Conjectura de Mertens - Mertens conjecture
Em matemática , a conjectura de Mertens é a afirmação de que a função de Mertens é limitada . Embora agora refutada, demonstrou-se que implica a hipótese de Riemann . Foi conjecturado por Thomas Joannes Stieltjes , em uma carta de 1885 a Charles Hermite (reimpressa em Stieltjes ( 1905 )), e novamente impressa por Franz Mertens ( 1897 ), e refutada por Andrew Odlyzko e Herman te Riele ( 1985 ). É um exemplo notável de uma conjectura matemática comprovada como falsa, apesar de uma grande quantidade de evidências computacionais a seu favor.
Definição
Na teoria dos números , definimos a função de Mertens como
onde μ (k) é a função de Möbius ; a conjectura de Mertens é que para todo n > 1,
Rejeição da conjectura
Stieltjes afirmou em 1885 ter provado um resultado mais fraco, ou seja, que era limitado , mas não publicou uma prova. (Em termos de , a conjectura de Mertens é isso .)
Em 1985, Andrew Odlyzko e Herman te Riele provaram que a conjectura de Mertens era falsa usando o algoritmo de redução da base da rede Lenstra – Lenstra – Lovász :
- e .
Mais tarde, foi mostrado que o primeiro contra - exemplo aparece abaixo, mas acima de 10 16 . O limite superior foi reduzido para ou aproximadamente, mas nenhum contra-exemplo explícito é conhecido.
A lei do logaritmo iterado afirma que se μ é substituído por uma sequência aleatória de + 1s e −1s, então a ordem de crescimento da soma parcial dos primeiros n termos é (com probabilidade 1) cerca de √ n log log n , que sugere que a ordem de crescimento de m ( n ) pode ser algo em torno de √ log log n . A ordem real de crescimento pode ser um pouco menor; no início dos anos 1990 Gonek conjecturou que a ordem de crescimento de m ( n ) era , o que foi afirmado por Ng (2004), com base em um argumento heurístico, que assumiu a hipótese de Riemann e certas conjecturas sobre o comportamento médio dos zeros do Riemann função zeta.
Em 1979, Cohen e Dress encontraram o maior valor conhecido de para M (7766842813) = 50286, e em 2011, Kuznetsov encontrou o maior valor negativo conhecido para M (11609864264058592345) = −1995900927. Em 2016, Hurst calculou M ( n ) para cada n ≤ 10 16, mas não encontrou valores maiores de m ( n ) .
Em 2006, Kotnik e te Riele melhoraram o limite superior e mostraram que existem infinitos valores de n para os quais m ( n )> 1,2184 , mas sem fornecer nenhum valor específico para tal n . Em 2016, Hurst fez mais melhorias, mostrando
- e .
Conexão com a hipótese de Riemann
A conexão com a hipótese de Riemann é baseada na série de Dirichlet para o recíproco da função zeta de Riemann ,
válido na região . Podemos reescrever isso como uma integral de Stieltjes
e depois de integrar por partes, obter o recíproco da função zeta como uma transformada de Mellin
Usando o teorema de inversão de Mellin , agora podemos expressar M em termos de 1 ⁄ ζ como
que é válido para 1 <σ <2 , e válido para 1 ⁄ 2 <σ <2 na hipótese de Riemann. A partir disso, a integral da transformada de Mellin deve ser convergente e, portanto, M ( x ) deve ser O ( x e ) para cada expoente e maior que 1 / 2 . Disto segue que
para todo ε positivo é equivalente à hipótese de Riemann, que, portanto, teria seguido da hipótese de Mertens mais forte, e segue da hipótese de Stieltjes que
- .
Referências
Leitura adicional
- Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006). "The Mertens Conjecture Revisited". Em Hess, Florian (ed.). Teoria dos números algorítmicos. 7º simpósio internacional, ANTS-VII, Berlim, Alemanha, 23-28 de julho de 2006. Proceedings . Notas de aula em Ciência da Computação. 4076 . Berlim: Springer-Verlag . pp. 156–167. doi : 10.1007 / 11792086_12 . ISBN 3-540-36075-1 . Zbl 1143.11345 .
- Kotnik, T .; van de Lune, J. (2004). "Por ordem da função Mertens" (PDF) . Experimental Mathematics . 13 (4): 473–481. doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504556 . Arquivado do original (PDF) em 03/04/2007.
- Mertens, F. (1897). "Über eine zahlentheoretische Funktion". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a . 106 : 761–830.
- Odlyzko, AM ; te Riele, HJJ (1985), "Disproof of the Mertens conjecture" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138-160, doi : 10.1515 / crll.1985.357.138 , ISSN 0075-4102 , MR 0783538 , Zbl 0544.10047
- Pintz, J. (1987). "Uma refutação eficaz da conjectura de Mertens" (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl 0623.10031 .
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I , Dordrecht: Springer-Verlag , pp. 187-189, ISBN 1-4020-4215-9 , Zbl 1151.11300
- Stieltjes, TJ (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre # 79", em Baillaud, B .; Bourget, H. (eds.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes , Paris: Gauthier — Villars, pp. 160-164
links externos
- "A Prime Surprise (Mertens Conjecture)" . Numberphile . 23 de janeiro de 2020 - via YouTube .