Condições de Rankine-Hugoniot - Rankine–Hugoniot conditions

Um diagrama esquemático de uma situação de onda de choque com a densidade , velocidade e temperatura indicadas para cada região.${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle T}$

As condições de Rankine-Hugoniot , também referidas como condições de salto de Rankine-Hugoniot ou relações de Rankine-Hugoniot , descrevem a relação entre os estados em ambos os lados de uma onda de choque ou uma onda de combustão ( deflagração ou detonação ) num fluxo unidimensional em fluidos ou uma deformação unidimensional em sólidos. Eles são nomeados em reconhecimento ao trabalho realizado pelo engenheiro e físico escocês William John Macquorn Rankine e pelo engenheiro francês Pierre Henri Hugoniot .

Em um sistema de coordenadas que se move com a descontinuidade, as condições de Rankine-Hugoniot podem ser expressas como:

${\ displaystyle \ rho _ {1} \, u_ {1} = \ rho _ {2} \, u_ {2} \ equiv m}$	Conservação de massa
${\ displaystyle \ rho _ {1} \, u_ {1} ^ {2} + p_ {1} = \ rho _ {2} \, u_ {2} ^ {2} + p_ {2}}$	Conservação de momento
${\ displaystyle h_ {1} + {\ frac {1} {2}} u_ {1} ^ {2} = h_ {2} + {\ frac {1} {2}} u_ {2} ^ {2} }$	Conservação de energia

onde m é a taxa de fluxo de massa por unidade de área, ρ ₁ e ρ ₂ são a densidade de massa do fluido a montante e a jusante da onda, u ₁ e u ₂ são a velocidade do fluido a montante e a jusante da onda, p ₁ e p ₂ são as pressões nas duas regiões e h ₁ e h ₂ são as entalpias específicas (com o sentido de unidade de massa ) nas duas regiões. Se, além disso, o fluxo é reativo, então as equações de conservação das espécies exigem que

${\ displaystyle \ omega _ {i, 1} = \ omega _ {i, 2} = 0, \ quad i = 1,2,3, \ dots, N, \ qquad {\ text {Conservação das espécies}}}$

para desaparecer a montante e a jusante da descontinuidade. Aqui, está a taxa de produção em massa da i -ésima espécie do total de N espécies envolvidas na reação. Combinar a conservação de massa e momento nos dá ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {\ frac {p_ {2} -p_ {1}} {1 / \ rho _ {2} -1 / \ rho _ {1}}} = - m ^ {2}}$

que define uma linha reta conhecida como linha de Rayleigh, em homenagem a Lord Rayleigh , que tem uma inclinação negativa (já que é sempre positiva) no plano. Usando as equações de Rankine-Hugoniot para a conservação de massa e momento para eliminar u ₁ e u ₂ , a equação para a conservação de energia pode ser expressa como a equação de Hugoniot: ${\ displaystyle m ^ {2}}$${\ displaystyle p- \ rho ^ {- 1}}$

${\ displaystyle h_ {2} -h_ {1} = {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {1} {\ rho _ {2}}} + {\ frac {1} {\ rho _ {1}}} \ right) \, (p_ {2} -p_ {1}).}$

O inverso da densidade também pode ser expressa como o volume específico , . Junto com estes, deve-se especificar a relação entre a equação de estado a montante e a jusante ${\ displaystyle v = 1 / \ rho}$

${\ displaystyle f (p_ {1}, \ rho _ {1}, T_ {1}, Y_ {i, 1}) = f (p_ {2}, \ rho _ {2}, T_ {2}, Y_ {i, 2})}$

onde está a fração de massa da espécie. Finalmente, a equação de estado calorífica é assumida como conhecida, ou seja, ${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle h = h (p, \ rho, Y_ {i})}$

${\ displaystyle h (p_ {1}, \ rho _ {1}, Y_ {i, 1}) = h (p_ {2}, \ rho _ {2}, Y_ {i, 2}).}$

Relações Rankine-Hugoniot simplificadas

As seguintes suposições são feitas para simplificar as equações de Rankine-Hugoniot. Supõe-se que a mistura obedece à lei dos gases ideais , de modo que a relação entre a equação de estado a jusante e a montante pode ser escrita como

