Medida pushforward - Pushforward measure

Em teoria medida , uma disciplina dentro matemática, uma medida pushforward (também empurrar para a frente , pushforward ou medida de imagem ) é obtida por transferência ( "empurrar para a frente") uma medida de um espaço mensurável para o outro usando uma função mensurável .

Definição

Dados espaços mensuráveis e , um mapeamento mensurável e uma medida , o pushforward de é definido como a medida dada por ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle f \ dois pontos X_ {1} \ a X_ {2}}$${\ displaystyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ to [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f _ {*} (\ mu) \ dois pontos \ Sigma _ {2} \ to [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle (f _ {*} (\ mu)) (B) = \ mu \ left (f ^ {- 1} (B) \ right)}$ para ${\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {2}.}$

Esta definição se aplica mutatis mutandis para uma medida assinada ou complexa . A medida pushforward também é denotado como , , , ou . ${\ displaystyle \ mu \ circ f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ sharp} \ mu}$${\ displaystyle f \ sharp \ mu}$${\ displaystyle f \ # \ mu}$

Propriedade principal: fórmula de mudança de variáveis

Teorema: Uma função mensurável g em X ₂ é integrável com respeito à medida pushforward f _∗ ( μ ) se e somente se a composição é integrável com respeito à medida μ . Nesse caso, as integrais coincidem, ou seja, ${\ displaystyle g \ circ f}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} g \, d (f _ {*} \ mu) = \ int _ {X_ {1}} g \ circ f \, d \ mu.}$

Observe isso na fórmula anterior . ${\ displaystyle X_ {1} = f ^ {- 1} (X_ {2})}$

Exemplos e aplicações

• Um "natural medida Lebesgue " sobre o círculo unitário S ¹ (aqui pensado como um subconjunto do plano complexo C ) pode ser definida utilizando uma construção de impulso-para a frente e Lebesgue medida λ na verdadeira linha R . Seja λ também a restrição da medida de Lebesgue ao intervalo [0, 2 π ) e seja f  : [0, 2 π ) →  S ¹ a bijeção natural definida por f ( t ) = exp ( i   t ). A "medida de Lebesgue" natural em S ¹ é então a medida de push-forward f _∗ ( λ ). A medida f _∗ ( λ ) também pode ser chamada de " medida do comprimento do arco " ou "medida do ângulo", uma vez que a f _∗ ( λ ) -medida de um arco em S ¹ é precisamente o comprimento do seu arco (ou, equivalentemente, o ângulo que ele subtende no centro do círculo.)
• O exemplo anterior se estende muito bem para fornecer uma "medida de Lebesgue" natural no toro n- dimensional T ⁿ . O exemplo anterior é um caso especial, pois S ¹  =  T ¹ . Esta medida de Lebesgue em T ⁿ é, até a normalização, a medida de Haar para o grupo de Lie compacto e conectado T ⁿ .
• Medidas gaussianas em espaços vetoriais de dimensão infinita são definidas usando o push-forward e a medida gaussiana padrão na linha real: uma medida de Borel γ em um espaço de Banach separável X é chamada de Gaussiana se o push-forward de γ por qualquer diferente de zero linear funcional no espaço duplo contínuo para X é uma medida de Gauss em R .
• Considere uma função mensurável f  : X → X e a composição de f com ela mesma n vezes:

${\ displaystyle f ^ {(n)} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {n \ mathrm {\, times}}: X \ a X.}$

Essa função iterada forma um sistema dinâmico . Freqüentemente, é de interesse no estudo de tais sistemas encontrar uma medida μ em X que o mapa f deixa inalterada, uma medida chamada invariante , ou seja, aquela para a qual f _∗ ( μ ) =  μ .

• Pode-se também considerar medidas quase invariantes para tal sistema dinâmico: uma medida em é chamada quase invariante em se o impulso de por for meramente equivalente à medida original μ , não necessariamente igual a ela. Um par de medidas no mesmo espaço são equivalentes se e somente se , então é quase invariante sob se ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu, \ nu}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff f _ {*} \ mu (A) = \ mu {\ big (} f ^ {- 1} (A) {\ big )} = 0}$

• Muitas distribuições de probabilidade natural, como a distribuição chi , podem ser obtidas por meio dessa construção.

• Variáveis ​​aleatórias são medidas pushforward. Eles mapeiam um espaço de probabilidade em um espaço de codomínio e dotam esse espaço com uma medida de probabilidade definida pelo pushforward. Além disso, como as variáveis ​​aleatórias são funções (e, portanto, funções totais), a imagem inversa de todo o codomínio é o domínio inteiro, e a medida de todo o domínio é 1, então a medida de todo o codomínio é 1. Isso significa que aleatório as variáveis ​​podem ser compostas ad infimum e sempre permanecerão como variáveis ​​aleatórias e dotarão os espaços do codomínio com medidas de probabilidade.

Uma generalização

Em geral, qualquer função mensurável pode ser empurrada para a frente, o push-forward então se torna um operador linear , conhecido como o operador de transferência ou operador Frobenius-Perron . Em espaços finitos, esse operador normalmente satisfaz os requisitos do teorema de Frobenius-Perron , e o autovalor máximo do operador corresponde à medida invariante.

O adjunto do push-forward é o retrocesso ; como um operador em espaços de funções em espaços mensuráveis, é o operador de composição ou operador Koopman .

Veja também

• Sistema dinâmico de preservação de medida

Notas

Referências

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoria da Medida , Berlin: Springer Verlag , ISBN   9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Tópicos em Análise Real e Funcional