância em relação às transformações canônicas na mecânica quântica. O efeito de qualquer QPS arbitrário em um campo de onda de entrada pode ser descrito usando a transformada canônica linear, um caso particular desenvolvido por Segal (1963) e Bargmann (1961) para formalizar o cálculo do bóson de Fock (1928).

Na mecânica quântica , as transformações canônicas lineares podem ser identificadas com as transformações lineares que misturam o operador de momento com o operador de posição e deixam invariáveis as relações de comutação canônicas .

Formulários

As transformadas canônicas são usadas para analisar equações diferenciais. Isso inclui a difusão , a partícula livre de Schrödinger , o potencial linear (queda livre) e as equações do oscilador atraente e repulsivo. Também inclui alguns outros, como a equação de Fokker-Planck . Embora essa classe esteja longe de ser universal, a facilidade com que as soluções e propriedades são encontradas torna as transformações canônicas uma ferramenta atraente para problemas como esses.

A propagação das ondas através do ar, uma lente e entre as antenas parabólicas é discutida aqui. Todos os cálculos podem ser reduzidos a álgebra matricial 2 × 2. Este é o espírito do LCT.

Propagação de ondas eletromagnéticas

Assumindo que o sistema se parece com o representado na figura, a onda viaja do plano $x i$ , $y i -$ plano para o $x$ , $y -$ plano. A transformada de Fresnel é usada para descrever a propagação de ondas eletromagnéticas no ar:

{\ displaystyle U_ {0} (x, y) = - {\ frac {j} {\ lambda}} {\ frac {e ^ {jkz}} {z}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {j {\ frac {k} {2z}} [(x-x_ {i}) ^ {2} + (y-y_ {i} ) ^ {2}]} U_ {i} (x_ {i}, y_ {i}) \; dx_ {i} \; dy_ {i},}

Onde

${\ displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}$ é o número da onda ;
$λ$ é o comprimento de onda ;
$z$ é a distância de propagação; e
${\ displaystyle j = {\ sqrt {-1}}}$ é a unidade imaginária.

Isso é equivalente a LCT (cisalhamento), quando

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Quando a distância percorrida ( $z$ ) é maior, o efeito de cisalhamento é maior.

Lente esférica

Com a lente representada na figura e o índice de refração denotado como $n$ , o resultado é:

{\ displaystyle U_ {0} (x, y) = e ^ {jkn \ Delta} e ^ {- j {\ frac {k} {2f}} [x ^ {2} + y ^ {2}]} U_ {i} (x, y)}

onde $f$ é a distância focal e Δ é a espessura da lente.

A distorção que passa pela lente é semelhante ao LCT, quando

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda f}} & 1 \ end {bmatrix}}. }

Este também é um efeito de cisalhamento: quando a distância focal é menor, o efeito de cisalhamento é maior.

Espelho esférico

O espelho esférico, por exemplo, uma antena parabólica, pode ser descrito como um LCT, com

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R}} & 1 \ end {bmatrix}}. }

Isto é muito semelhante à lente, excepto distância focal é substituído pelo raio do prato, $R$ . Portanto, se o raio for menor, o efeito de cisalhamento será maior.

Espaço livre da junta e lente esférica

A relação entre a entrada e a saída, podemos usar LCT para representar

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z_ {2} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & -1 / \ lambda f \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda z_ {1} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1-z_ {2} / f & \ lambda (z_ {1} + z_ {2}) - \ lambda z_ {1} z_ {2} / f \\ - 1 / \ lambda f & 1-z_ {1} / f \ end {bmatrix}} \, .}

Se , é a imagem real reversa. ${\ displaystyle z_ {1} = z_ {2} = 2f}$
Se , é transformada de Fourier + escala ${\ displaystyle z_ {1} = z_ {2} = f}$
Se , é transformada de Fourier fracionária + escala ${\ displaystyle z_ {1} = z_ {2}}$