${\ displaystyle {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2} T_ {2}}} = {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1} T_ {1}}} = { \ frac {R} {\ overline {W}}}}$

onde é a constante universal do gás e o peso molecular médio é assumido como constante (caso contrário, dependeria da fração de massa de todas as espécies). Se assumirmos que o calor específico à pressão constante também é constante ao longo da onda, a mudança nas entalpias (equação de estado calorífica) pode ser simplesmente escrita como ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ overline {W}}}$${\ displaystyle {\ overline {W}}}$${\ displaystyle c_ {p}}$

${\ displaystyle h_ {2} -h_ {1} = - q + c_ {p} (T_ {2} -T_ {1})}$

onde o primeiro termo na expressão acima representa a quantidade de calor liberada por unidade de massa da mistura a montante pela onda e o segundo termo representa o aquecimento sensível. Eliminando a temperatura usando a equação de estado e substituindo a expressão acima pela mudança nas entalpias na equação de Hugoniot, obtém-se uma equação de Hugoniot expressa apenas em termos de pressão e densidades,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}} - {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {\ rho _ {2}}} + {\ frac { 1} {\ rho _ {1}}} \ right) (p_ {2} -p_ {1}) = q,}$

onde é a proporção de calor específico . A curva de Hugoniot sem liberação de calor ( ) costuma ser chamada de Choque Hugoniot. Junto com a equação da linha de Rayleigh, a equação acima determina completamente o estado do sistema. Essas duas equações podem ser escritas de forma compacta, introduzindo as seguintes escalas não dimensionais, ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle q = 0}$

${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}}, \ quad {\ tilde {v}} = {\ frac {\ rho _ {1}} { \ rho _ {2}}}, \ quad \ alpha = {\ frac {q \ rho _ {1}} {p_ {1}}}, \ quad \ mu = {\ frac {m ^ {2}} { p_ {1} \ rho _ {1}}}.}$

A equação da linha de Rayleigh e a equação de Hugoniot, em seguida, simplifica para

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {{\ tilde {p}} - 1} {{\ tilde {v}} - 1}} & = - \ mu \\ {\ tilde {p}} & = {\ frac {[2 \ alpha + (\ gamma +1) / (\ gamma -1)] - {\ tilde {v}}} {[(\ gamma +1) / (\ gamma -1)] { \ tilde {v}} - 1}}. \ end {alinhado}}}$

Dadas as condições a montante, a interseção das duas equações acima no plano determinam as condições a jusante. Se não ocorrer liberação de calor, por exemplo, ondas de choque sem reação química, então . A assíntota das curvas de Hugoniot para as linhas e , ou seja, o salto de pressão através da onda pode assumir quaisquer valores entre eles , mas a relação de volume específica é restrita ao intervalo (o limite superior é derivado para o caso porque a pressão não pode assumir valores negativos). A condição Chapman-Jouguet é onde a linha de Rayleigh é tangente à curva de Hugoniot. ${\ displaystyle {\ tilde {p}} - {\ tilde {v}}}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle {\ tilde {v}} = (\ gamma -1) / (\ gamma +1)}$${\ displaystyle {\ tilde {p}} = - (\ gamma -1) / (\ gamma +1)}$${\ displaystyle 0 \ leq {\ tilde {p}} <\ infty}$${\ displaystyle (\ gamma -1) / (\ gamma +1) \ leq {\ tilde {v}} \ leq 2 \ alpha + (\ gamma +1) / (\ gamma -1)}$${\ displaystyle {\ tilde {p}} \ rightarrow 0}$

Se (gás diatômico sem excitação do modo vibracional), o intervalo é , ou seja, a onda de choque pode aumentar a densidade no máximo em um fator de 6. Para o gás monoatômico , portanto a razão de densidade é limitada pelo intervalo . Para gases diatômicos com modo vibracional excitado, temos o levando ao intervalo . Na realidade, a relação de calor específico não é constante na onda de choque devido à dissociação molecular e ionização, mas mesmo nesses casos, a relação de densidade em geral não excede o fator . ${\ displaystyle \ gamma = 1,4}$${\ displaystyle 1/6 \ leq {\ tilde {v}} \ leq 2 \ alpha +6}$${\ displaystyle \ gamma = 5/3}$${\ displaystyle 1/4 \ leq {\ tilde {v}} \ leq 2 \ alpha +4}$${\ displaystyle \ gamma = 9/7}$${\ displaystyle 1/8 \ leq {\ tilde {v}} \ leq 2 \ alpha +8}$${\ displaystyle 11-13}$

