Medida invariante - Invariant measure

Em matemática , uma medida invariante é uma medida que é preservada por alguma função . A teoria ergódica é o estudo de medidas invariantes em sistemas dinâmicos . O teorema de Krylov-Bogolyubov prova a existência de medidas invariantes sob certas condições na função e no espaço em consideração.

Definição

Seja ( X , Σ) um espaço mensurável e seja f uma função mensurável de X para si mesma. Uma medida μ em ( X , Σ) é considerada invariante sob f se, para cada conjunto mensurável A em Σ,

{\ displaystyle \ mu \ left (f ^ {- 1} (A) \ right) = \ mu (A).}

Em termos de push forward , isso afirma que f _∗ ( μ ) = μ .

A coleção de medidas (geralmente medidas de probabilidade ) em X que são invariantes sob f é algumas vezes denotada como M _f ( X ). A coleção de medidas ergódicas , E _f ( X ), é um subconjunto de M _f ( X ). Além disso, qualquer combinação convexa de duas medidas invariantes também é invariante, então M _f ( X ) é um conjunto convexo ; E _f ( X ) consiste precisamente nos pontos extremos de M _f ( X ).

No caso de um sistema dinâmico ( X , T , φ ), onde ( X , Σ) é um espaço mensurável como antes, T é um monóide e φ : T × X → X é o mapa de fluxo, uma medida μ em ( X , Σ) é dito ser uma medida invariante , se é uma medida invariante para cada mapa φ _t : X → X . Explicitamente, μ é invariante se e somente se

{\ displaystyle \ mu \ left (\ varphi _ {t} ^ {- 1} (A) \ right) = \ mu (A) \ qquad \ forall t \ in T, A \ in \ Sigma.}

Dito de outra forma, μ é uma medida invariante para uma sequência de variáveis aleatórias ( Z _t ) _{t ≥0} (talvez uma cadeia de Markov ou a solução para uma equação diferencial estocástica ) se, sempre que a condição inicial Z ₀ for distribuída de acordo com μ , assim é Z _t para qualquer hora mais tarde t .

Quando o sistema dinâmico pode ser descrito por um operador de transferência , então a medida invariante é um autovetor do operador, correspondendo a um autovalor de 1, sendo este o maior autovalor dado pelo teorema de Frobenius-Perron .

Exemplos

O mapeamento de compressão deixa invariante o ângulo hiperbólico à medida que move um setor hiperbólico (roxo) para um na mesma área. Retângulos azuis e verdes também mantêm a mesma área

Considere a reta R real com sua σ-álgebra de Borel usual ; fixe um ∈ R e considere o mapa de tradução T _a : R → R dado por:

{\ displaystyle T_ {a} (x) = x + a.}

Então a medida de Lebesgue unidimensional λ é uma medida invariável para T _a .

Mais geralmente, no espaço euclidiano n- dimensional R ⁿ com sua σ-álgebra de Borel usual, a medida de Lebesgue n- dimensional λ ⁿ é uma medida invariante para qualquer isometria do espaço euclidiano, ou seja, um mapa T : R ⁿ → R ⁿ que pode ser escrito como

{\ displaystyle T (x) = Ax + b}

para alguns n x n ortogonal matriz Uma ∈ O ( n ) e um vector b ∈ R ⁿ .

A medida invariável no primeiro exemplo é exclusiva até a renormalização trivial com um fator constante. Isso não precisa ser necessariamente o caso: considere um conjunto consistindo de apenas dois pontos e o mapa de identidade que deixa cada ponto fixo. Então, qualquer medida de probabilidade é invariante. Observe que S trivialmente tem uma decomposição em componentes T -invariantes {A} e {B} . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rm {S}}} = \ {A, B \}}$ ${\ displaystyle T = {\ rm {Id}}}$ ${\ displaystyle \ mu: {\ boldsymbol {\ rm {S}}} \ rightarrow {\ boldsymbol {\ rm {R}}}}$
A medida de área no plano euclidiano é invariante sob o grupo linear especial SL (2, R ) das matrizes reais 2 × 2 do determinante 1.
Cada grupo localmente compacto tem uma medida de Haar que é invariável sob a ação do grupo.
Um ângulo é uma medida invariável sob um movimento euclidiano ou afim. O movimento euclidiano é a rotação e a medida é o ângulo circular . O movimento afim pode ser um mapeamento de cisalhamento ou um mapeamento de compressão . A medida invariante sob tesouras é uma diferença de inclinações , enquanto a medida invariante sob o mapeamento de compressão é o ângulo hiperbólico .