Operador Momentum - Momentum operator

Na mecânica quântica , o operador de momento é o operador associado ao momento linear . O operador momentum é, na representação da posição, um exemplo de operador diferencial . Para o caso de uma partícula em uma dimensão espacial, a definição é:

${\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$

onde ħ é a constante reduzida de Planck , i a unidade imaginária , x é a coordenada espacial e uma derivada parcial (denotada por ) é usada em vez de uma derivada total ( d / dx ), uma vez que a função de onda também é uma função do tempo. O "chapéu" indica um operador. A "aplicação" do operador em uma função de onda diferenciável é a seguinte: ${\ displaystyle \ partial / \ partial x}$

${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}}$

Em uma base de espaço de Hilbert consistindo de autoestados de momento expressos na representação de momento, a ação do operador é simplesmente a multiplicação por p , ou seja, é um operador de multiplicação , assim como o operador de posição é um operador de multiplicação na representação de posição. Observe que a definição acima é o momento canônico , que não é invariante no medidor e não é uma quantidade física mensurável para partículas carregadas em um campo eletromagnético . Nesse caso, o momento canônico não é igual ao momento cinético .

Na época em que a mecânica quântica foi desenvolvida na década de 1920, o operador de momento foi encontrado por muitos físicos teóricos, incluindo Niels Bohr , Arnold Sommerfeld , Erwin Schrödinger e Eugene Wigner . Sua existência e forma às vezes são tidas como um dos postulados fundamentais da mecânica quântica.

Origem das ondas planas De Broglie

Os operadores de momentum e energia podem ser construídos da seguinte maneira.

Uma dimensão

Começando em uma dimensão, usando a solução de onda plana para a equação de Schrödinger de uma única partícula livre,

${\ displaystyle \ psi (x, t) = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} (px-Et)},}$

onde p é interpretado como momento na direção x e E é a energia da partícula. A derivada parcial de primeira ordem em relação ao espaço é

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial x}} = {\ frac {ip} {\ hbar}} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} ( px-Et)} = {\ frac {ip} {\ hbar}} \ psi.}$

Isso sugere a equivalência do operador

${\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$

portanto, o momento da partícula e o valor que é medido quando uma partícula está em um estado de onda plana é o autovalor do operador acima.

Uma vez que a derivada parcial é um operador linear , o operador momentum também é linear, e como qualquer função de onda pode ser expressa como uma superposição de outros estados, quando este operador momentum atua em toda a onda sobreposta, ele produz os autovalores de momentum para cada plano componente de onda. Esses novos componentes então se sobrepõem para formar o novo estado, em geral não um múltiplo da antiga função de onda.

Três dimensões

A derivação em três dimensões é a mesma, exceto o operador gradiente del é usado em vez de uma derivada parcial. Em três dimensões, a solução de onda plana para a equação de Schrödinger é:

${\ displaystyle \ psi = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et)}}$

e o gradiente é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ nabla \ psi & = \ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ mathbf {e} _ {y} { \ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} \\ & = {\ frac {i} { \ hbar}} \ left (p_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + p_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + p_ {z} \ mathbf {e} _ {z} \ right ) \ psi \\ & = {\ frac {i} {\ hbar}} \ mathbf {p} \ psi \ end {alinhado}}}$

onde e _x , e _y e e _z são os vetores unitários para as três dimensões espaciais, portanto

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}$

Este operador momentum está no espaço de posição porque as derivadas parciais foram tomadas em relação às variáveis ​​espaciais.

Definição (espaço de posição)

Para uma única partícula sem carga elétrica e sem spin , o operador de momento pode ser escrito na base de posição como:

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}$

onde ∇ é o gradiente de operador, ħ é a reduzida constante de Planck , e i é a unidade imaginária .

Em uma dimensão espacial, isso se torna:

${\ displaystyle {\ hat {p}} = {\ hat {p}} _ {x} = - i \ hbar {\ partial \ over \ partial x}.}$

Esta é a expressão para o momento canônico . Para uma partícula carregada q em um campo eletromagnético , durante uma transformação de calibre , a função de onda espacial de posição sofre uma transformação de grupo U (1) local e mudará seu valor. Portanto, o momento canônico não é invariante no medidor e, portanto, não é uma quantidade física mensurável. ${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}}$

O momento cinético , uma quantidade física invariante de calibre, pode ser expresso em termos do momento canônico, o potencial escalar  φ e o potencial vetorial  A :

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {P}} = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$

A expressão acima é chamada de acoplamento mínimo . Para partículas eletricamente neutras, o momento canônico é igual ao momento cinético.

Propriedades

Hermiticidade

O operador momentum é sempre um operador Hermitiano (mais tecnicamente, na terminologia matemática, um "operador auto-adjunto") quando atua em estados quânticos físicos (em particular normalizáveis ).

