Contextualidade quântica - Quantum contextuality

A contextualidade quântica é uma característica da fenomenologia da mecânica quântica pela qual as medições dos observáveis quânticos não podem ser simplesmente pensadas como revelando valores pré-existentes. Qualquer tentativa de fazer isso em uma teoria realista de variáveis ​​ocultas leva a valores que dependem da escolha dos outros observáveis ​​(compatíveis) que são medidos simultaneamente (o contexto de medição). Mais formalmente, o resultado da medição (assumido como pré-existente) de um observável quântico depende de quais outros observáveis ​​de comutação estão dentro do mesmo conjunto de medição.

A contextualidade foi demonstrada pela primeira vez como uma característica da fenomenologia quântica pelo teorema de Bell-Kochen-Specker . O estudo da contextualidade tornou-se um importante tópico de interesse nas fundações quânticas , à medida que o fenômeno cristaliza certos aspectos não clássicos e contra-intuitivos da teoria quântica. Uma série de estruturas matemáticas poderosas foram desenvolvidas para estudar e entender melhor a contextualidade, da perspectiva da teoria dos feixes , teoria dos grafos , hipergrafos , topologia algébrica e acoplamentos probabilísticos .

A não localidade , no sentido do teorema de Bell , pode ser vista como um caso especial do fenômeno mais geral da contextualidade, no qual os contextos de medição contêm medições que são distribuídas em regiões separadas semelhantes a espaços. Isso segue do teorema de Fine-Abramsky-Brandenburger.

A contextualidade quântica foi identificada como uma fonte de speedups computacionais quânticos e vantagem quântica em computação quântica . A pesquisa contemporânea tem se concentrado cada vez mais em explorar sua utilidade como recurso computacional.

Kochen e Specker

Simon B. Kochen e Ernst Specker , e separadamente John Bell , construíram provas de que qualquer teoria realista de variáveis ​​ocultas capaz de explicar a fenomenologia da mecânica quântica é contextual para sistemas de dimensão espacial de Hilbert três e maiores. O teorema de Kochen-Specker prova que teorias realistas de variáveis ​​ocultas não contextuais não podem reproduzir as previsões empíricas da mecânica quântica. Essa teoria suporia o seguinte.

1. Todos os observáveis ​​da mecânica quântica podem ser atribuídos simultaneamente a valores definidos (este é o postulado do realismo, que é falso na mecânica quântica padrão, uma vez que existem observáveis ​​que são indefinidos em cada estado quântico dado). Essas atribuições de valor global podem depender deterministicamente de alguma variável clássica "oculta" que, por sua vez, pode variar estocasticamente por alguma razão clássica (como na mecânica estatística). As atribuições medidas de observáveis ​​podem, portanto, finalmente mudar estocasticamente. Essa estocasticidade é, entretanto, epistêmica e não ôntica como na formulação padrão da mecânica quântica.
2. As atribuições de valor preexistem e são independentes da escolha de quaisquer outros observáveis ​​que, na mecânica quântica padrão, são descritos como comutando com o observável medido, e eles também são medidos.
3. Algumas restrições funcionais nas atribuições de valores para observáveis ​​compatíveis são assumidas (por exemplo, eles são aditivos e multiplicativos; no entanto, existem várias versões deste requisito funcional).

Além disso, Kochen e Specker construíram um modelo de variável escondida explicitamente não contextual para o caso qubit bidimensional em seu artigo sobre o assunto, completando assim a caracterização da dimensionalidade de sistemas quânticos que podem demonstrar comportamento contextual. A prova de Bell invocou uma versão mais fraca do teorema de Gleason , reinterpretando o teorema para mostrar que a contextualidade quântica existe apenas na dimensão espacial de Hilbert maior que dois.

