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Esta é uma lista de regras de inferência , leis lógicas que se relacionam com fórmulas matemáticas.
Introdução
As regras de inferência são regras de transformação sintática que podem ser usadas para inferir uma conclusão a partir de uma premissa para criar um argumento. Um conjunto de regras pode ser usado para inferir qualquer conclusão válida se for completa, enquanto nunca inferir uma conclusão inválida, se for sólida. Um conjunto de regras sólido e completo não precisa incluir todas as regras da lista a seguir, pois muitas das regras são redundantes e podem ser comprovadas com as outras regras.
As regras de descarga permitem a inferência de uma subderivação com base em uma suposição temporária. Abaixo, a notação
indica tal subderivação da suposição temporária para .
Regras para cálculo sentencial clássico
O cálculo sentencial também é conhecido como cálculo proposicional .
Regras para negações
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Reductio ad absurdum (ou introdução à negação )
- Reductio ad absurdum (relacionado à lei do terceiro excluído )
- Quodlibet ex contradictione
- Eliminação de dupla negação
- Introdução de dupla negação
Regras para condicionais
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Teorema da dedução (ou introdução condicional )
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Modus ponens (ou Eliminação Condicional )
- Modus tollens
Regras para conjunções
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Adjunção (ou Conjunção Introdução )
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Simplificação (ou Eliminação de Conjunção )
Regras para disjunções
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Adição (ou Disjunção Introdução )
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Análise de caso (ou Prova por Casos ou Argumento por Casos ou Eliminação de Disjunção )
- Silogismo disjuntivo
- Dilema construtivo
Regras para bicondicionais
- Introdução bicondicional
- Eliminação bicondicional
Nas regras a seguir, é exatamente igual, exceto por ter o termo onde quer que tenha a variável livre .
-
Generalização universal (ou introdução universal )
Restrição 1: é uma variável que não ocorre em .
Restrição 2: não é mencionada em nenhuma hipótese ou suposição não descarregada.
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Instanciação universal (ou eliminação universal )
Restrição: Nenhuma ocorrência livre de in se enquadra no escopo de um quantificador que quantifica uma variável que ocorre em .
-
Generalização existencial (ou introdução existencial )
Restrição: Nenhuma ocorrência livre de in se enquadra no escopo de um quantificador que quantifica uma variável que ocorre em .
-
Instanciação existencial (ou eliminação existencial )
Restrição 1: é uma variável que não ocorre em .
Restrição 2: Não há ocorrência, livre ou vinculada, de in .
Restrição 3: não é mencionado em nenhuma hipótese ou suposição não descarregada.
Os seguintes são casos especiais de generalização universal e eliminação existencial; estes ocorrem em lógicas subestruturais, como a lógica linear .
- Regra de enfraquecimento (ou monotonicidade de vinculação ) (também conhecido como teorema da não clonagem )
- Regra de contração (ou idempotência de implicação ) (também conhecido como teorema de não exclusão )
Tabela: Regras de inferência
As regras acima podem ser resumidas na tabela a seguir. A coluna " Tautologia " mostra como interpretar a notação de uma determinada regra.
