Anel local - Local ring

Na álgebra abstrata , mais especificamente na teoria dos anéis , os anéis locais são certos anéis que são comparativamente simples e servem para descrever o que é chamado de "comportamento local", no sentido de funções definidas em variedades ou variedades , ou de campos de números algébricos examinados em um lugar particular , ou nobre. Álgebra local é o ramo da álgebra comutativa que estuda anéis locais comutativos e seus módulos .

Na prática, um anel local comutativo geralmente surge como resultado da localização de um anel em um ideal primo .

O conceito de anéis locais foi introduzido por Wolfgang Krull em 1938 sob o nome de Stellenringe . O termo em inglês local ring é devido a Zariski .

Definição e primeiras consequências

Um anel R é um anel local se tiver qualquer uma das seguintes propriedades equivalentes:

• R tem um ideal de esquerda máximo único .
• R tem um ideal máximo máximo único.
• 1 ≠ 0 e a soma de quaisquer duas não unidades em R é uma não unidade.
• 1 ≠ 0 e se x for qualquer elemento de R , então x ou 1 - x é uma unidade.
• Se uma soma finita é uma unidade, então ela tem um termo que é uma unidade (isso diz em particular que a soma vazia não pode ser uma unidade, então implica 1 ≠ 0).

Se essas propriedades se mantiverem, então o ideal máximo único à esquerda coincide com o ideal máximo único à direita e com o radical Jacobson do anel . A terceira das propriedades listadas acima diz que o conjunto de não unidades em um anel local forma um ideal (próprio), necessariamente contido no radical Jacobson. A quarta propriedade pode ser parafraseada da seguinte forma: um anel R é local se e somente se não existirem dois ideais coprime ( principal ) (à esquerda), onde dois ideais I ₁ , I ₂ são chamados de coprime se R = I ₁ + I ₂ .

No caso de anéis comutativos , não é necessário distinguir entre os ideais esquerdo, direito e bilateral: um anel comutativo é local se e somente se tiver um único ideal máximo. Antes de 1960, muitos autores exigiam que um anel local fosse (esquerdo e direito) Noetheriano , e (possivelmente não-Noetherian) anéis locais eram chamados de anéis quase-locais . Neste artigo, este requisito não é imposto.

Um anel local que é um domínio integral é chamado de domínio local .

Exemplos

• Todos os campos (e campos de inclinação ) são anéis locais, uma vez que {0} é o único ideal máximo nesses anéis.
• O anel é um anel local ( p linha , n ≥ 1 ). O único ideal máximo consiste em todos os múltiplos de p .${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$
• Mais geralmente, um anel diferente de zero em que cada elemento é uma unidade ou nilpotente é um anel local.
• Uma classe importante de anéis locais são os anéis de avaliação discreta , que são domínios ideais principais locais que não são campos.
• O anel , cujos elementos são séries infinitas onde as multiplicações são dadas por tal , é local. Seu ideal máximo único consiste em todos os elementos que não são invertíveis. Em outras palavras, ele consiste em todos os elementos com termo constante zero.${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x]]}$${\ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i}}$${\ textstyle (\ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i}) (\ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} b_ {i} x ^ {i} ) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} c_ {i} x ^ {i}}$${\ textstyle c_ {n} = \ sum _ {i + j = n} a_ {i} b_ {j}}$
• De modo mais geral, todo anel de série de potências formal sobre um anel local é local; o ideal máximo consiste naquelas séries de potências com termo constante no ideal máximo do anel de base.
• Da mesma forma, a álgebra de números duais em qualquer campo é local. Mais geralmente, se F é um anel local e n é um número inteiro positivo, então o anel quociente F [ X ] / ( X ⁿ ) é local com o ideal máximo consistindo nas classes de polinômios com termo constante pertencente ao ideal máximo de F , uma vez que se pode usar uma série geométrica para inverter todos os outros polinômios módulo X ⁿ . Se F for um campo, então os elementos de F [ X ] / ( X ⁿ ) são nilpotentes ou invertíveis . (Os números duais sobre F correspondem ao caso n = 2. )
• Os anéis de quociente diferente de zero de anéis locais são locais.
• O anel de números racionais com denominador ímpar é local; seu ideal máximo consiste nas frações com numerador par e denominador ímpar. São os inteiros localizados em 2.
• Mais geralmente, dado qualquer anel comutativo R e qualquer primo ideal P de R , a localização de R em P é local; o ideal máximo é o ideal gerado por P nesta localização; isto é, a máxima ideal consiste em todos os elementos A / S com uma ∈ P e s ∈ R - P .