Estruturas para contextualidade

Estrutura teórica de feixe

A abordagem teórica de feixe , ou Abramsky-Brandenburger, à contextualidade iniciada por Samson Abramsky e Adam Brandenburger é independente da teoria e pode ser aplicada além da teoria quântica para qualquer situação em que os dados empíricos surjam em contextos. Além de ser usado para estudar formas de contextualidade que surgem na teoria quântica e outras teorias físicas, também tem sido usado para estudar fenômenos formalmente equivalentes em lógica , bancos de dados relacionais , processamento de linguagem natural e satisfação de restrições .

Em essência, a contextualidade surge quando os dados empíricos são localmente consistentes, mas globalmente inconsistentes . Podem ser traçadas analogias com figuras impossíveis como a escada de Penrose , que em um sentido formal também pode ser dito exibir uma espécie de contextualidade. [1]

Essa estrutura dá origem de forma natural a uma hierarquia qualitativa de contextualidade.

• A contextualidade (probabilística) pode ser testemunhada nas estatísticas de medição, por exemplo, pela violação de uma desigualdade. Um exemplo representativo é a prova de contextualidade KCBS .
• A contextualidade lógica pode ser testemunhada na informação "possibilística" sobre quais eventos de resultado são possíveis e quais não são. Um exemplo representativo é a prova de não localidade de Hardy .
• A contextualidade forte é uma forma máxima de contextualidade. Enquanto a contextualidade (probabilística) surge quando as estatísticas de medição não podem ser reproduzidas por uma mistura de atribuições de valor global, a contextualidade forte surge quando nenhuma atribuição de valor global é compatível com os eventos de resultado possíveis. Um exemplo representativo é a prova de contextualidade Kochen-Specker original.

Cada nível nesta hierarquia inclui estritamente o próximo. Um nível intermediário importante que fica estritamente entre as classes de contextualidade lógica e forte é a contextualidade tudo versus nada , um exemplo representativo disso é a prova de não localidade de Greenberger-Horne-Zeilinger .

Estruturas de gráfico e hipergrafo

Adán Cabello, Simone Severini e Andreas Winter introduziram um arcabouço geral da teoria dos grafos para estudar a contextualidade de diferentes teorias físicas. Dentro dessa estrutura, os cenários experimentais são descritos por gráficos, e certos invariantes desses gráficos têm um significado físico particular. Uma maneira pela qual a contextualidade pode ser testemunhada nas estatísticas de medição é através da violação das desigualdades de não contextualidade (também conhecidas como desigualdades de Bell generalizadas). No que diz respeito a certos desigualdades apropriadamente normalizados, o número independência , número Lovász , e número de embalagem fraccionada do gráfico de um cenário experimental fornecer limites superiores apertadas sobre o grau em que as teorias clássicas, teoria quântica, e as teorias de probabilidade generalizadas, respectivamente, podem apresentar contextualidade em um experimento desse tipo. Uma estrutura mais refinada baseada em hipergrafos ao invés de gráficos também é usada.

Estrutura da contextualidade por padrão (CbD)