(Em certas situações artificiais, como os estados quânticos no intervalo semi-infinito [0, ∞), não há como tornar o operador de momento Hermitiano. Isso está intimamente relacionado ao fato de que um intervalo semi-infinito não pode ter simetria translacional - mais especificamente, ele não tem operadores de tradução unitários . Veja abaixo .)

Relação de comutação canônica

Pode-se facilmente mostrar isso usando apropriadamente a base de momentum e a base de posição:

${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] = {\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} {\ hat {x}} = i \ hbar.}$

O princípio da incerteza de Heisenberg define os limites de quão precisamente o momento e a posição de um único sistema observável podem ser conhecidos de uma só vez. Na mecânica quântica, a posição e o momento são variáveis ​​conjugadas .

transformada de Fourier

A discussão a seguir usa a notação bra-ket . Alguém pode escrever

${\ displaystyle \ psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle = \ int \! \! dp ~ \ langle x | p \ rangle \ langle p | \ psi \ rangle = \ int \! \! dp ~ {e ^ {ixp / \ hbar} {\ tilde {\ psi}} (p) \ over {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}},}$

portanto, o til representa a transformada de Fourier, na conversão de espaço de coordenadas para espaço de momento. Em seguida, sustenta que

${\ displaystyle {\ hat {p}} = \ int \! \! dp ~ | p \ rangle p \ langle p | = -i \ hbar \ int \! \! dx ~ | x \ rangle {\ frac {d } {dx}} \ langle x | ~,}$

ou seja, o momento agindo no espaço de coordenadas corresponde à frequência espacial,

${\ displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle = -i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ psi (x).}$

Um resultado análogo se aplica ao operador de posição na base do momento,

${\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {d} {dp}} \ psi (p),}$

levando a mais relações úteis,

${\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | p '\ rangle = i \ hbar {\ frac {d} {dp}} \ delta (p-p'),}$

${\ displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | x '\ rangle = -i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ delta (x-x'),}$

onde δ representa a função delta de Dirac .

Derivação de traduções infinitesimais

O operador de tradução é denotado por T ( ε ) , onde ε representa o comprimento da tradução. Ele satisfaz a seguinte identidade:

${\ displaystyle T (\ varepsilon) | \ psi \ rangle = \ int dxT (\ varepsilon) | x \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle}$

isso se torna

${\ displaystyle \ int dx | x + \ varejpsilon \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ langle x- \ varejpsilon | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ psi ( x- \ varepsilon)}$

Supondo que a função ψ seja analítica (ou seja, diferenciável em algum domínio do plano complexo ), pode-se expandir em uma série de Taylor sobre x :

${\ displaystyle \ psi (x- \ varepsilon) = \ psi (x) - \ varepsilon {\ frac {d \ psi} {dx}}}$

então, para valores infinitesimais de ε :

${\ displaystyle T (\ varepsilon) = 1- \ varejpsilon {d \ over dx} = 1- {i \ over \ hbar} \ varejpsilon \ left (-i \ hbar {d \ over dx} \ right)}$

Como é conhecido da mecânica clássica , o momento é o gerador da translação , portanto a relação entre os operadores de translação e momento é:

${\ displaystyle T (\ varepsilon) = 1- {i \ over \ hbar} \ varepsilon {\ hat {p}}}$

portanto

${\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {d \ over dx}.}$

Operador de 4 momentum

Inserindo o operador de momento 3d acima e o operador de energia no momento 4 (como uma forma 1 com assinatura métrica (+ - - -) ):

${\ displaystyle P _ {\ mu} = \ left ({\ frac {E} {c}}, - \ mathbf {p} \ right)}$

obtém o operador de 4 momentos ;

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ mu} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ hat {E}}, - \ mathbf {\ hat {p}} \ right) = i \ hbar \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) = i \ hbar \ partial _ {\ mu}}$

onde ∂ _μ é o gradiente de 4 , e o - iħ  torna-se + iħ  precedendo o operador de 3 momentos. Este operador ocorre na teoria quântica de campo relativística , como a equação de Dirac e outras equações de onda relativísticas , uma vez que a energia e o momento se combinam no vetor de 4 momentos acima, os operadores de momento e energia correspondem às derivadas de espaço e tempo e precisam ser os primeiros derivadas parciais de ordem para covariância de Lorentz .

O operador de Dirac e a barra de Dirac do momento 4 é dada pela contração com as matrizes gama :

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} = i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} = {\ hat {P}} = i \ hbar \ parcial \! \! \! /}$

Se a assinatura fosse (- + + +) , o operador seria

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ mu} = \ left (- {\ frac {1} {c}} {\ hat {E}}, \ mathbf {\ hat {p}} \ right) = -i \ hbar \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) = - i \ hbar \ partial _ {\ mu}}$

em vez de.

Veja também

• Descrições matemáticas do campo eletromagnético
• Operador de tradução (mecânica quântica)
• Equações de onda relativísticas
• Pseudovetor Pauli – Lubanski

Referências