Propriedades Básicas

Nesta parte, mostramos as propriedades básicas do LCT


Operador	Matriz de transformação
${\ displaystyle L (T)}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle L (T_ {1}) L (T_ {2})}$	${\ displaystyle T_ {2} T_ {1}}$
${\ displaystyle L ^ {- 1} (T) = L (T ^ {- 1})}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {t} & - b ^ {t} \\ - c ^ {t} & a ^ {t} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle L ({\ widehat {T}}) = L ^ {*} (T ^ {- 1})}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {t} & b ^ {t} \\ c ^ {t} & a ^ {t} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle F}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & I \\ - I & 0 \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} FL (T) F ^ {- 1} = L ^ {} (T ^ {t-1}) \\ F ^ {- 1} L (T) F = L ^ {} (T ^ {t-1}) \ end {casos}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {bmatrix}}}$

Dado um vetor de coluna bidimensional , mostramos algumas propriedades básicas (resultado) para a entrada específica abaixo ${\ displaystyle r = {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}$


Entrada	Saída	Observação
${\ displaystyle f_ {i} (r)}$	${\ displaystyle f_ {o} (r) = L (T) {\ displaystyle f_ {i} (r)} \ ,,}$ Onde ${\ displaystyle \, T = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} f_ {n} (r)}$	${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} Lf_ {n} (r)}$	linearidade
${\ displaystyle f_ {i} (r), h_ {i} (r)}$	${\ displaystyle \ int f_ {i} (r) h_ {i} ^ {} (r) dr = \ int f_ {o} (r) h_ {o} ^ {} (r) dr}$	Teorema de Parseval
${\ displaystyle f_ {i} ^ {*} (r)}$	${\ displaystyle [L (T ^ {- 1}) f_ {i} (r)] ^ {*} \ ,,}$ Onde ${\ displaystyle \, T ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} d ^ {t} & - b ^ {t} \\ - c ^ {t} & a ^ {t} \ end {bmatrix}}}$	conjugado complexo
${\ displaystyle \ mathrm {M} ^ {n} f_ {i} (r)}$	${\ displaystyle (d ^ {t} \ mathrm {M} -b ^ {t} D) ^ {n} f_ {o} (r) \ qquad \ mathrm {M} = r}$	multiplicação
${\ displaystyle D ^ {n} f_ {i} (r)}$	${\ displaystyle (-c ^ {t} \ mathrm {M} -a ^ {t} D) ^ {n} f_ {o} (r) \ qquad D = (i2 \ pi) ^ {- 1} \ nabla ^ {t}}$	derivação
${\ displaystyle f_ {i} (r) e ^ {i2 \ pi k ^ {t} r}}$	${\ displaystyle f_ {o} (r-bk) e ^ {i2 \ pi k ^ {t} d ^ {t} r} e ^ {- i \ pi k ^ {t} b ^ {t} dk}}$	modulação
${\ displaystyle f_ {i} (rk)}$	${\ displaystyle f_ {o} (r) e ^ {i2 \ pi k ^ {t} c ^ {t} r} e ^ {- i \ pi k ^ {t} c ^ {t} ak}}$	mudança
${\ displaystyle \| \ det (W) \| ^ {- 1/2} f_ {i} (W ^ {- 1} r)}$	${\ displaystyle L ({\ tilde {T}}) f_ {i} (r) \ ,,}$ Onde ${\ displaystyle \, {\ tilde {T}} = T {\ begin {bmatrix} W & 0 \\ 0 & W ^ {t-1} \ end {bmatrix}}}$	escala
${\ displaystyle f_ {i} (- r)}$	${\ displaystyle L (-T) f_ {i} (r) = f_ {o} (- r)}$	escala
1	${\ displaystyle (\ det (A)) ^ {- 1/2} e ^ {i \ pi r ^ {t} CA ^ {- 1} r}}$
${\ displaystyle e ^ {i \ pi r ^ {t} L_ {i} r}}$	${\ displaystyle [\ det (A + iL_ {i})] ^ {- 1/2} e ^ {- \ pi r ^ {t} L_ {o} r} \ ,,}$ Onde ${\ displaystyle \, iL_ {o} = (C + iDL_ {i}) (A + iBL_ {i}) ^ {- 1}}$
${\ displaystyle e ^ {i2 \ pi k ^ {t} r}}$	${\ displaystyle (\ det (A)) ^ {- 1/2} e ^ {i \ pi r ^ {t} CA ^ {- 1} r} * e ^ {- i \ pi k ^ {t} A ^ {- 1} BK} e ^ {i2 \ pi k ^ {t} CA ^ {- 1} r}}$