Na abordagem CbD, desenvolvida por Ehtibar Dzhafarov, Janne Kujala e colegas, a (não) contextualidade é tratada como uma propriedade de qualquer sistema de variáveis ​​aleatórias , definida como um conjunto  em que cada variável aleatória  é rotulada por seu conteúdo , a propriedade que medidas, e seu contexto , o conjunto de circunstâncias registradas sob as quais é registrado (incluindo, mas não se limitando a quais outras variáveis ​​aleatórias é registrado junto com);  significa " é medido em ". As variáveis ​​dentro de um contexto são distribuídas em conjunto, mas as variáveis ​​de diferentes contextos não são estocasticamente relacionadas , definidas em diferentes espaços de amostra. Um acoplamento (probabilístico) do sistema  é definido como um sistema  no qual todas as variáveis ​​são distribuídas conjuntamente e, em qualquer contexto ,  e  são distribuídas de forma idêntica. O sistema é considerado não contextual se tiver um acoplamento  tal que as probabilidades sejam máximas possíveis para todos os contextos  e conteúdos de tal forma . Se tal acoplamento não existir, o sistema é contextual. Para a importante classe de sistemas cíclicos de variáveis ​​aleatórias dicotômicas ( ),   ( ), foi mostrado que tal sistema é não contextual se e somente se ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} = \ left \ {R_ {q} ^ {c}: q \ in Q, q \ prec c, c \ in C \ right \}}$${\ displaystyle R_ {q} ^ {c}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle q \ prec c}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle R ^ {c} = \ left \ {R_ {q} ^ {c}: q \ in Q, q \ prec c \ right \}}$${\ displaystyle S ^ {c} = \ left \ {S_ {q} ^ {c}: q \ in Q, q \ prec c \ right \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Pr \ left [S_ {q} ^ {c} = S_ {q} ^ {c '} \ right]}$${\ displaystyle c, c '}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q \ prec c, c '}$${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{n} = \ left \ {\ left (R_ {1} ^ {1}, R_ {2} ^ {1} \ right), \ left (R_ {2} ^ {2}, R_ {3} ^ {2} \ right), \ ldots, \ left (R_ {n} ^ {n}, R_ {1} ^ {n} \ right) \ right \}}$${\ displaystyle n \ geq 2}$

${\ displaystyle D \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) \ leq \ Delta \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right),}$

Onde

${\ displaystyle \ Delta \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) = \ left (n-2 \ right) + \ left | R_ {1} ^ {1} -R_ {1} ^ {n} \ right | + \ left | R_ {2} ^ {1} -R_ {2} ^ {2} \ right | + \ ldots \ left | R_ {n} ^ {n-1} -R_ {n } ^ {n} \ right |,}$

e

${\ displaystyle D \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) = \ max \ left (\ lambda _ {1} \ left \ langle R_ {1} ^ {1} R_ {2} ^ {1} \ right \ rangle + \ lambda _ {2} \ left \ langle R_ {2} ^ {2} R_ {3} ^ {2} \ right \ rangle + \ ldots + \ lambda _ {n} \ left \ langle R_ {n} ^ {n}, R_ {1} ^ {n} \ direita \ rangle \ direita),}$

com o máximo assumido sobre todos  cujo produto é . Se  e , medindo o mesmo conteúdo em contextos diferentes, são sempre distribuídos de forma idêntica, o sistema é denominado consistentemente conectado (atendendo ao princípio de “sem perturbação” ou “sem sinalização”). Exceto por certas questões lógicas, neste caso o CbD é especializado em tratamentos tradicionais de contextualidade em física quântica. Em particular, para sistemas cíclicos consistentemente conectados, o critério de não contextualidade acima se reduz ao qual inclui a desigualdade Bell / CHSH ( ), desigualdade KCBS ( ) e outras desigualdades famosas. Que a não localidade é um caso especial de contextualidade segue em CbD do fato de que ser distribuído em conjunto para variáveis ​​aleatórias é equivalente a ser funções mensuráveis ​​de uma mesma variável aleatória (isso generaliza a análise de Arthur Fine do teorema de Bell ). CbD essencialmente coincide com a parte probabilística da abordagem teórica do feixe de Abramsky se o sistema for fortemente consistentemente conectado , o que significa que as distribuições conjuntas de  e  coincidem sempre que  são medidas em contextos . No entanto, ao contrário da maioria das abordagens de contextualidade, o CbD permite uma conexão inconsistente, com  e distribuída de forma diferente. Isso torna o CbD aplicável a experimentos de física em que a condição de não perturbação é violada, bem como ao comportamento humano em que essa condição é violada como regra. Em particular, Vctor Cervantes, Ehtibar Dzhafarov e colegas demonstraram que variáveis ​​aleatórias que descrevem certos paradigmas de tomada de decisão simples formam sistemas contextuais, enquanto muitos outros sistemas de tomada de decisão são não contextuais, uma vez que sua conexão inconsistente é devidamente levada em consideração. ${\ displaystyle \ lambda _ {i} = \ pm 1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle R_ {q} ^ {c}}$${\ displaystyle R_ {q} ^ {c '}}$${\ displaystyle D \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) \ leq n-2,}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle \ left \ {R_ {q_ {1}} ^ {c}, \ ldots, R_ {q_ {k}} ^ {c} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {R_ {q_ {1}} ^ {c '}, \ ldots, R_ {q_ {k}} ^ {c'} \ right \}}$${\ displaystyle q_ {1}, \ ldots, q_ {k}}$${\ displaystyle c, c '}$${\ displaystyle R_ {q} ^ {c}}$${\ displaystyle R_ {q} ^ {c '}}$