Anel de germes

Para motivar o nome "local" para esses anéis, consideramos funções contínuas de valor real definidas em algum intervalo aberto em torno de 0 da linha real . Estamos apenas interessados ​​no comportamento dessas funções perto de 0 (seu "comportamento local") e, portanto, identificaremos duas funções se elas concordarem em algum intervalo aberto (possivelmente muito pequeno) em torno de 0. Esta identificação define uma relação de equivalência , e a classes de equivalência são chamadas de " germes de funções contínuas com valor real em 0". Esses germes podem ser adicionados e multiplicados e formar um anel comutativo.

Para ver que esse anel de germes é local, precisamos caracterizar seus elementos invertíveis. Um germe f é invertível se e somente se f (0) ≠ 0 . O motivo: se f (0) ≠ 0 , então por continuidade há um intervalo aberto em torno de 0 onde f é diferente de zero, e podemos formar a função g ( x ) = 1 / f ( x ) neste intervalo. A função g dá origem a um germe, e o produto de fg é igual a 1. (Por outro lado, se f é invertível, então existe algum g tal que f (0) g (0) = 1, portanto f (0) ≠ 0. )

Com essa caracterização, fica claro que a soma de quaisquer dois germes não invertíveis é novamente não invertível e temos um anel local comutativo. O ideal máximo desse anel consiste precisamente naqueles germes f com f (0) = 0 .

Exatamente os mesmos argumentos funcionam para o anel de germes de funções contínuas de valor real em qualquer espaço topológico em um determinado ponto, ou o anel de germes de funções diferenciáveis ​​em qualquer variedade diferenciável em um determinado ponto, ou o anel de germes de funções racionais em qualquer variedade algébrica em um determinado ponto. Todos esses anéis são, portanto, locais. Esses exemplos ajudam a explicar por que os esquemas , as generalizações de variedades, são definidos como espaços especiais em anel local .

Teoria de avaliação

Os anéis locais desempenham um papel importante na teoria da avaliação. Por definição, um anel de valorização de um campo K é um subanel R de tal modo que para cada elemento diferente de zero X de K , pelo menos um de x e x ^-1 é em R . Qualquer sub-raça será um anel local. Por exemplo, o anel de números racionais com denominador ímpar (mencionado acima) é um anel de avaliação em . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Dado um campo K , que pode ou não ser um campo de função , podemos procurar anéis locais nele. Se K foram de facto o campo função de uma variedade algébrica V , em seguida, para cada ponto P de V que se poderia tentar definir um anel de valorização R de funções definidas pelo "" P . Nos casos em que V tem dimensão 2 ou mais, há uma dificuldade que é vista desta forma: se F e G são funções racionais em V com

F ( P ) = G ( P ) = 0,

a função

F / G

é uma forma indeterminada em P . Considerando um exemplo simples, como

Y / X ,

abordado ao longo de uma linha

Y = tX ,

percebe-se que o valor em P é um conceito sem definição simples. Ele é substituído por meio de avaliações.

Não comutativo

Anéis locais não comutativos surgem naturalmente como anéis de endomorfismo no estudo de decomposições de soma direta de módulos sobre alguns outros anéis. Especificamente, se o anel de endomorfismo do módulo M é local, então M é indecomponível ; inversamente, se o módulo M tem comprimento finito e é indecomponível, então seu anel de endomorfismo é local.

