Função plurissubarmônica - Plurisubharmonic function

Em matemática , as funções plurissubharmônicas (às vezes abreviadas como funções psh , plsh ou plush ) formam uma classe importante de funções usadas na análise complexa . Em uma variedade Kähler , as funções plurissubarmônicas formam um subconjunto das funções subarmônicas . No entanto, ao contrário das funções sub-harmônicas (que são definidas em uma variedade Riemanniana ), as funções plurissubarmônicas podem ser definidas com total generalidade em espaços analíticos complexos .

Definição formal

Uma função

${\ displaystyle f \ colon G \ to {\ mathbb {R}} \ cup \ {- \ infty \},}$

com domínio é chamado de plurissubarmônico se for semicontínuo superior , e para cada linha complexa${\ displaystyle G \ subset {\ mathbb {C}} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ {a + bz \ mid z \ in {\ mathbb {C}} \} \ subset {\ mathbb {C}} ^ {n}}$ com ${\ displaystyle a, b \ in {\ mathbb {C}} ^ {n}}$

a função é uma função sub - harmônica no set ${\ displaystyle z \ mapsto f (a + bz)}$

${\ displaystyle \ {z \ in {\ mathbb {C}} \ mid a + bz \ in G \}.}$

Em geral , a noção pode ser definida em uma variedade complexa arbitrária ou mesmo em um espaço analítico complexo como segue. Uma função semicontínua superior${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f \ colon X \ to {\ mathbb {R}} \ cup \ {- \ infty \}}$

é considerado plurissubarmônico se e somente se para qualquer mapa holomórfico a função ${\ displaystyle \ varphi \ colon \ Delta \ to X}$

${\ displaystyle f \ circ \ varphi \ colon \ Delta \ to {\ mathbb {R}} \ cup \ {- \ infty \}}$

é subharmônico , onde denota o disco da unidade. ${\ displaystyle \ Delta \ subset {\ mathbb {C}}}$

Funções plurissubarmônicas diferenciáveis

Se for de classe (diferenciabilidade) , então é plurissubarmônico se e somente se a matriz hermitiana , chamada de matriz de Levi, com entradas ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L_ {f} = (\ lambda _ {ij})}$

${\ displaystyle \ lambda _ {ij} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z_ {i} \ partial {\ bar {z}} _ {j}}}}$

é semidefinido positivo .

Equivalentemente, a função a f é plurissubarmônica se e somente se for uma forma (1,1) positiva . ${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ partial {\ bar {\ partial}} f}$

Exemplos

Relação com a variedade de Kähler: No espaço euclidiano complexo n-dimensional , é plurissubarmônico. Na verdade, é igual à forma Kähler padrão em até múltiplos constantes. Mais geralmente, se satisfaz ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle f (z) = | z | ^ {2}}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ parcial {\ overline {\ parcial}} f}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ partial {\ overline {\ partial}} g = \ omega}$

para alguma forma Kähler , então é plurissubarmônico, que é chamado de potencial Kähler. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle g}$

Relação com o Delta de Dirac: No espaço euclidiano complexo unidimensional , é plurissubarmônico. Se é uma função de classe C ^∞ com suporte compacto , então a fórmula integral de Cauchy diz ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$${\ displaystyle u (z) = \ log (z)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (0) = - {\ frac {\ sqrt {-1}} {2 \ pi}} \ int _ {D} {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} }} {\ frac {dzd {\ bar {z}}} {z}}}$

que pode ser modificado para

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {-1}} {\ pi}} \ partial {\ overline {\ partial}} \ log | z | = dd ^ {c} \ log | z |}$.

Não é nada além de medida de Dirac na origem 0.

Mais exemplos

• Se for uma função analítica em um conjunto aberto, será plurissubarmônica nesse conjunto aberto.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ log | f |}$
• As funções convexas são plurissubarmônicas
• Se for um domínio de holomorfia, então é plurissubarmônico${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle - \ log (dist (z, \ Omega ^ {c}))}$
• As funções harmônicas não são necessariamente plurissubarmônicas

História

As funções plurissubarmônicas foram definidas em 1942 por Kiyoshi Oka e Pierre Lelong .

Propriedades

• O conjunto de funções plurissubarmônicas tem as seguintes propriedades, como um cone convexo :

• se for uma função plurissubarmônica e um número real positivo, então a função é plurissubarmônica,${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle c \ cdot f}$
• se e são funções plurissubarmônicas, então a soma é uma função plurissubarmônica.${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$${\ displaystyle f_ {1} + f_ {2}}$

• A plurissubarmonicidade é uma propriedade local , ou seja, uma função é plurissubarmônica se e somente se for plurissubarmônica em uma vizinhança de cada ponto.
• Se for plurissubarmônica e uma função convexa monotonicamente crescente, então é plurissubarmônica.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ phi \ circ f}$
• Se e são funções plurissubarmônicas, então a função é plurissubarmônica.${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$${\ displaystyle f (x): = \ max (f_ {1} (x), f_ {2} (x))}$
• Se é uma sequência monotonicamente decrescente de funções plurissubarmônicas${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$

então é plurissubharmônico. ${\ displaystyle f (x): = \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x)}$

• Cada função plurissubarmônica contínua pode ser obtida como o limite de uma sequência monotonicamente decrescente de funções plurissubarmônicas suaves. Além disso, esta sequência pode ser escolhida uniformemente convergente.
• A desigualdade na condição de semi-continuidade usual se mantém como igualdade, ou seja, se for plurissubarmônico, então${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ limsup _ {x \ to x_ {0}} f (x) = f (x_ {0})}$

(ver limite superior e limite inferior para a definição de lim sup ).

• As funções plurissubarmônicas são subarmônicas para qualquer métrica Kähler .
• Portanto, as funções plurissubarmônicas satisfazem o princípio máximo , ou seja, se é plurissubarmônico no domínio aberto conectado e${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ sup _ {x \ in D} f (x) = f (x_ {0})}$

para algum ponto, então, é constante. ${\ displaystyle x_ {0} \ in D}$${\ displaystyle f}$

Formulários

Em análises complexas , funções plurissubarmônicas são usadas para descrever domínios pseudoconvexos , domínios de holomorfia e variedades de Stein .

Teorema Oka

A principal aplicação geométrica da teoria das funções plurissubarmônicas é o famoso teorema provado por Kiyoshi Oka em 1942.

Uma função contínua é chamada de exaustiva se a pré - imagem for compacta para todos . A função plurisubharmônica f é chamado fortemente plurisubharmonic se o formulário é positiva , por alguma forma Kähler em M . ${\ displaystyle f: \; M \ mapsto {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (] - \ infty, c])}$${\ displaystyle c \ in {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} (\ partial {\ bar {\ partial}} f- \ omega)}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Teorema de Oka: Seja M uma variedade complexa, admitindo uma função suave, exaustiva e fortemente plurissubarmônica. Então M é Stein . Por outro lado, qualquer variedade de Stein admite tal função.

Referências

• Steven G. Krantz. Teoria da Função de Várias Variáveis ​​Complexas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Robert C. Gunning . Introdução às funções holomórficas em várias variáveis, Wadsworth & Brooks / Cole.
• Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press 1992.

links externos

• "Plurisubharmonic function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Notas