Derivação das equações de Euler

Considere o gás em um recipiente unidimensional (por exemplo, um tubo longo e fino). Suponha que o fluido seja invíscido (ou seja, não mostra efeitos de viscosidade como, por exemplo, o atrito com as paredes do tubo). Além disso, assuma que não há transferência de calor por condução ou radiação e que a aceleração gravitacional pode ser desprezada. Tal sistema pode ser descrito pelo seguinte sistema de leis de conservação , conhecido como as equações de Euler 1D , que na forma de conservação é:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \; \; = - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (\ rho u \ right)}$

( 1 )

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho u) \, = - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (\ rho u ^ {2} + p \direito)}$

( 2 )

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (E ^ {t} \ right) = - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [u \ left (E ^ {t} + p \ direita) \ direita],}$

( 3 )

Onde

${\ displaystyle \ rho,}$densidade de massa de fluido ,

${\ displaystyle u,}$velocidade do fluido ,

${\ displaystyle e,}$energia interna específica do fluido,

${\ displaystyle p,}$pressão do fluido , e

${\ displaystyle E ^ {t} = \ rho e + \ rho {\ frac {1} {2}} u ^ {2},}$é a densidade de energia total do fluido, [J / m ³ ], enquanto e é sua energia interna específica

Assuma ainda que o gás é caloricamente ideal e que, portanto, uma equação de estado politrópica da forma simples

${\ displaystyle p = \ left (\ gamma -1 \ right) \ rho e,}$

( 4 )

é válido, onde é a proporção constante de calores específicos . Esta quantidade também aparece como o expoente politrópico do processo politrópico descrito por ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle c_ {p} / c_ {v}}$

${\ displaystyle {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}} = {\ text {constante}}.}$

( 5 )

Para uma lista extensa de equações de fluxo compressíveis, etc., consulte o Relatório NACA 1135 (1953).

Nota: Para um gás caloricamente ideal é uma constante e para um gás termicamente ideal é uma função da temperatura. No último caso, a dependência da pressão na densidade de massa e energia interna pode diferir daquela dada pela equação ( 4 ). ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

A condição de salto

Antes de prosseguir, é necessário introduzir o conceito de uma condição de salto - uma condição que se mantém em uma descontinuidade ou mudança abrupta.

Considere uma situação 1D onde há um salto na quantidade física conservada escalar , que é governada pela lei de conservação integral ${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} w \, dx = -f (w) {\ Big |} _ {x_ {1} } ^ {x_ {2}}}$

( 6 )

para qualquer , , , e, por conseguinte, a equação diferencial parcial pela ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f \ left (w \ right) = 0}$

( 6 ' )

para soluções suaves.

Deixe a solução exibir um salto (ou choque) em , onde e , então ${\ displaystyle x = x_ {s} (t)}$${\ displaystyle x_ {1} <x_ {s} (t)}$${\ displaystyle x_ {s} (t) <x_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left [\ left (\ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {s} (t)} w \, dx + \ int _ {x_ {s} (t)} ^ {x_ {2}} w \, dx \ right) \ right] = - \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial x }} f \ left (w \ right) \, dx}$

( 7 )

${\ displaystyle \ portanto w_ {1} {\ frac {dx_ {s}} {dt}} - w_ {2} {\ frac {dx_ {s}} {dt}} + \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {s} (t)} w_ {t} \, dx + \ int _ {x_ {s} (t)} ^ {x_ {2}} w_ {t} \, dx = -f (w) { \ Grande |} _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}}}$

( 8 )

Os subscritos 1 e 2 indicam as condições a montante e a jusante do salto, respectivamente, ou seja, e . ${\ textstyle w_ {1} = \ lim _ {\ epsilon \ a 0 ^ {+}} w \ left (x_ {s} - \ epsilon \ right)}$${\ textstyle w_ {2} = \ lim _ {\ epsilon \ a 0 ^ {+}} w \ left (x_ {s} + \ epsilon \ right)}$