Estrutura operacional

Uma noção estendida de contextualidade devido a Robert Spekkens se aplica a preparações e transformações, bem como a medições, dentro de uma estrutura geral de teorias físicas operacionais. No que diz respeito às medições, remove a suposição de determinismo das atribuições de valor que está presente nas definições padrão de contextualidade. Isso quebra a interpretação da não localidade como um caso especial de contextualidade e não trata a aleatoriedade irredutível como não clássica. No entanto, ele recupera a noção usual de contextualidade quando o determinismo de resultado é imposto.

A contextualidade de Spekkens pode ser motivada usando a lei de Leibniz da identidade dos indiscerníveis . A lei aplicada a sistemas físicos nesta estrutura espelha a definição pretendida de não contextualidade. Isso foi explorado por Simmons et al , que demonstraram que outras noções de contextualidade também podem ser motivadas pelos princípios leibnizianos e podem ser pensadas como ferramentas que permitem conclusões ontológicas a partir de estatísticas operacionais.

Outras estruturas e extensões

• Uma forma de contextualidade que pode estar presente na dinâmica de um sistema quântico foi introduzida por Shane Mansfield e Elham Kashefi , e mostrou estar relacionada a vantagens quânticas computacionais . Como noção de contextualidade que se aplica às transformações, é desigual à de Spekkens. Os exemplos explorados até agora contam com restrições de memória adicionais que têm uma motivação mais computacional do que fundamental. A contextualidade pode ser negociada com a eliminação de Landauer para obter vantagens equivalentes.

Teorema de Fine-Abramsky-Brandenburger

O teorema de Kochen-Specker prova que a mecânica quântica é incompatível com modelos realistas de variáveis ​​ocultas não contextuais. Por outro lado, o teorema de Bell prova que a mecânica quântica é incompatível com os modelos de variáveis ​​ocultas fatoráveis ​​em um experimento no qual as medições são realizadas em locais separados como espaços distintos. Arthur Fine mostrou que no cenário experimental em que as famosas desigualdades e prova de não localidade de CHSH se aplicam, um modelo de variável oculta fatorável existe se e somente se existir um modelo de variável oculta não contextual. Esta equivalência foi comprovada de forma mais geral em qualquer cenário experimental por Samson Abramsky e Adam Brandenburger . É por essa razão que podemos considerar a não localidade um caso especial de contextualidade.

Medidas de contextualidade

Fração contextual

Existem vários métodos para quantificar a contextualidade. Uma abordagem é medir o grau em que alguma desigualdade de não contextualidade particular é violada, por exemplo, a desigualdade KCBS , a desigualdade de Yu-Oh ou alguma desigualdade de Bell . Uma medida mais geral de contextualidade é a fração contextual.