Se k é um corpo de característica p > 0 e G é um grupo p finito , então a álgebra de grupo kG é local.

Alguns fatos e definições

Caso comutativo

Também escrevemos ( R , m ) para um anel local comutativo R com m ideal máximo . Cada tal anel torna-se um anel topológica de uma forma natural, se uma toma os poderes de m como uma base de vizinhança de 0. Este é o m topologia -adic em R . Se ( R , m ) é um anel local noetheriano comutativo , então

${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} m ^ {i} = \ {0 \}}$

( Teorema da intersecção de Krull ), e segue-se que R com a topologia m -adic é um espaço de Hausdorff . O teorema é uma consequência do lema de Artin-Rees junto com o lema de Nakayama e, como tal, a suposição "Noetheriana" é crucial. Na verdade, deixá- R ser o anel de germes de funções infinitamente diferenciáveis em 0 na linha real e estou ser a máxima ideal . Então, uma função diferente de zero pertence a para qualquer n , uma vez que a função dividida por ainda é suave. ${\ displaystyle (x)}$${\ displaystyle e ^ {- {1 \ over x ^ {2}}}}$${\ displaystyle m ^ {n}}$${\ displaystyle x ^ {n}}$

Como para qualquer anel topológico, pode-se perguntar se ( R , m ) é completo (como um espaço uniforme ); se não for, considera-se sua conclusão , novamente um anel local. Os anéis locais Noetherianos completos são classificados pelo teorema da estrutura de Cohen .

Na geometria algébrica, especialmente quando R representa o anel local de um esquema em algum ponto P , R / m é chamado o campo resíduo do anel local ou campo resíduo do ponto P .

Se ( R , m ) e ( S , n ) são anéis locais, então um homomorfismo de anel local de R a S é um homomorfismo de anel f  : R → S com a propriedade f ( m ) ⊆ n . Estas são, precisamente, os homomorphisms no anel, que são contínuas em relação às topologias dadas em R e S . Por exemplo, considere o envio de morfismo de anel . A pré-imagem de é . Outro exemplo de morfismo de anel local é dado por . ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) \ to \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {4 })}$${\ displaystyle x \ mapsto x}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) \ to \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}$

Caso Geral

O radical de Jacobson m de um anel local R (que é igual ao único ideal máximo à esquerda e também ao único máximo ideal à direita) consiste precisamente nas não unidades do anel; Além disso, é o máximo único ideal de dois lados de R . No entanto, no caso não comutativo, ter um único ideal bilateral máximo não é equivalente a ser local.

Para um elemento x do anel local R , os seguintes são equivalentes:

• x tem um inverso à esquerda
• x tem um inverso à direita
• x é invertível
• x não está em m .

Se ( R , m ) for local, então o anel de fator R / m é um campo de inclinação . Se J ≠ R é qualquer ideal de dois lados em R , em seguida, o anel de factor de R / J está de novo local, com a máxima ideal m / J .

Um teorema profundo de Irving Kaplansky diz que qualquer módulo projetivo sobre um anel local é gratuito , embora o caso em que o módulo é finitamente gerado seja um corolário simples do lema de Nakayama . Isso tem uma consequência interessante em termos de equivalência de Morita . A saber, se P é um módulo R projetivo finitamente gerado , então P é isomórfico ao módulo livre R ⁿ e, portanto, o anel de endomorfismos é isomórfico ao anel completo de matrizes . Uma vez que cada anel Morita equivalente ao anel local R é da forma de um tal P , a conclusão é que a única anéis Morita equivalente a um anel local R são isomorfos (a) os anéis de matriz mais de R . ${\ displaystyle \ mathrm {End} _ {R} (P)}$${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (R)}$${\ displaystyle \ mathrm {End} _ {R} (P)}$

Notas

Referências

• Lam, TY (2001). Um primeiro curso em anéis não comutativos . Textos de Pós-Graduação em Matemática (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

Veja também

• Anel de valorização discreta
• Anel semi-local
• Anel de avaliação

links externos

• A filosofia por trás dos anéis locais