Filial principal - Principal branch
Em matemática , um ramo principal é uma função que seleciona um ramo ("fatia") de uma função multivalorada . Na maioria das vezes, isso se aplica a funções definidas no plano complexo .
Exemplos
Inversos trigonométricos
Ramos principais são usados na definição de muitas funções trigonométricas inversas , como a seleção para definir que
![{\ displaystyle \ arcsin: [- 1, + 1] \ rightarrow \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a6e18f8a9bd3dcab650be7fb50552337076b4)
ou aquilo
- .
![{\ displaystyle \ arccos: [- 1, + 1] \ rightarrow [0, \ pi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38aab40eba8abd0f6c2ba327a69d5e9fd40c8574)
Exponenciação para potências fracionárias
Uma função de ramo principal mais familiar, limitada a números reais, é a de um número real positivo elevado à potência de 1/2 .
Por exemplo, tome a relação y = x 1/2 , onde x é qualquer número real positivo.
Essa relação pode ser satisfeita por qualquer valor de y igual a uma raiz quadrada de x (positiva ou negativa). Por convenção, √ x é usado para denotar a raiz quadrada positiva de x .
Nesse caso, a função de raiz quadrada positiva é considerada o ramo principal da relação multivalorada x 1/2 .
Logaritmos complexos
Uma maneira de visualizar uma ramificação principal é examinar especificamente a função exponencial e o logaritmo , conforme definido na análise complexa .
A função exponencial é de valor único, onde e z é definido como:
onde .
No entanto, a natureza periódica das funções trigonométricas envolvidas deixa claro que o logaritmo não é determinado de forma única. Uma maneira de ver isso é observar o seguinte:
e
onde k é um número inteiro qualquer e ATAN2 continua os valores da arctan (b / a) -função da sua gama de valor principal , correspondendo a no principal intervalo de valores do arg (z) -função , cobrindo todos os quatro quadrantes no plano complexo .
![{\ displaystyle (- \ pi / 2, \; \ pi / 2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d2a7d892fc2a2772c0f95dcf140e4a3953d9b5)
![{\ displaystyle (- \ pi, \; \ pi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d42d585d0cc7e452cd100efa4127cc28bedceb)
Qualquer número log z definido por tais critérios tem a propriedade de e log z = z .
Dessa forma, a função de log é uma função com vários valores (freqüentemente chamada de "multifuncional" no contexto de análise complexa). Um corte de ramo, geralmente ao longo do eixo real negativo, pode limitar a parte imaginária de forma que fique entre −π e π . Estes são os valores principais escolhidos .
Este é o principal ramo da função de log. Freqüentemente, é definido com uma letra maiúscula, Log z .