Dado um conjunto de estatísticas de medição e , consistindo em uma distribuição de probabilidade sobre resultados conjuntos para cada contexto de medição, podemos considerar fatorar e em uma parte não contextual e ^NC e algum resto e ' ,

O valor máximo de λ sobre todas essas decomposições é a fração não contextual de e denotada NCF ( e ), enquanto o restante CF ( e ) = (1-NCF ( e )) é a fração contextual de e . A ideia é que procuremos uma explicação não contextual para a maior fração possível dos dados, e o que resta é a parte irredutivelmente contextual. De fato, para qualquer decomposição que maximize λ, o restante e ' é conhecido por ser fortemente contextual. Esta medida de contextualidade assume valores no intervalo [0,1], onde 0 corresponde à não contextualidade e 1 corresponde à contextualidade forte. A fração contextual pode ser calculada usando programação linear .

Também foi provado que CF ( e ) é um limite superior na extensão em que e viola qualquer desigualdade de não contextualidade normalizada. Aqui, a normalização significa que as violações são expressas como frações da violação máxima algébrica da desigualdade. Além disso, o programa linear dual para aquele que maximiza λ calcula uma desigualdade não contextual para a qual essa violação é atingida. Nesse sentido, a fração contextual é uma medida mais neutra de contextualidade, uma vez que otimiza todas as possíveis desigualdades não contextuais em vez de verificar as estatísticas contra uma desigualdade em particular.

Medidas de (não) contextualidade dentro da estrutura Contextuality-by-Default (CbD)

Várias medidas do grau de contextualidade em sistemas contextuais foram propostas dentro da estrutura do CbD, mas apenas uma delas, denotada CNT ₂ , demonstrou se estender naturalmente para uma medida de não contextualidade em sistemas não contextuais, NCNT ₂ . Isso é importante porque, pelo menos nas aplicações não físicas do CbD, a contextualidade e a não contextualidade são de igual interesse. Ambos CNT ₂ e NCNT ₂ são definidos como a distância entre um vetor de probabilidade que  representa um sistema e a superfície do politopo de não contextualidade que  representa todos os sistemas não contextuais possíveis com as mesmas marginais de variável única. Para sistemas cíclicos de variáveis ​​aleatórias dicotômicas, é mostrado que se o sistema for contextual (ou seja, ), ${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle D \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right)> \ Delta \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathrm {CNT} _ {2} = D \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) - \ Delta \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right ),}$

e se for não contextual ( ), ${\ displaystyle D \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) \ leq \ Delta \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathrm {NCNT} _ {2} = \ min \ left (\ Delta \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right) -D \ left ({\ mathcal {C}} _ {n} \ direita), m \ esquerda ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ direita) \ direita),}$

onde  é a -distância do vetor  à superfície da caixa que circunscreve o politopo de não contextualidade. Mais geralmente, NCNT ₂ e CNT ₂ são calculados por meio de programação linear. O mesmo é verdadeiro para outras medidas de contextualidade baseadas em CbD. Um deles, denotado CNT ₃ , usa a noção de um quase-acoplamento , que difere de um acoplamento porque as probabilidades na distribuição conjunta de seus valores são substituídas por reais arbitrários (permitidos como negativos, mas somam 1). A classe de quase-acoplamentos que  maximizam as probabilidades  é sempre não vazia, e a variação total mínima da medida sinalizada nesta classe é uma medida natural de contextualidade. ${\ displaystyle m \ left ({\ mathcal {C}} _ ​​{n} \ right)}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Pr \ left [S_ {q} ^ {c} = S_ {q} ^ {c '} \ right]}$

Contextualidade como recurso para computação quântica

Recentemente, a contextualidade quântica foi investigada como uma fonte de vantagem quântica e acelerações computacionais em computação quântica .