Regras de inferência
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Tautologia
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Nome
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Modus ponens
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Modus tollens
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Associativo
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Comutativo
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Lei das proposições bicondicionais
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Exportação
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Lei de transposição ou contraposição
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Silogismo hipotético
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Implicação material
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Distributiva
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Absorção
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Silogismo disjuntivo
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Adição
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Simplificação
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Conjunção
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Negação dupla
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Simplificação disjuntiva
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Resolução
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Eliminação de disjunção
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Todas as regras usam os operadores lógicos básicos. Uma tabela completa de "operadores lógicos" é mostrada por uma tabela de verdade , dando definições de todas as funções de verdade possíveis (16) de 2 variáveis booleanas ( p , q ):
p |
q
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
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8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15
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T |
T
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F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
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T |
T |
T |
T |
T |
T |
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T
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T |
F
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F |
F |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
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F |
F |
F |
F |
T |
T |
T |
T
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F |
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F |
F |
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T |
F |
F |
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F |
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F |
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T
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F
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F |
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F |
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F |
T |
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F |
T |
F |
T |
F |
T |
F |
T
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onde T = verdadeiro e F = falso, e, as colunas são os operadores lógicos: 0 , falso, Contradição ; 1 , NOR, NOR lógico (seta de Peirce); 2 , Converse não implicação ; 3 , ¬p , Negação ; 4 , não implicação material ; 5 , ¬q , Negação; 6 , XOR, disjunção exclusiva ; 7 , NAND, NAND lógico (AVC de Sheffer); 8 , E, conjunção lógica ; 9 , XNOR, Se e somente se , Bicondicional lógico ; 10 , q , função de projeção ; 11 , se / então, implicação lógica ; 12 , p , Função de projeção; 13 , então / se, implicação inversa ; 14 , OR, disjunção lógica ; 15 , verdade, Tautologia .
Cada operador lógico pode ser usado em uma afirmação sobre variáveis e operações, mostrando uma regra básica de inferência. Exemplos:
- O operador coluna 14 (OR) mostra a regra de adição : quando p = T (a hipótese seleciona as duas primeiras linhas da tabela), vemos (na coluna 14) que p ∨ q = T.
- Podemos ver também que, com a mesma premissa, outras conclusões são válidas: as colunas 12, 14 e 15 são T.
- O operador coluna 8 (AND), mostra a regra de Simplificação : quando p ∧ q = T (primeira linha da tabela), vemos que p = T.
- Com essa premissa, também concluímos que q = T, p ∨ q = T, etc. como mostrado pelas colunas 9-15.
- O operador coluna 11 (IF / THEN), mostra a regra Modus ponens : quando p → q = T ep = T apenas uma linha da tabela verdade (a primeira) satisfaz essas duas condições. Nessa linha, q também é verdadeiro. Portanto, sempre que p → q for verdadeiro e p for verdadeiro, q também deve ser verdadeiro.
Máquinas e pessoas bem treinadas usam essa abordagem de olhar em tabela para fazer inferências básicas e para verificar se outras inferências (para as mesmas premissas) podem ser obtidas.
Exemplo 1
Considere as seguintes suposições: "Se chover hoje, não iremos de canoa hoje. Se não fizermos uma viagem de canoa hoje, faremos uma viagem de canoa amanhã. Portanto (símbolo matemático para" portanto " é ), se chover hoje, amanhã faremos um passeio de canoa ". Para fazer uso das regras de inferência da tabela acima, deixamos ser a proposição "Se chover hoje", ser "Não vamos andar de canoa hoje" e ser "Faremos passeio de canoa amanhã". Então, este argumento tem a forma:
Exemplo 2
Considere um conjunto mais complexo de suposições: "Não está ensolarado hoje e está mais frio do que ontem". "Só vamos nadar se estiver sol", "Se não formos nadar faremos um churrasco", e "Se fizermos um churrasco, estaremos em casa ao pôr do sol" levam à conclusão " Estaremos em casa ao pôr do sol. " Prova por regras de inferência: seja a proposição "Hoje está ensolarado", a proposição "Está mais frio que ontem", a proposição "Vamos nadar", a proposição "Faremos um churrasco" e a proposição " Estaremos em casa ao pôr do sol ". Então as hipóteses se tornam e . Usando nossa intuição, conjeturamos que a conclusão pode ser . Usando a tabela de Regras de Inferência, podemos provar a conjectura facilmente:
Etapa
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Razão
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1
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Hipótese
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2
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Simplificação usando a Etapa 1
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3
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Hipótese
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4
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Modus tollens usando as etapas 2 e 3
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5
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Hipótese
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6
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Modus ponens usando as etapas 4 e 5
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7
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Hipótese
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8
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Modus ponens usando as etapas 6 e 7
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Referências
-
^ Kenneth H. Rosen: Matemática discreta e suas aplicações , quinta edição, p. 58
Veja também
Lista de sistemas lógicos