Teorema de Mordell-Weil - Mordell–Weil theorem

Em matemática , o teorema de Mordell-Weil afirma que para uma variedade abeliana sobre um campo de números , o grupo de K- pontos racionais de é um grupo abeliano finitamente gerado , chamado de grupo Mordell-Weil . O caso com uma curva elíptica e o campo de número racional Q é o teorema de Mordell , respondendo a uma questão aparentemente colocada por Henri Poincaré por volta de 1901; foi provado por Louis Mordell em 1922. É um teorema fundamental da geometria diofantina e da aritmética das variedades abelianas . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A (K)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$

História

O processo de acordes tangentes (uma forma de teorema da adição em uma curva cúbica ) já era conhecido desde o século XVII. O processo de descida infinita de Fermat era bem conhecido, mas Mordell conseguiu estabelecer a finitude do grupo quociente que constitui um passo importante na prova. Certamente a finitude desse grupo é uma condição necessária para ser finitamente gerado; e mostra que a classificação é finita. Essa é a dificuldade essencial. Ele pode ser provado por análise directa da duplicação de um ponto sobre E . ${\ displaystyle E (\ mathbb {Q}) / 2E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$

Alguns anos depois, André Weil retomou o assunto, produzindo a generalização para jacobianos de curvas de gênero superior sobre campos de números arbitrários em sua dissertação de doutorado publicada em 1928. Métodos mais abstratos eram necessários para realizar uma prova com a mesma estrutura básica. A segunda metade da prova precisa de algum tipo de função de altura , em termos da qual limitar o 'tamanho' dos pontos . Alguma medida das coordenadas bastará; as alturas são logarítmicas, de modo que (falando grosso modo) é uma questão de quantos dígitos são necessários para escrever um conjunto de coordenadas homogêneas . Para uma variedade abeliana, não há uma representação preferencial a priori , porém, como uma variedade projetiva . ${\ displaystyle A (K)}$

Ambas as metades da prova foram melhoradas significativamente, por avanços técnicos subsequentes: na cohomologia de Galois aplicada à descida e no estudo das melhores funções de altura (que são formas quadráticas ).

Resultados adicionais

O teorema deixou uma série de perguntas sem resposta:

• Cálculo da classificação. Este ainda é um problema computacional exigente, e nem sempre tem soluções eficazes .
• Significado da classificação: ver conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer .
• Possíveis subgrupos de torção: Barry Mazur provou em 1978 que o grupo Mordell-Weil pode ter apenas um número finito de subgrupos de torção. Este é o caso da curva elíptica da conjectura de torção .
• Para uma curva em sua variedade Jacobian como , pode a interseção de com ser infinito? Por causa do teorema de Faltings , isso é falso, a menos que . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A (K)}$${\ displaystyle C = A}$
• No mesmo contexto, pode conter infinitos pontos de torção de ? Por causa da conjectura de Manin-Mumford , provada por Michel Raynaud, isso é falso, a menos que seja o caso da curva elíptica. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$

Veja também

• Geometria aritmética
• Grupo Mordell-Weil

Referências

• Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques". Acta Mathematica . 52 (1). pp. 281–315. doi : 10.1007 / BF02592688 . MR   1555278 .
• Mordell, Louis Joel (1922). “Sobre as soluções racionais das equações indeterminadas do terceiro e quarto graus” . Proc. Camb. Phil. Soc . 21 . pp. 179–192.
• Joseph H., Silverman (1986). A Aritmética das Curvas Elípticas . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 106 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-0-387-09494-6 . ISBN   0-387-96203-4 . MR   2514094 .