Destilação de estado mágico

A destilação de estado mágico é um esquema para computação quântica em que circuitos quânticos construídos apenas de operadores de Clifford, que por si só são tolerantes a falhas, mas classicamente simuláveis ​​de forma eficiente, são injetados com certos estados "mágicos" que promovem o poder computacional para um quantum tolerante a falhas universal Informática. Em 2014, Mark Howard, et al. mostraram que a contextualidade caracteriza estados mágicos para qudits de dimensão primária ímpar e para qubits com funções de onda reais. Extensões ao caso qubit foram investigadas por Juani Bermejo-Vega et al. Esta linha de pesquisa se baseia em trabalhos anteriores de Ernesto Galvão, que mostraram que a negatividade da função de Wigner é necessária para que um estado seja "mágico"; mais tarde descobriu-se que a negatividade e a contextualidade de Wigner são, em certo sentido, noções equivalentes de não-clássica.

Computação quântica baseada em medição

Computação quântica baseada em medição (MBQC) é um modelo para computação quântica em que um computador de controle clássico interage com um sistema quântico especificando medições a serem realizadas e recebendo resultados de medição em retorno. As estatísticas de medição para o sistema quântico podem ou não exibir contextualidade. Uma variedade de resultados mostrou que a presença de contextualidade aumenta o poder computacional de um MBQC.

Em particular, os pesquisadores têm considerado uma situação artificial em que o poder do computador de controle clássica é restrito a apenas ser capaz de calcular linear funções booleanas, ou seja, para resolver problemas no Paridade L classe de complexidade ⊕ L . Para interações com sistemas quânticos multi-qubit, uma suposição natural é que cada etapa da interação consiste em uma escolha binária de medição que, por sua vez, retorna um resultado binário. Um MBQC desse tipo restrito é conhecido como 12- MBQC.

Anders e Browne

Em 2009, Janet Anders e Dan Browne mostraram que dois exemplos específicos de não localidade e contextualidade eram suficientes para calcular uma função não linear. Este, por sua vez poderia ser usado para aumentar o poder computacional ao de um computador clássico universal, ou seja, para resolver problemas na classe de complexidade P . Isso às vezes é chamado de computação clássica baseada em medição. Os exemplos específicos fizeram uso da prova de não localidade de Greenberger – Horne – Zeilinger e da caixa supra-quântica Popescu – Rohrlich.

Raussendorf

Em 2013, Robert Raussendorf mostrou de forma mais geral que o acesso a estatísticas de medição fortemente contextuais é necessário e suficiente para que um l2- MBQC calcule uma função não linear. Ele também mostrou que calcular funções booleanas não lineares com probabilidade suficientemente alta requer contextualidade.

Abramsky, Barbosa e Mansfield

Uma nova generalização e refinamento desses resultados devido a Samson Abramsky, Rui Soares Barbosa e Shane Mansfield apareceu em 2017, provando uma relação quantificável precisa entre a probabilidade de calcular com sucesso qualquer função não linear dada e o grau de contextualidade presente em 12 - MBQC medido pela fração contextual. Especificamente,

onde estão a probabilidade de sucesso, a fração contextual das estatísticas de medição e , e uma medida da não linearidade da função a ser calculada , respectivamente. ${\ displaystyle p_ {s}, CF (e), \ nu (f) \ in [0,1]}$${\ displaystyle f}$

Outros exemplos

• A desigualdade acima também mostrou relacionar a vantagem quântica em jogos não locais ao grau de contextualidade exigido pela estratégia e uma medida apropriada da dificuldade do jogo.
• Da mesma forma, a desigualdade surge em um modelo baseado em transformação de computação quântica análogo a l2- MBQC, onde relaciona o grau de contextualidade sequencial presente na dinâmica do sistema quântico com a probabilidade de sucesso e o grau de não linearidade da função alvo .
• Foi demonstrado que a contextualidade de preparação permite vantagens quânticas em códigos criptográficos de acesso aleatório e em tarefas de discriminação de estado.
• Em simulações clássicas de sistemas quânticos, foi demonstrado que a contextualidade incorre em custos de memória.

Veja também

• Teorema de Kochen-Specker
• Praça Mermin-Peres
• Pentagrama KCBS
• Não localidade quântica
• Fundações quânticas

Referências

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