Exemplo

O sistema considerado é representado na figura à direita: dois pratos - sendo um deles o emissor eo outro o receptor - e um sinal viajando entre eles a uma distância D . Em primeiro lugar, para o prato A (emissor), a matriz LCT se parece com isto:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {A}}} & 1 \ end {bmatrix}}.}

Então, para o prato B (receptor), a matriz LCT torna-se da mesma forma:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {B}}} & 1 \ end {bmatrix}}.}

Por último, para a propagação do sinal no ar, a matriz LCT é:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda D \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Juntando todos os três componentes, o LCT do sistema é:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {B}}} & 1 \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda D \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ lambda R_ {A}}} & 1 \ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 - {\ frac {D} {R_ {A}}} & - \ lambda D \\ {\ frac {1} {\ lambda}} (R_ {A} ^ { -1} + R_ {B} ^ {- 1} -R_ {A} ^ {- 1} R_ {B} ^ {- 1} D) & 1 - {\ frac {D} {R_ {B}}} \ fim {bmatrix}} \ ,.}

Relação com a física de partículas

Foi demonstrado que pode ser possível estabelecer uma relação entre algumas propriedades do Férmion elementar no Modelo Padrão de Física de Partículas e a representação de Spin de transformações canônicas lineares. Nesta abordagem, a carga elétrica , hipercarga fraca e isospin fraca das partículas são expressas como combinações lineares de alguns operadores definidos a partir dos geradores da álgebra de Clifford associados à representação de spin de transformações canônicas lineares.

Veja também

Distribuição Segal-Shale-Weil , um grupo metaplético de operadores relacionados à transformada chirplet
Outras transformações de tempo-frequência:
Formulários:
- Recuperação de foco com base na transformação canônica linear
- Análise de matriz de transferência de raios

Notas

^ de Bruijn, NG (1973). "Uma teoria das funções generalizadas, com aplicações para distribuição de Wigner e correspondência de Weyl", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Ser., 21 205-280.
^ PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Estrutura de convolução para duas versões da transformada de Laplace fracionária. Journal of Science and Arts, 2 (15): 143-150. "Cópia arquivada" . Arquivado do original em 23/12/2012 . Página visitada em 29/08/2012 .CS1 maint: cópia arquivada como título ( link )
^ KB Wolf (1979) cap. 9: transformações canônicas .
^ KB Wolf (1979) cap. 9 e 10 .
^ Goodman, Joseph W. (2005), Introdução à óptica de Fourier (3ª ed.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4, §5.1.3, pp. 100–102.
^ RT Ranaivoson e outros (2021) Phys. Scr. 96 065204

Referências

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RT Ranaivoson et al, "Linear Canonical Transformations in Relativistic Quantum Physics", Phys. Scr. 96 , 065204, (2021).
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[1] Bruijn, NG (1973). "Uma teoria das funções generalizadas, com aplicações para distribuição de Wigner e correspondência de Weyl", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Ser., 21 205-280.

[2] PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Estrutura de convolução para duas versões da transformada de Laplace fracionária. Journal of Science and Arts, 2 (15): 143-150. "Cópia arquivada" . Arquivado do original em 23/12/2012 . Página visitada em 29/08/2012 .CS1 maint: cópia arquivada como título ( link )

[3] KB Wolf (1979) cap. 9: transformações canônicas .

[4] KB Wolf (1979) cap. 9 e 10 .

[5] Goodman, Joseph W. (2005), Introdução à óptica de Fourier (3ª ed.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4, §5.1.3, pp. 100–102.

[6] RT Ranaivoson e outros (2021) Phys. Scr. 96 065204

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