Teorema de extensão de M. Riesz - M. Riesz extension theorem

O teorema de extensão de M. Riesz é um teorema em matemática , provado por Marcel Riesz durante seu estudo do problema dos momentos .

Formulação

Seja um espaço vetorial real , seja um subespaço vetorial e seja um cone convexo . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F \ subset E}$${\ displaystyle K \ subset E}$

Um funcional linear é chamado de - positivo , se levar apenas valores não negativos no cone : ${\ displaystyle \ phi: F \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ phi (x) \ geq 0 \ quad {\ text {para}} \ quad x \ in F \ cap K.}$

Um funcional linear é chamado de extensão positiva de , se for idêntico a no domínio de , e também retorna um valor de pelo menos 0 para todos os pontos no cone : ${\ displaystyle \ psi: E \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ psi | _ {F} = \ phi \ quad {\ text {e}} \ quad \ psi (x) \ geq 0 \ quad {\ text {para}} \ quad x \ em K.}$

Em geral, um funcional linear positivo em não pode ser estendido para um funcional linear positivo em . Já em duas dimensões, obtém-se um contra-exemplo. Deixe e seja o eixo. O funcional positivo não pode ser estendido para um funcional positivo ligado . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}, \ K = E - \ {(x, 0): x <0 \},}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi (x, 0) = x}$${\ displaystyle E}$

No entanto, a extensão existe sob a suposição adicional de que para cada existe um tal que${\ displaystyle E \ subset K + F,}$${\ displaystyle y \ in E,}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle yx \ in K.}$

Prova

A prova é semelhante à prova do teorema de Hahn – Banach (veja também abaixo).

Por indução transfinita ou lema de Zorn , é suficiente considerar o caso obscuro  . ${\ displaystyle E / F = 1}$

Escolha qualquer um . Definir ${\ displaystyle y \ in E \ setminus F}$

${\ displaystyle a = \ sup \ {\, \ phi (x) \ mid x \ in F, \ yx \ in K \, \}, \ b = \ inf \ {\, \ phi (x) \ mid x \ in F, xy \ in K \, \}.}$

Vamos provar a seguir . Por agora, escolher qualquer satisfação , e conjunto , e, em seguida, estender a todos pela linearidade. Precisamos mostrar que é -positivo. Suponha . Então , ou, ou para alguns e . Se , então . No primeiro caso restante , e assim ${\ displaystyle - \ infty <a \ leq b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a \ leq c \ leq b}$${\ displaystyle \ psi (y) = c}$${\ displaystyle \ psi | _ {F} = \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle z \ in K}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle z = p (x + y)}$${\ displaystyle z = p (xy)}$${\ displaystyle p> 0}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle \ psi (z)> 0}$${\ displaystyle x + y = y - (- x) \ in K}$

${\ displaystyle \ psi (y) = c \ geq a \ geq \ phi (-x) = \ psi (-x)}$

por definição. Assim

${\ displaystyle \ psi (z) = p \ psi (x + y) = p (\ psi (x) + \ psi (y)) \ geq 0.}$

No segundo caso , e de forma semelhante ${\ displaystyle xy \ in K}$

${\ displaystyle \ psi (y) = c \ leq b \ leq \ phi (x) = \ psi (x)}$

por definição e assim

${\ displaystyle \ psi (z) = p \ psi (xy) = p (\ psi (x) - \ psi (y)) \ geq 0.}$

Em todos os casos, e por isso é -positivo. ${\ displaystyle \ psi (z)> 0}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K}$

Agora provamos isso . Observe por suposição que existe pelo menos um para o qual , e assim . No entanto, pode ser que não haja para qual , caso em que a desigualdade é trivial (neste caso, observe que o terceiro caso acima não pode ocorrer). Portanto, podemos assumir que e há pelo menos um para o qual . Para provar a desigualdade, basta mostrar que sempre e , e , então . De fato, ${\ displaystyle - \ infty <a \ leq b}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle yx \ in K}$${\ displaystyle - \ infty <a}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle xy \ in K}$${\ displaystyle b = \ infty}$${\ displaystyle b <\ infty}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle xy \ in K}$${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle yx \ in K}$${\ displaystyle x '\ in F}$${\ displaystyle x'-y \ in K}$${\ displaystyle \ phi (x) \ leq \ phi (x ')}$

${\ displaystyle x'-x = (x'-y) + (yx) \ em K}$

uma vez que é um cone convexo, e assim ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle 0 \ leq \ phi (x'-x) = \ phi (x ') - \ phi (x)}$

uma vez que é -positivo. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle K}$

Corolário: teorema de extensão de Krein

Seja E um espaço linear real , e seja K  ⊂  E um cone convexo . Vamos x  ∈  E \ (- K ) ser de tal modo que R x  +  K  =  E . Então existe um funcional linear K -positivo φ :  E  →  R tal que φ ( x )> 0.  

Conexão com o teorema de Hahn-Banach

O teorema de Hahn-Banach pode ser deduzido do teorema de extensão de M. Riesz.

Vamos V ser um espaço linear, e deixá- N ser um função sublinear em V . Seja φ um funcional em um subespaço U  ⊂  V que é dominado por N :

${\ displaystyle \ phi (x) \ leq N (x), \ quad x \ in U.}$

O Hahn-Banach teorema afirma que φ pode ser estendido para uma funcional linear em V que é dominada por N .

Para derivar isso do teorema de extensão de M. Riesz, defina um cone convexo K  ⊂  R × V por

${\ displaystyle K = \ left \ {(a, x) \, \ mid \, N (x) \ leq a \ right \}.}$

Defina um funcional φ ₁ em R × U por

${\ displaystyle \ phi _ {1} (a, x) = a- \ phi (x).}$

Pode-se ver que φ ₁ é K -positivo, e que K  + ( R  ×  L ) =  R  x  V . Portanto φ ₁ pode ser alargado para um K funcional -positivo ψ ₁ em R x V . Então

${\ displaystyle \ psi (x) = - \ psi _ {1} (0, x)}$

é a extensão desejada de φ . De fato, se ψ ( x )>  N ( x ), temos: ( N ( x ),  x ) ∈  K , enquanto

${\ displaystyle \ psi _ {1} (N (x), x) = N (x) - \ psi (x) <0,}$

levando a uma contradição.

Notas

Referências

• Castillo, Reńe E. (2005), "Uma nota sobre o teorema de Krein" (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , arquivado do original (PDF) em 01/02/2014 , recuperado em 18/01/2014
• Riesz, M. (1923), "Sur le problems des moment. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (em francês), 17 (16), JFM  49.0195.01
• Akhiezer, NI (1965), O problema do momento clássico e algumas questões relacionadas em análise , Nova York: Hafner Publishing Co., MR  0184042