Observe, para chegar à equação ( 8 ), usamos o fato de que e . ${\ displaystyle dx_ {1} / dt = 0}$${\ displaystyle dx_ {2} / dt = 0}$

Agora, vamos e , quando temos e , e no limite ${\ displaystyle x_ {1} \ rightarrow x_ {s} (t) - \ epsilon}$${\ displaystyle x_ {2} \ rightarrow x_ {s} (t) + \ epsilon}$${\ textstyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {s} (t) - \ epsilon} w_ {t} \, dx \ rightarrow 0}$${\ textstyle \ int _ {x_ {s} (t) + \ epsilon} ^ {x_ {2}} w_ {t} \, dx \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle u_ {s} \ left (w_ {1} -w_ {2} \ right) = f \ left (w_ {1} \ right) -f \ left (w_ {2} \ right),}$

( 9 )

onde definimos (a característica do sistema ou velocidade de choque ), que por divisão simples é dada por ${\ displaystyle u_ {s} = dx_ {s} (t) / dt \,}$

${\ displaystyle u_ {s} = {\ frac {f \ left (w_ {1} \ right) -f \ left (w_ {2} \ right)} {w_ {1} -w_ {2}}}.}$

( 10 )

A equação ( 9 ) representa a condição de salto para a lei de conservação ( 6 ). Uma situação de choque surge em um sistema onde suas características se cruzam e, sob essas condições, um requisito para uma solução única de valor único é que a solução deve satisfazer a condição de admissibilidade ou condição de entropia . Para aplicações fisicamente reais, isso significa que a solução deve satisfazer a condição de entropia relaxada

${\ displaystyle f '\ left (w_ {2} \ right)> u_ {s}> f' \ left (w_ {1} \ right),}$

( 11 )

onde e representam velocidades características em condições a montante e a jusante, respectivamente. ${\ displaystyle f '\ left (w_ {1} \ right)}$${\ displaystyle f '\ left (w_ {2} \ right)}$

Condição de choque

No caso da lei de conservação hiperbólica ( 6 ), vimos que a velocidade de choque pode ser obtida por divisão simples. No entanto, para as equações de Euler 1D ( 1 ), ( 2 ) e ( 3 ), temos a variável de estado do vetor e as condições de salto tornam-se ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ rho & \ rho u & E \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$

${\ displaystyle u_ {s} \ left (\ rho _ {2} - \ rho _ {1} \ right) = \ rho _ {2} u_ {2} - \ rho _ {1} u_ {1}}$

( 12 )

${\ displaystyle u_ {s} \ left (\ rho _ {2} u_ {2} - \ rho _ {1} u_ {1} \ right) = \ left (\ rho _ {2} u_ {2} ^ { 2} + p_ {2} \ direita) - \ esquerda (\ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} + p_ {1} \ direita)}$

( 13 )

${\ displaystyle u_ {s} \ left (E_ {2} -E_ {1} \ right) = \ left [\ rho _ {2} u_ {2} \ left (e_ {2} + {\ frac {1} {2}} u_ {2} ^ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}} \ direita) \ direita] - \ esquerda [\ rho _ {1} u_ {1 } \ left (e_ {1} + {\ frac {1} {2}} u_ {1} ^ {2} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} \ right) \ direito].}$

( 14 )

As equações ( 12 ), ( 13 ) e ( 14 ) são conhecidas como condições de Rankine-Hugoniot para as equações de Euler e são derivadas da aplicação das leis de conservação na forma integral sobre um volume de controle que inclui o choque. Pois esta situação não pode ser obtida por divisão simples. No entanto, pode ser mostrado por transformar o problema de um sistema de movimento de co-ordenadas (configuração , , para remover ) e alguma manipulação algébrica (que envolve a eliminação da partir da equação transformado ( 13 ), utilizando a equação de transformada ( 12 )), que a velocidade do choque é dada por ${\ displaystyle u_ {s}}$${\ displaystyle u_ {s} ': = u_ {s} -u_ {1}}$${\ displaystyle u '_ {1}: = 0}$${\ displaystyle u '_ {2}: = u_ {2} -u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u '_ {2}}$

${\ displaystyle u_ {s} = u_ {1} + c_ {1} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ gamma +1} {2 \ gamma}} \ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} - 1 \ direita)}},}$

( 15 )

onde é a velocidade do som no fluido nas condições a montante. ${\ textstyle c_ {1} = {\ sqrt {\ gamma p_ {1} / \ rho _ {1}}}}$

Linha de choque Hugoniot e Rayleigh em sólidos

Faça choque na linha de Hugoniot e Rayleigh no plano p - v . A curva representa um gráfico da equação ( 24 ) com p ₁ , v ₁ , c ₀ e s conhecidos. Se p ₁ = 0 , a curva cruzará o eixo de volume específico no ponto v ₁ .

