Problema de momento - Moment problem
Em matemática , um problema de momento surge como resultado da tentativa de inverter o mapeamento que leva uma medida μ para as sequências de momentos
Mais geralmente, pode-se considerar
para uma sequência arbitrária de funções M n .
Introdução
No cenário clássico, μ é uma medida na reta real e M é a sequência { x n : n = 0, 1, 2, ...}. Nesta forma, a questão aparece na teoria da probabilidade , perguntando se existe uma medida de probabilidade com média especificada , variância e assim por diante, e se ela é única.
Existem três problemas de momento clássicos denominados: o problema do momento Hamburger em que o suporte de μ pode ser toda a linha real; o problema do momento Stieltjes , para [0, + ∞); e o problema do momento de Hausdorff para um intervalo limitado, que sem perda de generalidade pode ser considerado como [0, 1].
Existência
Uma sequência de números m n é a sequência de momentos de uma medida µ se e somente se uma certa condição de positividade for satisfeita; a saber, as matrizes Hankel H n ,
deve ser semi-definido positivo . Isso ocorre porque uma matriz de Hankel semidefinida positiva corresponde a um funcional linear tal que e (não negativo para soma de quadrados de polinômios). Suponha que pode ser estendido para . No caso univariado, um polinômio não negativo sempre pode ser escrito como uma soma de quadrados. Portanto, o funcional linear é positivo para todos os polinômios não negativos no caso univariado. Pelo teorema de Haviland, o funcional linear tem uma forma de medida, isto é . Uma condição de forma semelhante é necessária e suficiente para a existência de uma medida apoiada em um determinado intervalo [ a , b ].
Uma maneira de provar esses resultados é considerar o funcional linear que envia um polinômio
para
Se m kn são os momentos de alguma medida μ apoiada em [ a , b ], então, evidentemente
-
para qualquer polinômio P que não seja negativo em [ a , b ].
( 1 )
-
Vice-versa, se ( 1 ) for válido, pode-se aplicar o teorema de extensão de M. Riesz e estender a um funcional no espaço de funções contínuas com suporte compacto C 0 ([ a , b ]), de modo que
-
para qualquer
( 2 )
-
Pelo teorema da representação de Riesz , ( 2 ) é válido se existe uma medida μ suportada em [ a , b ], tal que
para cada ƒ ∈ C 0 ([ a , b ]).
Assim, a existência da medida é equivalente a ( 1 ). Usando um teorema de representação para polinômios positivos em [ a , b ], pode-se reformular ( 1 ) como uma condição em matrizes de Hankel .
Veja Shohat & Tamarkin 1943 e Kerin & Nudelman 1977 para mais detalhes.
Singularidade (ou determinação)
A unicidade de μ no problema do momento de Hausdorff segue do teorema de aproximação de Weierstrass , que afirma que os polinômios são densos sob a norma uniforme no espaço de funções contínuas em [0, 1]. Para o problema em um intervalo infinito, a exclusividade é uma questão mais delicada; ver a condição de Carleman , a condição de Kerin e Akhiezer (1965) .
Variações
Uma variação importante é o problema do momento truncado , que estuda as propriedades de medidas com primeiros k momentos fixos (para um k finito ). Os resultados do problema do momento truncado têm inúmeras aplicações em problemas extremos , teoremas de otimização e limite na teoria da probabilidade . Veja também: Desigualdades de Chebyshev – Markov – Stieltjes e Kerin & Nudelman 1977 .
Veja também
- Problema do momento Stieltjes
- Problema do momento do hambúrguer
- Problema do momento Hausdorff
- Momento (matemática)
- Condição de Carleman
- Matriz de Hankel
Referências
- Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. (1943). O problema dos momentos . Nova York: sociedade matemática americana.
- Akhiezer, Naum I. (1965). O problema do momento clássico e algumas questões relacionadas na análise . Nova York: Hafner Publishing Co. (traduzido do russo por N. Kemmer)
- Kerin, MG; Nudelman, AA (1977). O problema do momento Markov e os problemas extremos. Ideias e problemas de PL Chebyshev e AA Markov e seu desenvolvimento posterior . Translations of Mathematical Monographs, vol. 50. American Mathematical Society, Providence, RI (Traduzido do russo por D. Louvish)
- Schmüdgen, Konrad (2017). O problema do momento . Springer International Publishing.