Limite elástico de Hugoniot no plano p - v para um choque em um material elástico-plástico.

Para choques em sólidos, uma expressão de forma fechada, como a equação ( 15 ), não pode ser derivada dos primeiros princípios. Em vez disso, observações experimentais indicam que uma relação linear pode ser usada (chamada de choque Hugoniot no plano u _s - u _p ) que tem a forma

${\ displaystyle u_ {s} = c_ {0} + s \, u_ {p} = c_ {0} + s \, u_ {2}}$

onde c ₀ é a velocidade em massa do som no material (em compressão uniaxial), s é um parâmetro (a inclinação do choque Hugoniot) obtido a partir de ajustes para dados experimentais e u _p = u ₂ é a velocidade da partícula dentro do comprimido região atrás da frente de choque.

A relação acima, quando combinada com as equações de Hugoniot para a conservação de massa e momento, pode ser usada para determinar o choque Hugoniot no plano p - v , onde v é o volume específico (por unidade de massa):

${\ displaystyle p_ {2} -p_ {1} = {\ frac {c_ {0} ^ {2} \, \ rho _ {1} \, \ rho _ {2} \, \ left (\ rho _ { 2} - \ rho _ {1} \ right)} {\ left [\ rho _ {2} -s \ left (\ rho _ {2} - \ rho _ {1} \ right) \ right] ^ {2 }}} = {\ frac {c_ {0} ^ {2} \, \ left (v_ {1} -v_ {2} \ right)} {\ left [v_ {1} -s \ left (v_ {1 } -v_ {2} \ right) \ right] ^ {2}}} \ ,.}$

Equações de estado alternativas, como a equação de estado de Mie – Grüneisen, também podem ser usadas em vez da equação acima.

O choque Hugoniot descreve o local de todos os estados termodinâmicos possíveis em que um material pode existir atrás de um choque, projetado em um plano de estado de estado bidimensional. É, portanto, um conjunto de estados de equilíbrio e não representa especificamente o caminho pelo qual um material passa por transformação.

Os choques fracos são isentrópicos e o isentrópio representa o caminho através do qual o material é carregado do estado inicial ao final por uma onda de compressão com características convergentes. No caso de choques fracos, o Hugoniot irá, portanto, cair diretamente no isentrópio e pode ser usado diretamente como o caminho equivalente. No caso de um choque forte, não podemos mais fazer essa simplificação diretamente. No entanto, para cálculos de engenharia, considera-se que o isentrópio está próximo o suficiente do Hugoniot para que a mesma suposição possa ser feita.

Se o Hugoniot for aproximadamente o caminho de carregamento entre os estados de uma onda de compressão "equivalente", as condições de salto para o caminho de carregamento de choque podem ser determinadas desenhando uma linha reta entre os estados inicial e final. Esta linha é chamada de linha de Rayleigh e tem a seguinte equação:

${\ displaystyle p_ {2} -p_ {1} = u_ {s} ^ {2} \ left (\ rho _ {1} - {\ frac {\ rho _ {1} ^ {2}} {\ rho _ {2}}} \ right)}$

Limite elástico de Hugoniot

A maioria dos materiais sólidos sofre deformações plásticas quando submetidos a choques fortes. O ponto no Hugoniot de choque no qual um material transita de um estado puramente elástico para um estado elástico-plástico é chamado de limite elástico de Hugoniot (HEL) e a pressão na qual essa transição ocorre é denotada por p _HEL . Os valores de p _HEL podem variar de 0,2 GPa a 20 GPa. Acima do HEL, o material perde muito de sua resistência ao cisalhamento e passa a se comportar como um fluido.

Veja também

• Equações de Euler (dinâmica de fluidos)
• Polar de choque
• Equação de estado de Mie-Grüneisen
• Wikilivro de Acústica de Engenharia

Referências